一种Gauss型求积公式的收敛性

维普资讯 http://www.cqvip.com２ ０ 年９ ０ ８ 月　纯粹 数 学与应 用数 学　Ｐｕｒ 　 ｎｄ Ａｐｐｌｅ Ｍ ａｔ ｍ ａ ｉｓ ｅａ 　 ｉｄ　 ｈｅ ｔｃ 　Ｓｅ ｐ．２ ０８ ０ 　 Ｖ＿ ．４ ＮＯ．　 ０ ２　 １ ３第２ 卷 第３ ４ 期　一种 Ｇａ ｓ ｕ ｓ型求积公式 的收敛性　周 志 强　（ 怀化学院数学系， 湖南 怀化 ４ ８０ ） １０ ８　摘 要： 构造一种有理插值型求积公式 （ Ｉ Ｆ ） 并证明其收敛性． Ｒ Ｑ ｓ， 该方法是 Ｇ ｕｓ ａｓ 求　 积公式在有理 函数空间 Ｃ 　中的推广． ２ 　关 键 词：正交多项 式；权函数 ；ＲＩ Ｆ 　 Ｑ ｓ中图分类号：Ｏ ４ ． 文献标识码：Ａ 文章编号：１０—５３２０ ）３ ５ １ ４ ２１ ５ ０ ８５１（０８０— ２— 　 ０ ０１ 引 言　考虑如 下积 分　Ｌ（） 　 ，＝ｄ 　（） １ 　其中权函数　 ） ，１ ＞Ｏ 可积；／ｘ 为 ｆ １ 上的实值函数， Ｌ （） ０ ］ ， 带权　（） 　 可积． 对于 ｎ点 Ｇ ｕｓ ａｓ 　型求 积公式　Ｌ，≈ （ ＝ ｎ ｊ 　 （ 厶， 　　 ， ） ） ∑Ａ，　） 　具有 ２ 一１ ｎ 次代数精度， Ｉ（） ｗｆ，ｆ∈Ｐ 一． 即 ｎｆ ＝１（） ｖ ２ １这里 Ｐ　 １ 　 ２ 表示次数不高手 ２ —１ 一 ， 　 １的多项式集合． 一般在 （） 中， ｛ ｎ　 １为 ｎ 次带权正交多项式 的零点．记　 ， 　 ２式 取 　，． ］ 　＝ （ ｄ ｆ 礼１ （ 在节点 ｛ｊ ） 上的插值多项式， 　 ｘ， 　１ 　 则　 １ ｌ ｘｗ ｘ ｘ Ｌ － （，） 　 ｊ ） （） ， ｎ ｌ 　 ∈Ｐ 一 为 ， ）一　＝ 　㈤卜 　加 ， ） ） 　 　￣／ ［ １ 　一本 文利用 有理 插值 构造 与 Ｇａ ｓ ｕｓ公式相 似 的求积 方 法， 并证 明其 收敛性 ．为 叙述 方便 ， 先　给出下列记号： 紧集合 ａ＝｛ 　： ＝ １２… ，， ＝１２… ） 　 ＼＿ ，］满足　 　， Ｊ ，， 礼　 ，， ∈ ［１１ ，ｄａ ［１ｌ ： ｍｉ ｄ０， 【 １１ ＝ ＞０ （； 一 】 ＿， ） ｎ ［ 　 一 ，】 　 　， 】 　 ｒ ∈ ｎ　 Ｉｎ　一 　，收稿 日期 ：２ ０ － ６ １ ． ０６０ —２ 　基金项目：湖南省教育厅科研基金 （７ ５ ５０ Ｃ ６ ） ０ Ｃ ０ ，４ ４ ４ ． 　作者简介：周志强 （９ ４）硕士， １７－ ， 副教授， 研究方向： 数值计算 　维普资讯 http://www.cqvip.com５２ ２　纯粹 数学 与应用 数学　第２ ４卷　令复数域上的 ｎ次多项式 Ｉ （） Ｉ ｚ ＝ｎ ｌ ｎ 　 （ 　—Ｑ， ， Ｉ　　 Ｉ 是实数域上的 ２ ｊ ）则 Ⅱ （） 　 　 ｎ次多项式　定义有理 函数空 间　＝　 ∈　 ＝　 ∈　＞ 　对给定节点 ｛ｊ ） ， 　， 　１若存在求积系数 ｛ ｊ ， ， ｎ Ａ ， 　１使得 Ｌ（） ｎ ， ＝厶（） ， ＝∑　１ ｊ ，　， ，．