初三数学中考冲刺培训一
学大教育VIP 一对一数学讲义
《圆》专题教学
圆的认识
【基础知识精讲】
一、圆的定义:
圆是到定点到距离等于定长的点的集合,此定点为圆心,定长为半径.如图23-1-1,这个以点O 为圆
心,以OA 的长为半径的圆称作“圆O ”,记作“⊙O ”.
注意:
(1)圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小,二者缺一不可.
(2)圆心相同,但半径不相等的圆称为同心圆;圆心不同,半径相等的圆是等圆.
二、圆的基本元素
1.弦和直径:
2.弧和半圆:
(1)弄清半圆与弧之间的关系,半圆是一种特殊的弧,而弧不一定是半圆;
(2)在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫等弧,等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”.
3.圆周角和圆心角.
注意:圆周角具备两大特征:(1)顶点在圆周上,(2)角的两边都与圆相交,二者缺一不可,如图23-1-4
中的∠ABE 就不是圆周角.
三、圆的基本性质
1.弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系:
圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合,其旋转中心即为圆心.根据圆的这
一特性,可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系:在同圆或等圆中,如果两个
圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
注意:
(1)运用本知识点时,应注意其成立的条件:“同圆或等圆中”.
(2)如图23-1-5中,可用符号语言将上述关系表达为:
①∵∠AOB =∠COD ,∴
②∵
③∵AB =CD ,∴
④∵OM =ON ,∴ ,AB =CD ,OM =ON . ,∴∠AOB =∠COD ,AB =CD ,OM =ON . ,∠AOB =∠COD ,OM =ON . ,AB =CD ,∠AOB =∠COD
(还可进一步得出图中的优弧) .
(3)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法.
2.圆的轴对称性:
圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,利用“圆是轴对称图形”可以得到:
“垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.”
注意:
(1)此性质必须具备两个条件:直径;此直径垂直于弦,两者缺一不可.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
(2)常用此知识点进行一类计算题:在弦长、弦心距、半径三个量中,只需知道其中任意两个,都可求
出第三个,此时需构造Rt △,利用勾股定理求解.
3.圆周角的性质:
(1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半;
(2)同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧相等;
(3)半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
注意:
性质(1)的得出应分三种情况讨论:圆心在角的一边长;圆心在角的内部;圆心在角的外部,如图23-1-6
所示,后两种情况可转化成第一种情况来说明.
性质(2)是证明圆周角相等或弧相等的常用方法:“由角找弧”“由弧找角”.
利用性质(3)可确定一个圆的圆心;已知直径时,常构造直径所对的圆周角,这是圆中一种常见的辅助
线.
【经典例题精讲】
例1 如图23-1-7所示,直径为10cm 的圆中,圆心到弦AB 的距离为4cm .求弦AB 的长.
分析:利用“圆的对称性”:垂直于弦的直径平分这条弦.
例2 ⊙O 半径为10,弦AB =12,CD =16,且AB ∥CD .
求AB 与CD 之间的距离.
分析:本题目属于“图形不明确型”题目,应分类求解.
小结:
利用“圆的轴对称性”进行弦的有关计算时,常作出弦的弦心距,再添一半径,与弦的一半、弦心距
构成直角三角形,利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径这三量中,已知任意两个,可求第三个.
例3 如图23-1-9所示,AB 、CD 是⊙O 的两条直径,弦BE =BD ,则与是否相等?为什么?
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
例4 如图23-1-10所示,AB 是⊙O 的弦,C 、D 为弦AB 上两点,且OC =OD ,延长OC 、OD ,分
别交⊙O 于点E 、F . 试说明.
小结:
利用圆的“旋转对称性”得出的圆中四量:“圆心角、弧、弦、弦心距”之间的关系,是用来说明圆
中弧相等,角相等,弦相等的常用方法.
例5 圆的一条弦长等于它的半径,那么这条弦所对的圆周角度数是( )
A .30° B .60°
C .150° D .30°或150°
分析:本题属“图形不明确型”题目,一条弦所对的圆周角有两种:弦所对优弧对的圆周角以及弦所
对劣弧所对的圆周角.
