数学建模论文++饮酒驾车的数学模型

饮酒后的驾车问题

摘要

本文解决的是一个司机安全驾车与饮酒的问题，目的是通过建立一个数学模型（结合新的国家驾驶员饮酒标准）分析司机如何适当饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。在讨论过程中，我们得出两个结论：在短时间喝酒形式形式下，达到最大值的时间为1.23小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒形式下，喝酒结束时酒精量含量最高。最后，我们讨论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如何饮酒的一篇短文。

关键词：微分方程、模型。

一、问题重述

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在很短时间内喝了4瓶啤酒或者八两低度白酒后，多长时间内驾车就会违反上述标准？

3. 在一小时内匀速喝了半斤白酒的人，多长时间后开车可以不被认定为饮酒驾车? 4. 如果每天喝一瓶啤酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包

括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。 2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。 3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。 4、酒精在体液中均匀分布。

三、符号说明

k0:酒精从体外进入胃的速率； f1(t):酒精从胃转移到体液的速率； f2(t):酒精从体液转移到体外的速率； X(t):胃里的酒精含量； Y(t)：体液中酒精含量； V0:体液的容积；

K1:酒精从胃转移到体液的速率系数； K2:酒精从体液转移到体外的速率系数； C(t):体液中的酒精浓度。

D0：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率k0进入胃中，然后以速率f1(t)从胃进入体液，再以速率f2(t)

从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t的关系

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据前面的假设可知：

f1(t)k1x(t) f2(t)k2y(t)

1.对胃建立方程： dx(t)=k0dt-f1(t)dt

dx(t)

k0f1(t) dt

可得：

dx(t)

k1x(t)k0 dt

利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；

x(t)c1ek1tA1

k0A 1

k1c1A1x(0)x0

又因为f1(t)k1x(t) ，联合式可得：

f1(t)k1c1eK1tk1A1

k1c1e

k1t

k0

k1t

(k1x0k0)e

2又对中心室可建立方程组如下；

k0

dy(t)

f1(t)f2(t)

dt

y(0)y0

同理：

dy(t)

f1(t)k2y(t) dt

因为

f1(t)(k1x0k0)ek1tk0，将其代入上式可得到：

dy(t)

k2y(t)(k1x0k0)ek1tk0 dt

利用微分求解：

y(t)c2ek2t

k0k1x0k0k1t

ek2k2k1

y(t)

，即： v0

c2ek2tA2B2ek1t

又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，c(t)

c(t)c3ek2tA3B3ek1t

（其中 c3

kkxk0c2

，A30，B310，A3B3C3c(0)c0）。 v0k2v0(k2k1)v0

（三）模型的讨论：

情况一 1当酒是在较短时间内喝时

此时有x(0)D0x0，k00，c00。

由上可得：A30，B3因此有：

c(t)B3ek2tB3ek1tB3(ek2tek1t)A[ek2tek1t]

k1D0

，c3B3

(k2k1)v0

（其中 AB3

k1D0

）

(k1k2)v0

利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）

通过Matlab命令lsqcurvefit进行曲线拟合可得：

>> tdata=[ 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; cdata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; 得到k1k1=1.8835,k2=0.1951

A=120.1100

根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml，密度为810mg/ml酒精浓度不超过4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量D026408104.5%46656mg

7065%103

433.33百由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05g/ml v0

1.05100

毫升。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；

c(t)120.1100[e0.1951te1.8835t]

用Matlab软件画出图形为：

情况二

1当酒是在较长时间内喝时 我们可将其进行分段讨论。当t0，T时。此时k0

因为：

时，同样可以得到：T为喝酒总用时，取2小

D0

，x（0）=0，y（0）=0 T

c(t)c3ek2tA3B3ek1t

可知

c(t)(A3B3)ek2tA3B3ek1tA3(1e

k2t

)B3(e

k2t

e

k1t

)

由上式可以求得：

A3=275.9316 B3=31.8848 所以可得 :

c(T)A3(1ek2t)B3(ek2Tek1T) B[ek2Tek1T]

Bek2T

2当tT时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：

c(t)

k1x(T)

[ek2(tT)ek1(tT)]C(T)ek2(tT)

(k1k2)v0

其中x(T)

k1x0k0k1Tk0k0k1T

e[1e] k1k1k1

c(T)

k0k0[1ek2T][ek1Tek2T] k2y0(k1k2)

综上所述，可得，当tT时 k1x(T)c(t)[ek2(tT)ek1(tT)]C(T)ek2(tT)

(k1k2)v0

k0x(T)[1ek1T] 

k1

k0k0k2tc(T)[1e][ek1Tek2T]k2y0k1k2

五、问题的解答

问一：

假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，符合情况一

c(t)60.0550[e0.1951te1.8835t]（一瓶啤酒）

当t6时，可以求得c(t)18.6272mg/百毫升，小于20mg/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾驶。

紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车。第一次喝完6小时后残余18.6272mg/百毫升，又过8小时残余3.9113mg/百毫升，因此晚六点喝酒不是短时间喝完，因此可知，18.6272+3.9113=22.5384＞20。因此为饮酒驾车。 问二:

当酒是在较短时间内喝时，符合情况一

所以：四瓶啤酒时 c(t)240.2200[e0.1951te1.8535t] 当c(t)20毫克/百毫升时，可求得t=12.7413小时。

所以当驾驶员在较短时间内喝下四瓶啤酒时，必须经过12.7413小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。

问三：

一小时内匀速喝酒，符合情况二

c(t)c3ek2tA3B3ek1t

当c(t)20毫克/百毫升时，可以求出t=13.407小时，那么13.407小时后才可以不被

认定为饮酒驾车。 问四:

假设天天喝酒,每次喝酒为短时间喝完。

11

C（t）=Aek2tAek1t＜20

22

A=120.11,

t=6时，C(t)= 18.6272 即每天喝一瓶瓶能开车。

给司机朋友的忠告

司机朋友，适量饮酒有益健康，过多地饮酒对身体的不利影响很大，特别是肝，容易患酒精肝，对心脏也不好。所以建议你喝酒时不要空腹，适量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，这样有助于保护你的胃。在你感觉身体不舒服时,不能喝酒。每次喝酒最好一瓶，对车辆的驾驶人员,出车前不能饮酒。司机喝完酒后最好6小时后出车。

有些司机朋友可能会问，为什么喝完酒后不能驾车﹖科学家曾做过实验，一个人喝完酒后的反应速度大大降低，这样就加大了交通隐患，这样既不利于您自身的安全，而且也对周围的交通和社会造成了威胁。

掌握好饮酒时间,这不仅对您身体和健康有利，也是对他人生命的负责。希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，适量的饮酒。

参考文献

[1]李南南 吴清 曹辉林 MATLAB简明教程 北京：清华大学出版社 ，2006 [2] 朱道元主编 数学建模案例精选 北京：科学出版社，2003

[3] 赫孝良等[选编] 数学建模竞赛赛题简析与论文点评 西安：西安交通大学出

版社，2002

[4]百度文库