数学分析研究论文

中 国 某 某 大 学(本科)

数学分析研究论文

数信小组

题 目:函数的极值和最值的研究

学 院:数学与计算科学学院 年 级:2011级 指导老师:X X(教授) 完成时间:2014年6月8日

函数极值与最值研究

摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数. 二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题. 主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等，

关键词：函数，极值，最值，极值点, 方法技巧．

Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of variables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,

Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques

引言

作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。

不仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性，并起着不可替代的数学工具作用，许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其他学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质, 在实际经济活动中也有着重要的应用, 对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们做一些简单的归纳，研究函数的极值和最值，诠释一些方法和技巧，并附上具体的例子加以说明，让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！

目录

摘要.................................................... （1） 引言.................................................... （2） 1 函数极值............................................. （4）

1.1 极值概述................................................... （4） 1.2 极值判断条件................................................ （5） 1.3 极值应用实例................................................ （6） 1.4 求极值思想方法总结......................................... （10）

2 函数最值............................................ （11）

2.1 函数最值概述............................................... （11） 2.2 函数最值求法................................. ............. （14） 2.3 求函数最值思想方法总结..................................... （16）

学习心得...............................................(17) 致谢辞.................................................(18) 附录.................................................. (19) 附录一 组员名单............................................... (19) 附录二 开题报告............................................... (20) 参考文献............................................... （21）

1 函数极值

1.1 极值概述

1.1.1 函数极值的引入

什么叫极值？在诠释这个概念之前我们引入一个定理－－费尔马定理，下面给出他的定义：

（１）若函数y =f (x ) 在x 0的某邻域U (x 0) 内满足： ∀x ∈U (x 0), f (x ) ≤f (x 0) 则称函数y =f (x ) 在x 0点取极大值f (x 0) ，x 0点称为极大值点．

（２）若函数y =f (x ) 在x 0的某邻域U (x 0) 内满足： ∀x ∈U (x 0), f (x ) ≥f (x 0) 则称函数y =f (x ) 在x 0点取极小值f (x 0) ，x 0点称为极小值点．

极大值与极小值统称为极值，极值是函数的局部性质，即在某邻域U (x 0) 内作比较而获得，而且曲线在极值点的切线是一条水平线如图１，这就是费尔马定理．

费尔马定理简单的描述就是：若函数y =f (x ) 在x 0点的某领域U (x 0) 内有定义，且在x 0点可导，则x 0点为极值点⇒f ' (x 0) =0．他的实质就是可导与极值点的必要条件是稳定点，但非充分。

1.1.2 一元函数的极值

定义：若函数y =f (x ) 在x 0点可导，则有费尔马定理，x 0点为极值点

⇒f ' (x 0) =0，而此时f (x 0) 就是所谓的极值。而f (x 0) 是极大值还是极小值呢？

现在从图2可以得到如下结论．

(1)在(x 0-δ, x 0) 内，f ' (x ) ≤0；在(x 0, x 0+δ) 内f ' (x ) ≥0时，此时f (x 0) 为极

小值．

1.1.3 二元函数的极值

定义：设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某领域内有定义，对于该领域内异于(x 0, y 0) 的点(x , y ) ，若满足不等式f (x , y ) f (x 0, y 0) ，则称函数在(x 0, y 0) 有极小值，极大值和极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点。

1.2 极值判别条件

1.2.1 一元极值判别条件

(1)必要条件：费尔马定理 (2)充分条件 ①. 第一充分条件

设函数y =f (x ) 在x 0点连续，在邻域(x 0-δ, x 0) 和(x 0, x 0+δ) 内可导，则 (i)在邻域(x 0-δ, x 0) 上，f ' (x ) >0，在邻域(x 0, x 0+δ) 上，f ' (x )

⇒x 0为极大点，f (x ) 在x 0处取得极大值。

(ii)在邻域(x 0-δ, x 0) 上，f ' (x ) 0，

⇒x 0为极小点，f (x ) 在x 0处取得极小值。

由导数的符号可知函数的单调性，故结论成立。一般地，用极值的充分条件判别极值点时，常用列表法。 ②. 第二充分条件

设函数y =f (x ) 在x 0点的某邻域U (x 0, δ) 内一阶可导，在x =x 0点二阶可导，且f ' (x 0) =0，f ' ' (x ) ≠0，则f ' ' (x 0) >0⇒x 0为极小值点， f ' ' (x 0)