小结:
(1)求一弦所对圆周角度数时,应注意分两种情况求解.
(2)一弦所对两个圆周角的度数之和为180°.
例6 如图23-1-12,已知AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,且AB =4,AC 23,点D 为
个动点,求∠D 的度数. 上任意一
小结:
在解决与“直径”有关的问题时,常构造直径所对的圆周角,则此圆周角必为直角.
例7 在图23-1-13,AB 是⊙O 的直径,C 为的中点,CD ⊥AB 于D ,交AE 于F ,连结AC .
试说明AF =CF .
分析:欲求AF =CF ,只需说明∠ACF =∠CAF ,其中∠CAF 是所对的圆周角,而由条件知
因此只需找出所对的圆周角是否与∠ACF 相等即可,而构造 ,所对的圆周角,需连结BC ,此时恰好构
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
造了直径AB 所对的圆周角∠ACB .
解法1:
连结BC ,如图23-1-14①所示.
小结1:
(1)在圆上,连结同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线,因为由此可得有关角相等;
(2)“见直径,构造直径所对的圆周角”是常用且重要的辅助线.
分析2:欲求AF =CF ,只需求出∠ACF =∠CAF ,因为∠CAF 对着,只需找出∠ACF 所对的弧与
是否相等即可,延长CD 交圆于H ,利用圆的轴对称性可得,从而得,则问题得解.
解法2:
如图23-1-14②所示,
小结2:
(1)有关圆的题目,圆周角与它所对的弧常互相转化,即欲证圆周角相等,可转化为证“圆周角所对的
弧相等”的问题来解决;弧相等的条件,可转化为它们所对的圆周角相等的结论.这是一种重要的解题思
路.
(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段与圆相交,这样可利用“垂直于弦的
直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧的性质得线段相等、弧相等.”
【中考考点】
例8如图23-1-15,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,如果AB =10,CD =8,那么AE 的长
为( ) A .2 B .3 C .4 D .5
分析:由条件,考虑运用圆的轴对称性,连结OC ,构造Rt △,利用勾股定理求解.
例9 “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大
小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:如图23-1-16所示,CD 为⊙O
的直径,弦AB ⊥CD 于E ,CE =1寸,AB =10寸,则直径CD 的长为( )
A .12. 5寸 B .13寸 C .25寸 D .26寸
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
小结:例8、例9两道考题主要考查由“圆的轴对称性”得出的结论:“垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的两条弧”这一知识点的运用.
例10 、如图23-1-17所示,A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点,且D 是
=100°,∠OBC =55°,则∠OEC =_________.
的中点,CD 交OB 于E ,∠AOB
分析:欲求的∠OEC 是△BEC 的外角,已知∠OBC 的度数,因此只需求出∠C 即可.“由角找弧”,
∠C 对着,而点D 是的中点,故所对的圆心角等于所对圆心角的一半.
小结:
本考题主要考查圆周角与圆心角的关系,其中,“由角找弧,由弧找角”是一种重要方法.
例11如图23-1-18,OE 、OF 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距,如果OE =OF ,那么_________(只
需写出一个正确的结论) .
分析:由于OE 和OF 是弦的弦心距.由弦心距相等,可得出相应的弦、弧、圆心角相等.
解:AB =CD 或,
,,,AE =BE =DF =CF .
小结:本题属开放性试题,答案不唯一,综合考查圆中“弧、圆心角、弦、弦心距”之间的“等对等
关系”,以及由“圆的轴对称性”得出的有关性质.
【常见错误分析】
例12如图23-1-19所示,AB 是⊙O 上的两点,且∠AOB =70°,C 是⊙O 上不与AB 重合的一点,
则∠ACB 的度数是___________.
错解:∵∠AOB =70°,
1∠ACB =∠AOB =35︒2∴.
误区分析:本题错解只考虑了点C 在优弧上的情况而忽略了点C 可能在劣弧
劣弧所对的圆周角,也可能是优弧所对的圆周角. 上,则∠ACB 可能是
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
例13 已知⊙O 中,,则AB 与CD 的关系是( )
A .AB =2CD B .AB>2CD
C .AB
错解:因为“同圆或等圆中,等弧对等弦”,所以,即有弦AB =2CD .
