数值分析试题及答案
一、填空题( 每题6分，共30分)
1、辛普生求积公式具有代数精度，其余项表达式为
-
b -a b -a 4(4)
() f (ζ), ζ∈(a , b ) 。 1802
2、f (x ) =x 2+1, 则f [1,2,3]=f [1,2,3,4]=。 3、设l j (x )(j =0,1,2
n ) 是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
n ) ；∑l j (x ) =。
j =0n
⎧1, i =j ,
(i , j =0,1,2l j (x i ) =⎨
⎩0, i ≠j
4、设l j (x )(j =0,1,2
n ) 是区间[a , b ]上的一组n 次插值基函数。则插值
型求积公式的代数精度为 至少是n ；插值型求积公式中求积系数A j =
⎰
b
a k
l (x ) dx ；且∑A j =
j =0
n
5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 2.7183 和 8.0000 。
二、计算题(每题10分, 共计60分, 注意写出详细清晰的步骤)
1、已知函数y =f (x ) 的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式P 3(x ) =P () 的值近似值。（注：要求给出差商表） 解：差商表
12
1
由牛顿插值公式：
p 3(x ) =N 3(x ) =
438
x -2x 2+x +1, 33
141181
≈p 3() =() 3-2() 2+() +1=2
232232
求它的拟合曲线（直线）。 解：设y =a +bx 则可得
⎧5a +300b =52.90
⎨
300a +22000b =3797⎩
于是a =1.235, b =0.15575，即y =1.235+0.15575x 。
4、已知x 0=
113
, x 1=, x 2=, 424
(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式
⎰
1
113
f (x ) dx ≈A 0f () +A 1f () +A 2f () ；
424
(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算解：(1)所求插值型的求积公式形如：
⎰
1
x 2dx 。
2
⎰
1
113
f (x ) dx ≈A 0f () +A 1f () +A 2f ()
424
13
(x -)(x -) 11(x -x )(x -x ) 1
12dx =2; A 0=⎰l 0(x ) dx =⎰dx =⎰00(x -x )(x -x ) 030102(-)(-)
424413(x -)(x -) 11(x -x )(x -x ) 1102A 1=⎰l 1(x ) dx =⎰dx =⎰dx =-;
00(x -x )(x -x ) 031012(-)(-)
2424
11(x -)(x -) 11(x -x )(x -x ) 1201A 2=⎰l 2(x ) dx =⎰dx =⎰dx =;
00(x -x )(x -x ) 0313132021(-)(-)
4442
11113故⎰f (x ) dx ≈[2f () -f () +2f ()]。
03424
（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将
f (x ) =x 3, x 4代入上述公式，可得
11131333
=[2() -() +2() ],⎰0
43424
1111134444x dx =≠[2() -() +2() ],⎰0
53424
1
x 3dx =
故代数精度是3次。 （3）由2）可得：
112123212
x dx =[2() -() +2() ]=。 ⎰0
34243
1
5、用二分法求方程f (x ) =x -x -1在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；x ≈1.32。
6、用列主元消去法解线性方程组
*
3
⎧2x 1+3x 2+4x 3=6, ⎪
⎨3x 1+5x 2+2x 3=5, ⎪4x +3x +30x =32.
23⎩1
3
解：
⎛2346⎫⎛433032⎫⎛4 ⎪ ⎪ 3525→3525 ⎪ ⎪→ 3 433032⎪ 2346⎪ 2⎝⎭⎝⎭⎝
33032⎫⎛43⎛4 ⎪
→ 011/4-41/2-19⎪→ 011/433032⎫
⎪
525⎪346⎪⎭3032⎫
⎪
-41/2-19⎪ ⎝03/2-11-10⎪⎭ ⎝0⎛433032⎫→ 011-82-38⎪ ⎝0012⎪⎪⎭⎧4x 1+3x 2即⎪+30x 3=32, ⎧x 1=13, ⎨11x 82x ⇒⎪
2-3=-38, ⎨x 2=8, ⎪⎩
x 3=2. ⎪⎩x 3=2.
4
02/114/11⎪⎭