题型-动点问题万唯教育中考数学题库
动点问题
１．某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ为直线ＢＣ上一∠Ｂ
点Ｄ不与Ｂ，Ｃ重合），以ＡＤ为边在ＡＤ动点（
右侧作正方形ＡＤＥＦ，连接ＣＦ．
（１）观察猜想
如图①，当点Ｄ在线段ＢＣ上时，Ｃ与ＣＦ的①Ｂ
．位置关系为：
Ｃ，ＣＤ，ＣＦ之间的数量关系为： ②Ｂ
（将结论直接写在横线上）．
（２）数学思考
如图②，当点Ｄ在线段ＣＢ的延长线上时，结论
请给予证明；若①，②是否仍然成立？若成立，
不成立，请你写出正确结论再给予证明．（３）拓展延伸
如图③，当点Ｄ在线段ＢＣ的延长线上时，延长ＢＡ
１交ＣＦ于点Ｇ，连接ＧＥ．若已知ＡＢ＝ＣＤ４
ＢＣ，请求出ＧＥ的长．
第１题图
（１）解：ＣＦ；Ｃ＝ＣＤ＋ＣＦ．①Ｂ⊥Ｃ②Ｂ
【解法提示】ＡＣ＝ＡＦ＝９０°，①∵∠Ｂ∠Ｄ
∴∠ＢＡＤ＝ＡＦ，∠Ｃ
Ｂ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＦ，又∵Ａ
∴△ＡＢＤＣＦ，≌△Ａ
∴∠ＡＣＦ＝ＢＣ＝４５°，∠Ａ
∵∠ＡＣＢ＝４５°，
∴∠ＢＣＦ＝９０°，即ＢＣＦ；⊥Ｃ
ＢＤＣＦ，②∵△Ａ≌△Ａ
∴ＢＤ＝ＣＦ，
∵ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＤ，
∴ＢＣ＝ＣＤ＋ＣＦ．
（２）解：结论①仍然成立，②不成立．
∵∠ＢＡＣ＝ＡＦ＝９０°，①证明：∠Ｄ
∴∠ＢＡＤ＝ＡＦ，∠Ｃ
又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＦ，
∴△ＡＢＤＣＦ，≌△Ａ
∴∠ＡＣＦ＝ＢＤ＝１８０°－４５°＝１３５°，∠Ａ
∵∠ＡＣＢ＝４５°，
∴∠ＢＣＦ＝９０°，即ＢＣＦ；⊥Ｃ
ＢＣ＝ＣＤ－ＣＦ．②结论为：
证明：∵△ＡＢＤＣＦ，≌△Ａ
∴ＢＤ＝ＣＦ，
∵ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ，
∴ＢＣ＝ＣＤ－ＣＦ．
（３）解：如解图，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＣＦ于Ｍ，作ＥＮ
Ｄ于点Ｎ，过点Ａ作ＡＨＤ于点Ｈ．⊥Ｂ⊥Ｂ
∵ＡＢ＝ＡＣ＝２
１∴ＢＣ＝４，ＡＨＢＣ＝２，２
１∵ＣＤＣ，４
∴ＣＤ＝１，
∵∠ＢＡＣ＝ＡＦ＝９０°，∠Ｄ
∴∠ＢＡＤ＝ＡＦ，∠Ｃ
又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＦ，
∴△ＡＢＤＣＦ，≌△Ａ