故选A .
误区分析:本题误用了圆中“弧、圆心角、弦、弦心距”之间的等对等关系.
【学习方法指导】
1.与圆有关的元素很多,如弦和直径,弧和半圆,圆心角和圆周角等概念,应结合图形,通过对比
的方法来研究它们之间的联系和区别.
2.应注意分类讨论的思想方法的运用,如求弦所对的圆周角度数问题,求圆内两条平行弦之间的距
离问题,“同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系”这一性质的得出等知识,都需要进行分类讨论.
【规律总结】
1.涉及圆内弦的一类计算题,常利用“垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧”的
性质,添加半径及弦的弦心距,构造Rt △.
2.由弧找角,由角找弧,是证明弧相等或角相等的常用思想方法.
3.“见直径,构造圆周角,必为直角”,这也是圆中一种常见的辅助线方法.
【同步达纲练习】
一、判断题
1.直径是圆中最长的弦;( )
2.两边都有与圆相交的角叫圆周角;( )
3.直径所对的角是直角;( )
4.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;( )
5.在同圆或等圆中,若两条弧相等,则它们所对的弦相等,弦心距也相等.( )
二、填空题
6.在直径为10cm 的⊙O 中,有条8cm 的弦,则弦的弦心距为_____________.
7.圆上有A 、B 、C 三点,若∠ACB =35°,则所对的圆心角为______________.
8.R 是⊙O 半径,R =6cm ,⊙O 内有一点P ,OP =3cm ,则过P 点的最短弦长为____________.
9.如图23-1-21所示,弓形ACB 中,弦AB =24,高CD =6,则弓形所在圆的半径为__________.
10.如图23-1-22所示,⊙O 的两条弦AB 、CD 的延长线相交于点P ,AD 、BC 交于点Q ,若∠APC
=28°,∠AQC =62°,则∠ABC =_____________.
11.一条弦分圆为1︰4两部分,则此弦所对圆周角的度数为_____________.
12.如图23-1-23所示,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠BCD =120°,则∠BOD =_________度.
13.如图23-1-24所示,AB =AC =AD ,∠DBC =18°,则∠CAD =___________.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
14.在⊙O 中,如果,则下列结论正确的是( )
A .AB =2CD B .AB>2CD
C .AB
15.如图23-1-25,∠A =α,则∠BOC =(
)
A .2α
C .180°-α B .360°-2α D .90°+α
16.AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,E 是的中点,=62°,则∠ABC =( )
A .62° B .52°
C .31° D .28°
17.直径为20的⊙O 中,度数为60°,那么弦AB 的弦心距为( )
A .10 153B .2
53
C .5 D .2
18.如图23-1-26,AB 是⊙O 的直径,CD 交⊙O 于G ,OE ⊥CD 于E ,AC ⊥CD 于C ,BD ⊥CD 于D ,
则下列结论错误的是( )
A .CG =HD B .CE =ED
AC OE C .E 是GH 的中点 D .OE BD
19.如图23-1-27,∠E =40°,,则∠ACD =( )
A .10° B .15°
C .20° D .12. 5°
20.如图23-1-28,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA =3,过点A 且长小于8cm 的弦共有( )
A .0条 B .1条
C .2条 D .4条
21.如图23-1-29,AB 是⊙O 的直径,∠C =30°,∠ABD =(
)
A .30°
C .50°
B .40° D .60°
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
22.已知△ABC 中,AB =AC ,∠A =40°,以AC 为直径的圆交CB 于E ,交AB 于D ,如图23-1-30
所示. 求、、的度数.
23.AB 、CD 是⊙O 中的两条平行弦,AB =40cm ,CD =48cm ,且圆心O 在AB 、CD 之间,AB 、CD
间的距离为22cm .则⊙O 的半径长是多少?
24.如图23-1-31,同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,试说明AC =BD .
25.AB 为⊙O 的弦,自圆上一点C 向AB 作垂线CD ,垂足为D ,如图23-1-32所示,则∠ACD 与∠
BCO 是否相等?为什么?