∈ 　，（　ｖ 　 Ａｎ ） ｆ Ｃ　 则称 Ｉ（） ｃ 　中的 ｎ点 Ｇ ｕｓ ２， ｎｆ 是 ２ ａ ｓ 型求积公式． 　２ 主要 结果　本节证明 Ｃ　中的 几点 Ｇ ｕｓ ２ ａ ｓ 型求积公式 Ｉ （） ｎｆ 的存在性、稳定性和收敛性． 　定理 ２１ 存在 正系数　 ，， １２ … ， ． 　Ｊ＝ ，， ｎ及节 点　 Ｊ＝ １２… ， ， ，， ｎ 使得　薹 ： Ｖ　 　 　 Ｒ 　ｎ即 Ｃ 　中的 Ｇｕ ｓ ２ ａ ｓ型求积公式是存在 的． 　＂￣１ 令 ‰ （） 　 １ １ 　 　 ＝，　 ） Ｑ 是带权 ‰ （）的 礼次正交多项式，　， － ，］ 　 ｚ ｛ 　∈［ １１ Ｊ＝ ，１２… ， ） Ｑ ） ，， ｎ 是 　 的零点， 则存在正数　１ ，２ ， ，　 ， ，　 ， … 入 ， 使得　 　 　 　 ）（ ，　 ｎ（ ） ， ，％ｎ１ 　 Ｖ 一 　任取 Ｒ ｚ ∈ｃ　Ｒ（） 　 （） ２， 　 ＝，（） ＇一　 ｐ　 ∈１　 １ ２＝ 　 ｐ　 （Ｒ（ （ ｚ＝ 　 州 　＝∑　　　 ） ∑　　（ ）　 ） ， ，＝ ， ｘ Ｉ （ ｌ ｐ　 （ Ｒ ３ ｎ　 。 　 　ｊ 　 ＝ｌ ｊ 　 ＝ｌ令　 ，＝ 　 　Ｉ　　， Ｉ＞０ 代入上式得　 Ⅱ （， ） 　　 ，塾舭ｎ 　即 厶（ ） Ｒ ：Ｌ（ ，Ｒ ∈Ｃ　 　） Ｖ ２． 　定理 ２ 　（ ． 求积系数的一致有界性） 　 ，是 ｃ　中 Ｇ ｕ 求积公式 厶（） ２ 设 　 ２ ａｓ ｓ 　 的系数， 　 且条件 （） ３ 满足， 则存在 Ｍ ＞０ 使得　 ， （） ５ 　维普资讯 http://www.cqvip.com第 ３期　周志 强 ：一种 Ｇ ｕｓ 求积 公式 的收 敛性　 ａｓ 型证 明　 由定理 ２１的证 明过程有　 ・薹， ｃ 薹 　　 　 　 ｃ ｄ ｎ ： 删 ｚ 　 　 薹 ｃ ］　 ［ 　　 　 　ｄ 　 ＝ Ｊ ｃｚ Ⅱ ｚ　 　＋ ｄ＝ 　这里　 （） 　 为插值余项． 由于 ９　 ＝Ｉｎ　　 ∈／ ｎ 且最高次项系数为 １ 故　 。 ０ ：　 （） Ｉ （） Ｉ ＇， ２ ， 　 ￡ ・ 　Ｅ￣式及条件 （） Ｂ ３ 有　， 　／ｒ） ＋ ＿．２ 　 １（ 盟￣ Ｉｌ ｔ　出 　＝ 　’ 　一 　＋　…芸　 ％这 里Ｍ ＝￡１（ｄ． ｏ 　ｘ ｘ取Ⅳ＞；则２ （ ４对 ｏ） Ｊ ， Ｎｉ ， 任意Ｔ Ⅳ ＞ ／ 　 ， ＞塞，％　面 … ＝　 　 ＋ 　 鲁尬 　 　取 Ｍ　 删　（ ， 　 ∑　１ ｊ ） 则 ∑ｎ １ ， 　， ， Ⅳ 卢 　 　≤Ｍ， 对一切 礼∈Ｎ成立． 　由 定理 ２ 及定理 ２ 有如下推论： 　 １ ． ２ 　推ｌ １ 由定理 ２１ 论 　 ．给出的 ｎ点 Ｇ ｕｓ ａｓ 型求积公式　（） ． 是计算稳定的． 