∴∠ＡＣＦ＝ＢＣ＝４５°，∠Ａ第１题解图
∵∠ＡＣＢ＝４５°，
∴∠ＢＣＦ＝９０°，
∴ＣＮ＝ＭＥ，ＣＭ＝ＥＮ，
∴∠ＡＧＣ＝ＢＣ＝４５°，∠Ａ
∴ＣＧ＝ＢＣ＝４，
∵∠ＡＤＥ＝９０°，
∴∠ＡＤＨ＋ＤＮ＝ＤＮ＋ＥＮ＝９０°，∠Ｅ∠Ｅ∠Ｄ
∴∠ＡＤＨ＝ＥＮ，∠Ｄ
又∵∠ＡＨＣ＝ＮＥ＝９０°，ＡＤ＝ＤＥ，∠Ｄ
∴△ＡＨＤＮＥ，≌△Ｄ
∴ＤＮ＝ＡＨ＝２，ＥＮ＝ＤＨ＝３，
∴ＣＭ＝ＥＮ＝３，ＭＥ＝ＣＮ＝３，
则ＧＭ＝ＣＧ－ＣＭ＝４－３＝１，
∴ＥＧ＝＝Ｍ＋ＧＭ
２．已知正方形ＡＢＣＤ的边长为１，点Ｐ为正方形内一动点，若点Ｍ在ＡＢ上，且满足△ＰＢＣ∽
ＡＭ，延长ＢＰ交ＡＤ于点Ｎ，连接ＣＭ．△Ｐ
（１）如图①，若点Ｍ在线段ＡＢ上，求证：ＡＰ⊥ＢＮ；ＡＭ＝ＡＮ．
（２）在点Ｐ运动过程中，满足△ＰＢＣ①如图②，
ＡＭ的点Ｍ在ＡＢ的延长线上时，ＡＰＮ∽△Ｐ⊥Ｂ和ＡＭ＝ＡＮ是否成立（不需说明理由）？
１，使得ＰＣ？请②是否存在满足条件的点Ｐ２
说明理由
．
第２题图
（１）证明：∵△ＰＢＣＡＭ，∽△Ｐ
∴∠ＰＢＣ＝ＡＭ．∠Ｐ
∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，
∴∠ＰＢＣ＋ＢＡ＝ＢＡ＝９０°，∠Ｐ∠Ｃ
∴∠ＰＡＭ＋ＢＡ＝９０°，∠Ｐ
∴∠ＡＰＮ＝９０°，即ＡＰＮ，⊥Ｂ
∴∠ＢＰＡ＝ＡＮ＝９０°．∠Ｂ
∵∠ＡＢＰ＝ＢＡ，∠Ｎ
ＰＢＰＡＡＮＰＡ∴△ＡＢＰＢＡ，∴．∽△ＮＡＢＡＮＡＢＰＢ
又∵△ＰＡＭ∽△ＰＢＣ，
∴ＰＡＡＭ，ＰＢＢＣ
故ＡＮＡＭ．ＡＢＢＣ
又∵ＡＢ＝ＢＣ，
∴ＡＭ＝ＡＮ；
（２）解：Ｂ的延长线上时，ＡＰＮ①点Ｍ在Ａ⊥Ｂ和ＡＭ＝ＡＮ仍然成立；
理由如下：选择图②，如解图，以ＡＢ②不存在，
为直径，作半圆Ｏ，连接ＯＣ，ＯＰ
，
１∵ＢＣ＝１，ＯＢ，２
∴ＯＣ．２
∵由①知，ＡＰＮ，⊥Ｂ
∴点Ｐ一定在以点Ｏ为圆第２题解图
１Ａ，Ｂ两点除外）．心、半径长为的半圆上（２
如果存在点Ｐ，那么ＯＰ＋ＰＣＣ，则ＰＣ≥Ｏ≥－１．２
－１１，∵２２
１故不存在满足条件的点Ｐ，使得ＰＣ．２
３．在等边△ＡＢＣ的两边ＡＢ、ＡＣ所在直线上分别有两点Ｍ、Ｎ，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，且∠ＭＤＮ＝６０°，ＤＣ＝１２０°，ＢＤ＝ＣＤ．探究：当点Ｍ、Ｎ分∠Ｂ
别在直线ＡＢ、ＡＣ上移动时，ＢＭ、ＮＣ、ＭＮ之间的数量关系及△ＡＭＮ的周长Ｑ与等边△ＡＢＣ的周长Ｌ的关系．
（１）如图①，当点Ｍ、Ｎ在边ＡＢ、ＡＣ上，且ＤＭ＝ＤＮ时，确定ＢＭ、ＮＣ、ＭＮ之间的数量关系，并求
Ｑ出此时的值；Ｌ