26.如图23-1-33所示,△ABC 的三个顶点都在⊙O 中,∠BAC 的平分线与BC 边和⊙O 分别交于点
D 、E .(1)试找出图中的相似三角形,并说明理由;(2)若CE =4,DE =2,求AD 的长.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
27.如图23-1-34所示,已知在⊙O 中,直径AB =10cm ,BC =8cm ,CD 平分∠ACB .
(1)求AC 和DB 的长.(2)求四边形ACBD 的面积.
28.如图23-1-35所示,△ABC 三个顶点在圆上,AB =AC ,D 是BC 边上一点,E 是直线AD 和圆的
交点.(1)试说明AB =AD ⋅AE ;(2)当D 为BC 延长线上一点时,第(1)题结论还成立吗?如果成立,请
说明为什么;不成立,说出理由.
2
【学习目标】
1.理解弧长、扇形面积公式的由来及其意义,会恰当运用公式计算弧长及扇形的面积.
2.掌握圆锥的特征,了解圆锥的侧面展开图是扇形,会计算圆锥的侧面积和全面积.
【基础知识精讲】
1.关于弧长的计算公式
在探索弧长计算公式时,我们经历了从特殊到一般的过程,这样,我们就能在理解的基础上掌握弧长
的计算公式:
l =1n πr
180,其中l 为n °的圆心角所对弧的弧长,r 为圆的半径.圆心角是1°的弧长等于圆周长的360,
公式中“n ”的意义是“1°的圆心角的倍数”,应用公式计算时,不应再写单位“°”.
注意:弧长的计算公式提示了l 、n 、r 三个量之间的一个等量关系,若已知其中的任何两个,则可以
应用弧长公式计算第三个量.也就是说,把弧长公式看成“方程”,是正确、灵活应用弧长公式的关键.
2.关于扇形的面积公式
(1)扇形定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形.
(2)关于扇形的面积公式的推导与弧长的公式推导类似,也是经历从特殊到一般的过程.明白这个道理
有助于记住计算公式.
如果设圆心角是n °的扇形的面积为S ,圆的半径为r ,那么扇形的面积为:
n πr 2n πr r l S ==⨯=lr 36018022.
因此,扇形的面积计算公式为:
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
n πr 21S =S =lr 360;②2. ①
注意:如果把扇形看成一个“曲边三角形”,l 看作底,r 看作高,那么扇形面积公式S =1lr 2与三角形1S =ah 2就完全相类似,当已知扇形的半径和弧长时,应用这个公式计算扇形面积比较方便. 面积公式
3.圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,如图23-3-1,我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的
连线叫做圆锥的母线,连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
(2)如图23-3-2,圆锥可看成由直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转成的.圆锥侧面积的计算,
与解轴截面中的直角三角形有着紧密的联系.
(3)如图23-3-3,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆
的周长.
(4)圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,而圆锥的全
面积是它的侧面积与它的底面积的和.
(5)在生活中,生产实际中,有些物体常常是由圆柱,圆锥组合而成的,计算它们的表面积,则应把它
们分解为基本的几何体,再进行计算.
注意:在计算圆锥的侧面积时,要注意各元素之间的对应关系,千万不要错把圆锥底面圆半径等于扇
形半径或把圆锥的母线长当作扇形的弧长.
4.圆柱的侧面展开图
把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开,展在一个平面上,侧面的展开图是矩形.这个矩形的一边长等于
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
圆柱的高,即圆柱的母线长,另一边长是底面圆的周长,所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高.
【经典例题精讲】
例1 弯制管道时,先按中心线计算“展直长度”;再下料,试计算图23-3-4所示管道的展直长度L(单位:mm ,精确到10mm) .
例2 如图23-3-5,A 是半径为2的⊙O 外的一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA ,连结AC ,则图中阴影部分的面积等于__________.
2πA .3
C .π 8πB .3
2π
+3
D .3
S =S
扇形O BC . 注意:本题考查扇形面积的计算,解题关键是探索∠BOC =60°,阴
例3 如图23-3-6,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =20cm ,BC =15cm ,以直线AB 为轴旋转一周,得到一个圆锥,求这个几何体的表面积.
分析:这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和.其中AB 为旋转轴,OC 为旋转半径,CO 就是△ABC 的高,可用面积法求得OC ,旋转结果为两个共底的圆锥,这两圆锥的母线分别为AC 和BC .