厂 　 证搠　 设　 ， 　是 ｆｘ， 的实际计算值， （　 ｊ） 并假设 Ｊ， 厂 　ｌ 　， 　 　一．　， ＜ Ｊ＝ １２… ， ； 　 （ ） ，， ｎ ｎ＝１２ … ， ，， 则　Ｉ，一 （ｌ Ｉ ［ ｊ 一 ， ∑Ａｄ（　 　　 ∑　 ６ 　 　 ） 厶　 ＝∑　 ｆ ， 　　 （ （ｎ 】 ｘ） Ｉ 　 ｊｆｊ 一 ， ， ｘ） １ ， 　 矗 Ｍ 　从而对任意 Ｅ ， 　 ＜南， ＞０只要 就有 Ｉ ， 一 　ｌ ， 厶（） 厶（ ＜ｅ这说明 Ｉ（） ｎｆ 是计算稳定的． 　定理 ２３ 设 Ｉ（） ￡　上的 Ｇ ｕｓ ． ｎｆ 是 ２ ａｓ 插值求积公式， 条件 （ 满足， ３ ） 则对 【１１上的任　 一 ，】 意连续函数 ， 有　 　） ｎ＋ 　 ， ＝Ｌ（） － 厶（） ∞ ’　 　 ，一 　证明　 令 冗 ＝ Ｕ 　 ， 　ｌ　 由文 … 知， ７ １ 当条件 （） ３ 满足 时， 在 Ｃ － ，】 冗 ［ １１ 中稠密， 即对给　 定 ｆｘ ∈Ｃ－ ，】存在 ＿ （） （） ［１１ ， 【 　 ∈冗， １２… 】对任意 ｅ ， 　 ｎ＝ ，， ． ， ＞０ 存在 Ｎ， ｎ＞Ｎ 时　 当Ｉ（） ，　 一日　 ）＜Ｅ Ｉ 　 （） ６ 　维普资讯 http://www.cqvip.com５４ ２　纯粹 数学 与应用数 学　第 ２ ４卷　另外由文 ［３ 有　 ２】 －厶（ ） Ｒ ＝Ｌ（ ） Ｒ∈７ Ｒ， Ｖ 　当 ｎ＞Ｎ 时， 利用 （ 式和 （ 式得　 ６ ） ７ ）Ｉｆ一ｗ ） ｔ ｎ ） １ｆ ＝ ∑　 （ （ｌｊ ｌ ＝ 　加　 ）） （　＿ ）　　 ） （ 一　 一１ 　 ｚ 一 　 　 ｄ／ （ 　ｌ ，） ） ｚ ））（ 薹 （一 　 　 （一　 　　　 （ 　 （　 ｄ 　 　ｌ 　（，一 ，￣ｘ ） 　 ∑　， ｘ ） ∑　　 （，　 Ｉｊ 　 Ｐ ｊｊ 　托ｊ 　 ＝ｌｎ　ｊ 　 ＝ｌ＜　∑　 ］ｘ ） Ｒ（，Ｉ Ｅ０ （ ～ ＋ ｏ ｆ ｙ 一 ｎｊ） Ｍ　ｅ ， Ｍ ） （， 　 ｘ ＋ 　 ∑ 　 　，　ｊ 　 ＝ｌｊ 　 ＝ｌ此处 Ｍｏ 　 １ （）ｘ 再由定理 ２ ， ＝ 　 ｘｄ ． ｗ ． 有　 ２ｎ　Ｉｆ一 （ｌ Ｅ ｎ ） Ｌ，≤（ （ ） ∑　 ＋ ｏ （ Ｍ） （一∞　 Ｍ） Ｍ＋ ｏ一０ 　∈ ｎ ）ｊ 　 ＝ｌ即 ｌ 厶（） ｉ ｍ ， ：Ｌ（） ， 　ｎ — ＋∞ 　参 考 文 献　【 Ｇｏ ｚ ｅ－ｅａＰ Ｊｍｅ ｅ　ａ 　 Ｏ ｉｅＲ ｅ ａ． ｎｔｅｃｎ ｅｇｎｅｏ　ｕ ｄａｕｅ ｒ ｕａ　ｏｎ ｃｅ　 ｉ 　 １ ｎ ａ ｚｖｒ　 ， ｉ ｎｚｐ ｉ Ｍ， ｒ 　 ， ｔ １ Ｏ 　 　 ｖ ｒｅ ｃ　ｆ ａ ｒｔｒ　 ｍ ｌ ｃｎ ｅｔｄｗｔ ｌ 　 】 ｌ ｚ ｖ 　 ｈ ｏ ｑ ｏ ｆ ｓ ｈ ｍｕ ｉ ｏｎ　 ａ ｄｔｐ　ｐ ｒｘｍａｉｎ【】Ｊ Ｍａｈ Ａ ａ． ｐ．