证明:由二阶泰勒公式得

解: 设折起来的边长为xcm ，倾斜角为α，那么梯形断面的下底长为24-2x ，上底长为24-2x +2x cos α，高为x sin α，则断面面积

12

即 A =24x sin α-2x 2sin α+x 2sin αcos α，

A =(24-2x +2x cos α+24-2x ) ⋅x sin α

D ：0

π

2

，

下面是求二元函数A (x , α) 在区域

D ：0

π

2

上取得最大值的点(x , α) 。

令 ⎨

⎧A x =24sin α-4x sin α+2x sin αcos α=0

2222

⎩A α=24x cos α-2x cos α+x (cosα-sin α) =0

由于sin α≠0，x ≠0上式为

(1)⎧12-2x +x cos α=02x -12

将代入cos α=⎨2

24cos α-2x cos α+x (2cosα-1) =0(2)x ⎩

（2）式得x =8，再求出cos α=

α=

π

3

=600，x =8cm

1π

，则有α==600，于是方程组的解是23

在考虑边界，当α=

π

2

时，函数A =24x -2x 2为x 的一元函数，求最值点，由

'=24-4x =0，得 x =6。 A x

πππ

所以A (6, ) =24⨯6sin -2⨯62sin =72，

222πππππ

A (8, ) =24⨯8sin -2⨯82sin +82sin cos =48≈83。

33333

根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D ：0

π

2

内取得，通过计算得知α=

π

2

时的函数值比α=600，x =8cm 时函数值

为小，又函数在D 内只有一个驻点，因此可以断定，当x =8cm ，α=600时，就能使断面的面积最大。

1.3.5 偏导数法

例1.3.5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x 1（万元）及报纸广告费x 1（万元）之间的关系有如下经验公式：

R =15+14x 1+26x 2-8x 1x 2-2x 1-5x 2 ,

2

2

广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。

解: 利润等于收入与费用之差，利润函数为：

f =(15+14x 1+26x 2-8x 1x 2-2x 1-5x 2) -(x 1+x 2)

=15+13x 1+25x 2-8x 1x 2-2x 1-5x 2

2

2

22

⎧∂f

=13-8x 2-4x 1=0⎪⎪∂x 1

∂f 根据极值存在的必要条件，令⎨⎪=25-8x 1-10x 2=0⎪∂x ⎩2

得x 1=

⎛∂2f

2 ∂x 1A = 2

∂f

∂x ∂x ⎝21

135351

，x 2=，即为驻点(, ) ，利润函数在驻点处的Hesinn 矩阵

612612

∂2f ∂x 1∂x 2

∂2f ∂x 2

2

⎫⎪

⎪⎛-4-8⎫⎪= -8-10⎪⎪，

⎭⎪⎝

⎪⎭

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2 函数最值

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所以 消元法是指通过消去变量(未知数) 从而达到解题的目的。该方法是求多元函数最值最基本的方法。

例2.2.7. 已知3x 2+2y 2=9x , 求s =2(x +y ) 的最值. 解:条件3x 2+2y 2=9x 知y 2=(9x -3x 2)

11981

s =2(x 2+y 2) =2[x 2+(9x -3x 2)]=2[-(x -) 2+

2228

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1

2

1

又y 2=(9x -3x 2) ≥0,

2

∴x 2-3x ≤0, ∴x ∈[0, 3]

9

∴当x =3时, s max =18, 当x =0时，s min =0。 而∉[0, 3],函数s 在[0, 3]上是增函数，

2

2.3.8 柯西不等式法

柯西不等式:设a 1, a 2,... a n ; b 1, b 2... b n 均为实数，则有(a 1b 1+a 2b 2+... a n b n ) 2≤

2222(a 12+a 2+... +a n )(b 12+b 2+... +b n ) 等号当且仅当a i =λb i (λ是常数，i =1., 2, 3... n )

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学习心得

我们组的论文题目是函数极值与最值研究，从第四周选题后，经过开题、检索文献、整理分析文献、拟定写作方案， 小组进行分工、讨论等。通过此次论文写作使我们充分认识了函数极值和最值以及掌握其求解方法，求解函数的极值和最值问题，涉及到函数、不等式、复数、柯西不等式、向量等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用，让我们感受到了数学的真正魅力，数学来源于生活，而又高于生活，生活中处处离不开数学，数学让我们明白只有理论与实际相结合才能真正实现它的价值，我们才能用它来创造价值，满足我们的需要。时光飞逝，我们大三的生活即将结束，课程也差不多结束了，在此学校为我们开了数学分析研究这门课，对此老师安排了这次论文写作，它不仅是对我大学几年对数学知识学习成果的检验和总结，更是对能力的一种提升。