注意:本题考查学生的空间想像能力,对旋转体概念的理解能力,对旋转体的表面积的计算能力.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
例4 实际应用题
如图23-3-7,某校为了美化校园,在一块长为10米的长方形土地上修建两个对称的圆形花圃,要使图中阴影部分草地的面积为8(4-π) 平方米,中间道路的宽应为多少米?
注意:对于几何图形的分割求面积的问题,主要是将不规则图形的面积用规则图形的面积表示出来.
【中考考点】
例5 如图23-3-8,有一直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出圆心角是90°的一个最大扇形ABC ,
求(1)被剪掉阴影部分面积;
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示)
分析:要求弓形面积就必须先求弓形所对的中心角,由圆周角∠BAC =90°可知,BC 必为圆心O 的直径,结合圆的对称性可知△BAC 是等腰直角三角形.在具体计算面积时,若分别求两弓形和新月形的面积之和,则比较繁锁,而采用面积差计算则相对较易.
注意:
(1)阴影部分的面积是圆的面积减去一个圆心角为90°的扇形的面积,关键是求扇形ABC 的半径. (2)扇形的弧长即是圆锥的底面周长.
例6圆锥的母线长为5cm ,高为3cm ,在它的侧面展开图中,扇形的圆心角是___________. 注意:圆锥的母线长即为侧面展开图中扇形的半径.
例7如图23-3-9,扇形的圆心角∠AOB =135°,C 为扇形上一点,且∠BOC =45°,设扇形BOC ,三角形AOC ,弓形AmC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则它们之间的大小关系(用“>”表示) 是__________.
注意:本题还可试用估算的方法来比较两个无理数的大小.
【常见错误分析】
例8 圆锥的侧面展开图是半径为3cm 的半圆,则此圆锥的底面半径是_______ A .1. 5cm B .2cm C .2. 5cm D .3cm 错解:选D .
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
正解:选A .
误区分析:在圆锥及其侧面展开图的计算中,将两个半径(圆锥底面半径,侧面展开图半径) 的概念混淆,以致计算错误.如本题中3是侧面展开图半径,而不是圆锥底面半径,应该通过圆锥底面周长等于侧
31
2πr =π⨯2⨯3r =
2,因2面展开图扇形的弧长计算出底面半径.如图23-3-10,即设底面半径为r ,则,
此选A .
注意:在计算圆锥及侧面展开图问题时,一定要认真审题,分清两个角(圆锥轴截面顶角和侧面展开图圆心角) ;两个半径(圆锥底面半径,侧面展开图半径) .其次,最好将圆锥的轴截面、底面、直观图和侧面展开图同时如图23-3-11这样画出,使四个量在同一图形中出现,便可避免张冠李戴.
【学习方法指导】
1.运用从“特殊到一般”的数学思想方法探索弧长公式和扇形面积公式.即通过对各种特殊角度的圆心角所对弧长的分析,逐步推出任意角度的圆心角所对的弧长计算公式,扇形面积公式推导方式与弧长公式类比.
2.公式法:在有关圆周长、圆面积、弧长、扇形面积以及圆柱、圆锥侧面积的计算中,有一些题型可以直接由相关公式求出其结果,学习中我们不能忽略这最基本、最直接的计算方法,但运用公式时要注意公式中各字母的意义,避免混淆.
【规律总结】
1.本单元是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积以及圆柱、圆锥侧面积的计算.我们应该熟记它们的计算公式.
2.把不规则图形的面积通过“和差法”“割补法”“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.
【同步达纲练习】
2
1.已知扇形的半径为10cm ,弧长为5πcm ,则扇形的面积为_________cm . 2.若扇形面积为3π,半径为3,则弧长为_________,圆心角为_________.
3.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r 的半圆,则这个圆锥的全面积是_________.
