第三节 线性定常系统的稳定性
第三节 线性定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
一、稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
一个处于某平衡状态的线性定常系统，若在扰动作用下偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则，系统不稳定。
系统稳定的充要条件：闭环特征方程式的根必须都位于S 的左半平面。
二、劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
系统的闭环特征方程：如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值。
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S 平面上的具体
S n
S n -1
S n -2a 0a 1b 1
c 1a 2a 3b 2c 2a 4a 5b 3c 3a 6a 7a 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅表中b 1=
c 1=S n -3⋅
⋅
⋅
S 2
S 1
S 0a 1a 2-a 0a 3a a -a 0a 5a a -a 0a 7, b 2=14, b 3=16⋅⋅⋅a 1a 1a 1b 1a 3-a 1b 2b a -a 1b 3b a -a 1b 4, c 2=15, c 3=17⋅⋅⋅b 1b 1b 1d 1e 1f 1d 2e 2d 3⋅⋅⋅分布，过程如下： e d -d 1e 2f 1=12（1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S 的左半e 平面，相应的系统是稳定的。 1
（2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
劳斯判据特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S 右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
劳斯表中出现全零行：表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
例1 系统特征方程为：s +30s +20s +10s +5s +20=0，试判断系统的稳定性。
解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s 一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。
例2 已知系统特征方程式为s +2s +3s +4s +5=0，试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
4解：劳斯表为 s 1 3 565432432
s 3 2 4 0
2⨯3-1⨯42⨯5-1⨯0=1 =5 22
1⨯4-2⨯5 s 1 =-6 0 1
-6⨯5-1⨯0 s 0 =5 -6 s 2
由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根，系统不稳定的。 例3 已知系统特征方程式为s +8s +18s +16s +5=0，试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
4解：劳斯表为 s 1 18 5432
s 3 8 16 0
8⨯18-1⨯168⨯5-1⨯0=16 =5 88
16⨯16-8⨯5=13. 5 0 s 1 16
13. 5⨯5-16⨯0=5 s 0 13. 5 s 2
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
例4 已知系统特征方程为s +2s +s +2=0，试判断系统稳定性。
解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯表为 s 1 1
s 2 2
s ε≈0 13232
s 2
由劳斯表可见，第一列元素符号相同，但有一个零元素，表示该方程中有一对纯虚根存在，系统不稳定。