优等生数学(九年级)

优等生数学（第二版九年级）

圆心角、圆弧和弦

1. 如图18-1所示，在△AOB 中，∠AOB=100°，∠A=15°, 以O 为圆心，OB 为

半径的圆交AB 、AO 边分别于C 、D 。求证：BC=CD。

2. 在平行四边形ABCD 中，∠D=50°，以钝角的顶点为圆心，AB 长为半径画圆，

分别交AD 、BC 于F 、G ，交BA 的延长线于E ，求劣弧EG 的度数.

3. 如图所示，△ABC 是等边三角形，以边AB 为直径的圆O 交BC 边于D ，交AC

边于E 。求证:(1)弧BD=弧DE=弧EA ；

（2）BD=DC，CE=EA。

4. 如图所示，AB 为圆O 的一条直径，自上半圆上一点C 作弦CD AB ，设

∠OCD 的角平分线交圆O 于P 。求证：当C 点在上半圆（不包括A 、B 两点）上

移动时，点P 的位置不变。

垂径定理

经典例题

如图所示，AB 是圆O 的弦，P 是AB 上一点，AB=10，OP=5，圆O 的半径是7，求AP 。

举一反三

1. 如图所示，AB 是一个圆的一条弦，C 是弧AB 的中点，CD ⊥AB ，已知AB=16，CD=4，求此圆的半径。

2. 圆的半径为13，它的两条平行弦的长度分别为10和24，求这两条弦之间的

距离。

3. 如图所示，AB 是圆的直径，CD 是圆O 的弦，EC ⊥CD ，FD ⊥CD 。证明：AE=BF。

4. 如图所示，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，AB 与CD 相交于E ，∠AEC=45°，圆O 的半径为1，求证EC 2+ED 2=2。

圆周角

经典例题

如图所示，在圆O 中，∠ACD=30°，AB=BC=CD。求∠P 的度数。

举一反三

1. 如图所示，在圆O 中，弦AB=1，圆周角∠ACB=30°，求圆O 的直径。

2. 如图所示，A 、B 、C 是圆O 上三点，∠ACB 的角平分线CD 交圆O 于点D ，过D 作DE ∥AC ，证明：DE=BC。

3. 如图所示，AD 、BC 是圆O 中两条弦，OA ⊥OB ，AC ⊥BD 。求证AD ∥BC 。

4. 如图所示，直角△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，圆O 过A 、D 两点交AB 于E ，过E 作弦EF ∥BC 。求证：EF=AD。

直径所对的圆周角

经典例题

如图所示，等腰△ABC 中，∠BAC=50°，AB=AC.以AB 为直径的半圆与AC 交于点D ，与BC 交于点E ，求证BE=EC，并求∠CBD 的度数。

举一反三

1. 如图所示，AB 和CD 为圆O 的两条直径，弦CE ∥AB ，弧CE 的度数是40°，求∠BOC 的度数。

2. 如图所示，AB 是圆O 的直径，AB=6，C 、D 是圆上两点，且位于AB 的两旁，使得∠BAC=∠ADC ，求AC 的长。

3. 如图所示，AB 、BC 是圆的两条弦，AB=a，OA=r，BC 平行OA 。求AC 的长。

4. 如图所示，AD 是圆O 的直径，AB 、BC 是弦，已知AD=4，AB=BC=1，求CD 的长。

圆内接四边形

经典例题

如图所示，圆O 的弦AD 及BE 的延长线交于C 点，AB=AC。弦DB 平分∠ABC 。求证：AD=EC。

举一反三

1. 如图所示，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，P 是圆O 2上一点，连结PA 、PB 并延长交圆O 1于D 、C 两点。已知∠APB=x ︒，∠ABC=y ︒，求∠BCD （用x ︒，y ︒表示）

2. 如图所示，设圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，过A 、B 分别引直线PAQ 、CBD 交圆于P 、Q 、C 、D 。证明：PC ∥QD 。

3. 如图所示，ABCD 是圆内接四边形，AD 平分∠EAC 。求证：BD=CD。

4. 如图所示，设圆O 的弦AB=AC，延长CA 至D ，使AC=AD，连结DB 并延长交圆O 于E 。证明：CE 是圆O 的直径。

点与圆的位置关系

经典例题

如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，AD 是斜边BC 上的中线，∠DAE=∠DEA 。证明：A 、B 、C 、E 在同一圆上。

举一反三

1. △ABC 中，BD 和CE 分别是AC 、AB 边上的高，求证：B 、C 、D 、E 四点在同一个圆上。

2. △ABC 中，∠B=90°，BD ⊥AC 于D 点，试判断A 点与△BDC 的外接圆的位置关系，说明理由。

3. 已知圆O 的半径为12，AB 是一条长为16的弦，其端点A 、B 在圆周上滑动。试确定AB 的中点形成怎样的图形。

4. 一个等腰三角形的腰长为5，底边长为6。求这个三角形的外接圆半径。

直线与圆的位置关系

经典例题

等边△ABC 的边长为2，D 是BC 边的中点，以D 为圆心，分别以

半径作圆。试确定直线AC 与圆D 的位置关系。

举一反三

1. 圆O 的半径是6，其一条弦AB 长为6，试判断以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系。

2. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4.设圆C 的半径为r ，若圆C 与斜边AB 有两个交点，求r 的取值范围。

3. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4.设圆C 的半径为r ，若圆C 与斜边AB 只有一个公共点，求r 的取值范围。

4. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AF ⊥BC 于F 点，且DE=AF。试确定以DE 为直径的圆与BC 的位置关系。 , 为42

切线的判定

经典例题

如图所示，直角△ABC 中，∠A=90°，以直角边AB 为直径作圆O ，交斜边BC 于P 点，Q 是AC 的中点。证明：PQ 是圆O 的切线。

举一反三

1. 如图所示，圆O 2经过圆O 1的圆心，与圆O 1相交于A 、B 两点，直线O 1O 2交圆O 2于点C 。证明：AC 是圆O 1的切线。

2. 如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，且∠CAB=30°，D 在AB 延长线上，且BD=OB。证明：DC 是圆O 的切线。

3. 如图所示，△ABC 中，AB=AC，D 为BC 的中点。以D 为圆心的一个圆与AB 相切于E 。证明：AC 与圆D 也相切。

4. 如图所示，ABCD 是直角梯形，∠A=∠B=90°，具有性质：∠C=∠D 的平分线相交于AB 于AB 上一点E 。证明：以AB 为直径的圆与CD 相切，以CD 为直径的圆与AB 相切。