2
4.若圆锥的底面半径为1cm ,侧面展开图的面积为2πcm ,圆锥的母线长为_________. 5.已知扇形的弧长为2πcm ,半径是12cm ,则这个扇形的圆心角是( ) A .60° B .45° C .30° D .20°
2
6.扇形的弧长是20πcm ,面积是240πcm ,则扇形的半径是( ) A .6cm B .12cm C .24cm D .28cm
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
7.如图23-3-12中五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A 点到B 点,甲虫沿
路线爬行,乙虫沿
路线爬行,则下列结论正确的是(
)
A .甲先到B 点 B .乙先到B 点 C .甲、乙同时到B 点 D .无法确定
8.如图23-3-13,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ,则图中五个扇形(阴影部分) 的面积之和是( )
A .π B .1. 5π C .2π D .2. 5π
1
9.如果圆柱的高为20cm ,底面半径是高的4,那么这个圆柱的侧面积是( )
2222
A .100πcm B .200πcm C .400πcm D .500πcm
10.已知圆锥的底面半径是3,高是4,则这个圆锥侧面展开图的面积是( ) A .12π B .15π C .30π D .24π
⊙O 1内切于扇形AOB ,11.如图23-3-14,切点为C 、D 、E ,已知⊙O 1的面积为16π,∠AOB =60°.求
扇形AOB 的周长和面积.
12.如图23-3-15,已知一个圆柱和一个圆锥的组合体,底面半径为2cm ,圆柱和圆锥的母线长均为6cm ,求它的全面积.
13.如图23-3-16,一个圆柱体的高为20cm ,底面半径为6. 7cm ,在圆柱下底面A 点有一只蚂蚁,想吃到与A 点相对的上底面B 点的一颗粘住的砂糖,这只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱形的曲面爬到B 点,最短路线多长?(精确到0. 1cm)
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
【基础知识精讲】
1.直线与圆的位置关系
(1)设r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表:
注意:
若一条直线与一个圆没有公共点,那么这条直线与这个圆相离;若一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切;若一条直线与一个圆有两个公共点,那么这条直线与这个圆相交.
2.圆的切线
(1)定义:和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线,这个公共点叫切点. (2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 注意:
①②是对“切线的识别”的两种叙述方式,虽然形式上不相同,但本质上是一致的,在解题时,我们可根据题目特点灵活选择适当的方法.在应用切线的识别方法时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可.
3.切线长定理
(1)
切线长定义:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
注意:
我们要明确切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
4.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆.
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形. 注意:三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点. 5.三角形外心、内心有关知识比较 不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
注意:我们一定要从文字、图形和实际意义上区别“内切圆”和“外接圆”这两个概念,以免混淆. 6.圆与圆的位置关系
在平面内,两圆作相对运动,可以得到下面不同的位置关系. (其中设R 、r 为两圆的半径,d 为圆心距) 从上表中可看出,两种圆的五种位置关系是从d 很大,然后逐渐减小,它们的位置从外离逐渐演变成内含.
注意:两圆内含时,如果d =0,则两圆同心,这是内含的一种特殊情况.
【经典例题精讲】 例1 如图23-2-1,已知等边△ABC 的边长为23cm ,下列以A 为圆心的各圆中,半径是3cm 的圆是( )
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
分析:此题是考查线与圆的位置关系,由基本知识点可知,要判断直线与圆的位置关系,只需知道圆心到直线的距离与半径之间的关系.过A 作AD ⊥BC ,交BC 于D ,可求出AD =3cm ,即AD 等于半径,故圆与直线BC 相切.
注意:要判断直线与圆的位置关系,一定要知道圆心到直线的距离与半径的关系,若题目中没有直接给出,要想办法求出.
例2 如图23-2-2,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为D ,试说明:AC 平分∠DAB .
注意:在解有关圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径.
例3 已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,OC 平行于弦AD(如图23-2-3) .试说明DC 是⊙O 的切线.
注意:欲说明一条直线是圆的切线,需证这条直线垂直于经过切点的半径,这是证明某直线是圆的切线的方法之一,也是常用的方法.
例4 如图23-2-4,已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙O 于点D 、E ,交AB 于C .(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)如果PA =4cm ,PD =2cm ,求半径OA 的长.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
例5 两圆半径长分别是R 和r(R>r),圆心距为d ,若关于x 的方程x -2rx +(R -d ) =0有两相等的实数根,则两圆的位置关系是_________
A .一定内切 B .一定外切 C .相交 D .内切或外切
注意:方程有两相等实数根,说明△=0.这是一道代数与几何综合题,解题时一定注意分析明白.