写作前，我们查阅了大量文献资料，进行整理分析，提取有用信息，对此我们真的学到好多新知识，提高了文献检索能力和分析问题能力; 在写论文过程中，我们体会到了学习数学的乐趣，体现了团队合作的默契，虽然有些意想不到的问题出现，弄的我们很头疼，但通过大家的努力还是能解决，然而解决问题后看到大家的喜悦及成就感真的很棒，增强了我们学习的自信心，相信对以后的学习、工作、生活都将有着很深的影响，锻炼了逻辑思维能力，提高了动手能力，以及在word 中绘数学图形的操作能力，还有培养了我们发现问题、分析问题、解决问题的能力。当然我们也发现了自身存在的很多问题，比如知识的储备不够，发现自己还有许多东西需要学习，认识到学习是一个长期积累的过程，在以后的学习工作生活中，都要做好准备，随时学习，时刻注意自身素质和能力的全面提高; 在论文的写作过程中感触最深的是注意细节的重要性，写论文时，常常会遇到一些细小问题，如：字体、字间距、符号等，这些细节问题常常导致我们的论文一遍又一遍的修改，浪费了很多时间，造成很多麻烦，这也使我们意识到细节的重要性，使我们在以后的生活工作中更加的注意细节，有时往往就是一些细节问题决定了成败。

最后在写论文的过程中，得到了老师和同学们的帮助，在此，要感谢大家对我们的帮助和支持，谢谢!

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致谢辞

这次论文在徐波老师的教导下完成的，X 老师渊博的专业知识、严谨的治学

态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风范，以及平易近人的人格魅力对我们影响深远。让我们树立了考研等学习目标、掌握了基本的研究方法，明白了许多为人处事的道理。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

时光匆匆如流水，转眼间大学三年过去了，春梦秋云，聚散真容易。修读课程也随之进入了尾声。在此，在大三下学校开了数学分析研究这课，为了让我们更好的掌握知识，老师安排了本次论文写作，对于此次论文的顺利完成，一直离不开老师、同学们给我们热情的帮助，在这里请接受我们诚挚的谢意！这里我们要特别的对徐波老师表示衷心的感谢，谢谢你辛勤栽培，谢谢你在教学的同时还更多的是传授我们做人的道理，谢谢你孜孜不倦的教诲！

通过本次论文写作，我们所收获的不仅仅是愈加丰厚的知识，更重要的是在阅读、实践中所培养的思维方式、表达能力和广阔视野。很庆幸我们遇到了如此的良师益友，让我们在一个充满温馨的环境中度过了这学期的大学生活。感恩之情难以用言语量度，谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。

这里还要感谢我们的父母，他们不仅培养了我们对科学文化的浓厚的兴趣，让我们在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，在未来的日子里，我们会更加努力的学习，不辜负父母对我们的殷殷期望！我们一定会好好孝敬他们，报答他们！

最后再次感谢X 老师，祝您每天拥有阳光般的笑容、健康的身体，您是创造奇迹的劳动者，是您哺育了我们，我们深深感谢您!

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附录一 组员名单

附录二

开题报告

题目:函数的极值和最值的研究

一. 选题的目的和研究意义

1 熟练掌握函数极值和最值求解方法和技巧。

2 有助于对一元及多元函数条件极值和最值更进一步的研究。.

二. 研究的方向

1、对求解一元函数，二元函数，以及多元函数极值和最值问题方法的研究。

2、极值问题的应用

主要探讨经济分生产和现实生活中，决策者有关最大化或最小化的方法，在多种可能中，做出选择。除此函数极值还在物理、化学、其他工程等有重要作用。

三. 总体安排和进度计划

第二周---第三周:小组进行任务分工，查阅收集相关资料和相关内容写作安排。在小组成员的讨论下，拟定论文提纲和开题报告 ，

第四周:提交开题报告

第五周---第十二周:完成第一部分函数极值, 按照进度安排，撰写论文初稿，并在第七周召集小组成员讨论。

第十二周---第十四周:完成第二部分函数最值, 1第十三周末召集小组讨论，并认真总结小组成员所写的内容及参考文献，完成内容综述和统一意见，由组长统稿。

第十五周:第三部分学习心得, 第四部分致谢, 把论文打印几份分发个成员审阅修改，进一步充实论文，并打印成稿。

第十六周:结束本次论文写作，准备交论文。

参考文献

[1]高孝忠. 数学分析教程[M].北京:中国科学文化出版社.2008

[2]闫晓红. 王贵鹏. 数学分析全程导学及习题全解[M].北京:中国时代经济出版.2006.

[3]钟玉泉. 复变函数论[M].北京:高等教育出版社.2004

[4]张奠宙. 张广祥. 中学代数研究[M].北京:高等教出版社.2006

[5]普通高中课程标准实验教科书数学. 选修2-2[M].北京:人民教育出版.2003