１９ ， ０ ： ７７５ ｌ　 ｉｔＰ － ｅ ｐ ｏｉ ｔ Ｊ． ． ｔ． ｎ １Ａｐ １ ９ ６ ２２７ －７ ． ｔｐ ｄ ｙ ａ ｏ ， ４ 　 【 Ｇａ ｔｃｉ ． ａ ｓ－ ｐ 　ｕ ｒｔ ｒｒ ｌ 　 ｒ ａｉｎ ｌｕ ｃｉ ｓＪ．ｎｅｎ ｔ Ｓ ｒ Ｎ ｍｅ． ｔ．１９ ，１：１— ２ ｕｓｈ　 Ｇ ｕｓｔ ｅ ａ ａｕｅ ｕｅ ｆ 　 ｔ ａ ｆ ｔ ｎ ［ Ｉｔｒａ． ｅ． ｕ ｒ Ｍａｈ， ９３１ ２１１ 】 Ｗ ｙ ｑｄ 　 ｓｏｒ ｏ 　ｎ ｏ １ 　１ ０． ３ 　ｆ Ｓｈ ｅ ｅ Ｃ Ｒ ｔ ｎｌ ｅ ｔ ｉ ｅ ｏ ｔ ｎａｄ ｕ ｒ ｕｅ【． ｔ ｎｔ Ｓｒ Ｎ ｍ ｒ Ｍ ｔ，９３ １： ９ ３ ｃｎｉ ｒ ． ａｉ ａ Ｈ ｒ ｅｎ ｒ ｌ ｉ 　 　 ａ ａ ｒ Ｊ Ｉ ｅ ａ． ｅ ｕ ｅ． ａｈ １９， ２ ４－ 】 ｄ　 ｏ 　 ｍｉ　 ｔ ｐ ａ ｏ ｎ ｑｄ ｔ 】ｎ ｒ ． １ ３ 　３ ７． ５ 　Ｏｎ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ 　 ａ ｓ 　 ｕａ ｒ ｔ ｒ 　 ｏ ｍ ｕｌ ｓ 　 ｈ 　 ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ 　 ｆＧ ｕ ｓ ｑ ｄ ａ ｕ ｅ ｆ ｒ ａ　Ｚ ＨＯＵ　 ｈｉｑａ ｇ Ｚ — ｉｎ 　（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｈｕ ｈ ａＵ ｉ ｒｉ ， ｕ ｉｕ 　 １０８ Ｃ ｉａ　 Ｄｅａｔ ｎ　 　 ｈ ｍａｉ ， ａ ｕ 　 ｎｖ ｓｙ Ｈ ａ ａ ４ ８０ ， ｈｎ ） ｏ Ｍａ ｃ ｌ ｅ ｔ ｈＡｂ ｔａ ｔ ｏ ｔ ｃｅａｋｎ 　ｆ ｕ ｄａｔｅｆｒ ｌ　ｆ ａｉｎ ｌｎｅｐ ｌ ｉ 　ｆ ｎｅｒｔ ｎ（ Ｉ Ｆ ） ａ ｄｔ ｅ ｓｒ ｃ ：Ｃ ｎ ｒ ｔ　　ｉｄｏ　 ａ ｒｔｒ　 ｍｕａｏ　 ｔ ａ　 ｔｒｏａ ｏ ｏ　 ｔｇａｉ Ｒ Ｑ ｓ， ｎ 　ｈ　 ｓ ｕ ｑ ｉ ｏ ｒ ｏ ｉ ｔｎ ｉ ｏｃ ｎ ｒ ｅ ｅｏｆｆｒ ｕ ａ ｈａ 　 ｅｎ ｐｒ ｖｅ Ｔｈｉ　 ｅ ｈｏ ｉ　 ｎ　 ｘｔ ｎ ｉ 　 　 ａ ｓ 　 ｄ ｒ ｔ ｒ 　ｏｒ ｕｌ　 　 ａ ｉｎａ 　 ｏ ｖｅ ｇ ｎｃ 　 　ｏ ｍ ｌ 　 ｓ ｂｅ 　 ｏ ｄ． ｓ ｍ ｔ ｄ　 ａ ｅ ｅ ｏｎ ｏｆＧ ｕ ｓｑｕａ ａ ｕ ｅ ｆ ｍ ａ ｏｎ ｒ ｔｏ ｌ ｓ ｓｆ ｎ ｔ ｎ ｓ ａ ｅ Ｃ２Ｉ ｕ ｃ ｉ 　 ｐ ｃ 　 ｒ　 ｏ ．Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｏｔ ｏ ｏ ａ　 ｏ ｎ ｍｉｌ ｅ ｈ　 ｎ ｔ ｎ ， Ｉ Ｆ 　 ｙ ｒ ｓ ｒｈ ｇ ｎ ｐ ｌ ｏ ａ， ｉ ｔ ｕ ｃｉｓ Ｒ Ｑ ｓ ｌ ｙ ｗ ｇ ｆ ｏ２０ ００Ｍ ＳＣ ： ４１ Ａ２１ ２Ｃ０ ３０ ０ ，４ ５， Ｅ１