例6 如图23-2-5①,施工工地的水平面上,有三根外很都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是(
)
22
A .2
B .
1+
22
1+33
1+
2 C .2 D .
注意:两圆外切,连结圆心,即连心线是常用的辅助线,当涉及到计算时,构造直角三角形是常用的方法之一.
【中考考点】
例7如图23-2-6,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作 ⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于(
)
A .30° B .45° C .60° D .90°
注意:两圆相切,连心线必过切点,故OO ′=2O ′A ,另外考查了直角三角形的性质.
例8 (1)已知两圆的半径分别为3cm 和4cm ,圆心距为2cm ,那么这两圆的位置关系是( ) A .内含 B .相交 C .内切 D .外离
(2)已知两圆的半径为7和4,圆心距为5,那么这两圆的公切线的条数是( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
分析:(1)熟练地掌握两圆的5种位置关系,一般抓住两种特殊的位置关系,即(外切、内切) ,然后推出其他三种情况.
即:内切⇔d =R -r(R>r) 外切⇔d =R +r 相交⇔R -rr)
外离⇔d>R+r 内含⇔dr)
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
例9 如图23-2-7,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于P 点,若CD =3,AB =4,则tan ∠BPD 等于(
)
37
A .3 B .4
45C .3 D .3
注意:当证明有关线段的比例式才能直接运用基本定理推导时,通常由“三点定形法”证三角形相似.
例10 已知△ABC 内接于⊙O ,过点A 作直线EF .
(1)如图23-2-8a ,AB 为直径,要使EF 是⊙O 的切线,还要添加的条件是(只需写出三种情况) .
①__________,或②__________,或③__________.
(2)如图b ,AB 为非直径的弦,∠CAE =∠B ,试说明EF 是⊙O 的切线.
分析:根据切线的判定定理,由AB 是直径,因此围绕∠BAE =90°可得到其他的条件. 解:
(1)①∠CAE =∠B ,②AB ⊥EF ,③∠BAC +∠CAE =90°, ④∠C =∠FAB ,⑤∠EAB =∠FAB ,供参考.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义
第1讲 杨老师
例11如图23-2-9,已知AB 为⊙O 的直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C .
(1)当点P 在AB 延长线上的位置如图①所示时,连结AC ,作∠APC 的平分线,交AC 于点D ,请你测量∠CDP 的度数.
(2)当点P 在AB 延长线上的位置如图②和图③所示时,连结AC ,请你分别在这两个图形中用尺规作∠APC 的平分线(不写作法,保留作图痕迹) ,设此角平分线交AC 于点D ,然后在这两个图形分别测量出∠CDP 的度数.
猜想∠CDP 的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化? 并对你的猜想加以证明. 【常见错误分析】
例12 如图23-2-10,PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点,∠APB =78°,点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点,那么∠ACB =__________.
错解:51°.
误区分析:由于点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点,故点C 可能在劣弧上,也可能在优弧上,即点C 有两种位置关系,∠ACB 有两解,错因就是对位置关系考虑不全面,产生少一解的错误.
例13 如图23-2-11,两圆同心,半径分别为9cm 和5cm ,另有一个圆与这两圆都相切,则此圆半径为___________
A .2cm B .7cm C .2cm 或7cm D .4cm 错解:选A .
误区分析:另有一个圆与这两圆都相切存在两种情况,如图23-2-12.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
一种是与大圆内切与小圆外切,如⊙O 1,求得半径为2cm . 一种是与大圆内切与小圆内切,如⊙O 2,求得半径为7cm .
错因由于对位置关系考虑不全面,出现漏解错误.
小结:经过以上2题的错解原因,我们解题一定要分类讨论,考虑全面,以免出现漏解现象,同时要注意二值题型.
【学习方法指导】
1.注意运用类比的方法,如学习直线与圆的位置关系可与点与圆的位置关系相类比,学习圆与圆的位置关系时与点与圆,直线与圆的位置关系进行类比.