（２）如图②，当点Ｍ、Ｎ在边ＡＢ、ＡＣ上，且当ＤＭ
Ｎ时，猜想（１）问的两个结论还成立吗？写≠Ｄ
出你的猜想并加以证明；
（３）如图③，当点Ｍ、Ｎ分别在边ＡＢ、ＣＡ的延长线上时，若ＡＮ＝ｘ，用ｘ、Ｌ表示出Ｑ的值
．
第３题图
（１）解：∵ＤＭ＝ＤＮ，
∴∠ＤＭＮ＝ＮＭ，∠Ｄ
∵ＢＤ＝ＤＣ，那么∠ＤＢＣ＝ＣＢ＝３０°，∠Ｄ
∴∠ＭＢＤ＝ＣＤ＝６０°＋３０°＝９０°，∠Ｎ
在ＲｔＢＤ和ＲｔＣＤ中，△Ｍ△Ｎ
ＢＤ＝ＣＤ∵，ＤＭ＝ＤＮ
∴ＲｔＢＤｔＣＤ（ＨＬ），△Ｍ≌Ｒ△Ｎ
∴ＢＭ＝ＣＮ，ＭＤ＝ＮＤ＝６０°，∠Ｂ∠Ｃ
在△ＮＣＤ中，ＤＣ＝３０°，ＤＮ＝２ＮＣ，∠Ｎ
在△ＤＮＭ中，ＤＭ＝ＤＮ，ＤＮ＝６０°，∠Ｍ
∴△ＤＭＮ是个等边三角形，ＭＮ＝ＤＮ＝２ＮＣ＝ＮＣ＋ＢＭ，
此时△ＡＭＮ的周长Ｑ＝ＡＭ＋ＡＮ＋ＭＮ＝ＡＭ＋ＡＮ＋ＭＢ＋ＮＣ＝ＡＢ＋ＡＣ＝２ＡＢ，ＢＣ的周长Ｌ△Ａ
＝３ＡＢ，
Ｑ２∴；Ｌ３
（２）解：猜想：结论仍然成立．
证明：如解图①，延长ＡＣ至点Ｅ，使ＣＥ＝ＢＭ，连接ＤＥ，
∵ＢＤ＝ＣＤ，且∠ＢＤＣ＝１２０°，
∴∠ＤＢＣ＝ＣＢ＝３０°，∠Ｄ{
∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴∠ＭＢＤ＝ＣＤ＝９０°，∠Ｎ
在ＲｔＢＤ和ＲｔＣＤ中，△Ｍ△Ｅ
ＢＭ＝ＣＥ，ＢＤ＝ＣＤ
∴Ｒｔ△ＭＢＤ≌Ｒｔ△ＥＣＤ第３题解图①{（ＨＬ），
∴ＤＭ＝ＤＥ，ＤＭ＝ＤＥ，∠Ｂ∠Ｃ∴∠ＥＤＮ＝ＤＣ－ＤＮ＝６０°，∠Ｂ∠Ｍ在△ＭＤＮ和△ＥＤＮ中，ＤＭ＝ＤＥ
ＤＮ＝ＤＮ，∠Ｍ∠Ｅ
ＤＮＤＮ＝
∴△ＭＤＮＤＮ（ＳＡＳ），≌△Ｅ
∴ＭＮ＝ＥＮ＝ＮＣ＋ＢＭ，∴△ＡＭＮ的周长Ｑ＝ＡＭ＋ＡＮ＋ＭＮ
＝ＡＭ＋ＡＮ＋（ＮＣ＋ＢＭ）＝（ＡＭ＋ＢＭ）＋（ＡＮ＋ＮＣ）＝ＡＢ＋ＡＣ
＝２ＡＢ，
而等边△ＡＢＣ的周长Ｌ＝３ＡＢ，Ｑ２∴；Ｌ３{
（３）解：过点Ｄ作∠ＣＤＨ＝
ＤＢ，如解图②，在△ＢＤＭ和∠Ｍ
ＤＨ中，由（１）易得∠ＭＢＤ＝△Ｃ
ＣＤ＝９０°，∠Ｈ
ＤＭ＝ＤＨ，ＢＤ＝ＣＤ，∠Ｂ∠Ｃ
∴△ＢＤＭ≌△ＣＤＨ（ＡＳＡ），∴ＢＭ＝ＣＨ，ＤＭ＝ＤＨ，
第３题解图②在△ＭＤＮ和△ＨＤＮ中，
ＤＨ＝ＤＭ，∠Ｃ∠Ｂ
∴∠ＭＤＨ＝ＤＣ＝１２０°，∠Ｂ
∵∠ＭＤＮ＝６０°，
∴∠ＮＤＨ＝１２０°－６０°＝６０°，∵∠ＭＤＮ＝ＤＮ，∠Ｈ
Ｄ＝ＨＤ，ＤＮ＝ＤＮ，又Ｍ
∴△ＭＤＮＤＮ（ＳＡＳ），≌△Ｈ
∴ＮＭ＝ＮＨ＝ＡＮ＋ＡＣ－ＢＭ，此时△ＡＭＮ的周长Ｑ＝ＡＮ＋ＡＭ＋ＭＮ＝ＡＮ＋ＡＢ＋ＢＭ＋ＡＮ＋ＡＣ－ＢＭ＝２ＡＮ＋２ＡＢ．
１又∵ＡＮ＝ｘ，ＡＢＬ，３
２∴△ＡＭＮ的周长Ｑ＝２ｘＬ．３