2.我们学习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时要应用运动变化的观点和数形结合的思想方法,借助图形的直观,注意图形位置关系变化时,相应的数量关系如何变化,抓住图形的运动变化过程中“形”(不同的位置关系) 和“数”(相关的数量关系) 之间的本质联系.
【规律总结】
1.判定一条直线是圆的切线,常有以下两种情况:
(1)当已知直线与圆有一个公共点时,画出以这个公共点为一个端点的半径,再说明这条半径与已知直线垂直.
(2)当直线与圆的公共点尚未确定时,则应画出圆心到这条直线的垂线段,再说明这条垂线等于圆的半径.
2.本单元常用辅助线:
(1)有切点,可作过切点的半径. (2)两圆相交,可作公共弦. (3)两圆相切,可作公切线.
(4)有半圆,可作整圆;有直径,可作直径所对的圆周角. (5)圆与圆要心连心,即作连心线.
3.遇有三角形的内切圆,要联想到:(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等(2)三角形的内心与三个顶点的连线平分三角形的三个内角.
【同步达纲练习】 一、填空题
1.一个圆的直径是6cm ,到圆心的距离是4cm 的一点A 在圆_________.
2.⊙O 的半径r =5cm ,圆心O 到直线l 的距离d =OD =3cm ,在直线l 上有P 、Q 、R 三点,且PD =4cm ,QD>4cm,RD
3.△ABC 中,O 是它的外心,BC =24cm ,O 到BC 的距离为5cm ,则△ABC 外接圆的半径等于_________cm.
4.已知∠AOC =60°,点B 在OA 上,且OB 2,若以B 为圆心,R 为半径的圆与直线OC 相离,则R 的取值范围是_________.
5.如图23-2-13,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,BC =4cm ,若以点C 为圆心画圆与AB 相切,则⊙C 的半径等于_________cm.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
6.如图23-2-14,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点为B 、C ,D 是优弧BC 上的点,已知∠BAC =80°,那么∠BDC =_________.
7.如图23-2-15,PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,C 是上任意一点,过C 作⊙O 的切线交PA 及PB 于D 、E 两点,若PA =PB =5cm ,则△PDE 的周长为_________cm.
8.△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、AC 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,且AB =13cm ,BC =14cm ,AC =9cm ,则AF =_________,BD =_________,CE =_________.
9.已知相切两圆半径分别为2cm 和5cm ,则两圆的圆心距为_________.
10.两圆外切时,圆心距为12cm ,当它们内切时,圆心距为3cm ,两圆半径分别为_________与_________,当它们内含时,圆心距的取值范围是_________.
二、选择题
11.已知等腰△ABC 中,AB =AC =5,底边BC =6,若以顶点A 为圆心,以4为半径作⊙A ,则BC 与⊙A( )
A .相交 B .相切 C .相离 D .不能确定 12.如图23-2-16,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与AB 延长交于P ,PC =5,则⊙O 的半径为( )
53A .3 C .10 53B .6 D .5
13.如图23-2-17,点O 是△ABC 的内心,AO 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ,下列结论:①BD
2
=CD =DO ;②∠ACO =∠ABO ;③∠BOD =∠COD ;④∠AOB =∠CBO ;⑤DO =DF ⋅DA ;⑥OA =OB =OC .其中正确的有( )
A .2个 B .3个 C .4个 D .5个
14.若直角三角形斜边长为10cm ,其内切圆的半径为2cm ,则它的周长为( ) A .24cm B .22cm C .14cm D .12cm
15.半径分别为1cm 和5cm 的两个圆相交,则圆心距d 的取值范围为( ) A .d
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
三、解答题
16.如图23-2-18,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ,过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ,试判断△AED 的形状.并说明理由.
17.如图23-2-19,要在一个直角三角形的铁片上裁剪下一个图片,已知AB =60cm ,BC =80cm ,为了充分地利用这块铁片,使剪裁下来的图片的直径尽量大一些,应该怎样裁剪?这个圆的最大直径是多少?
18.如图23-2-20,D 是⊙O 直径AB 延长线上一点,PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D =30°,线段PA 与PD 相等吗?为什么?
19.如图23-2-21,△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过D 作DE ⊥AC ,交AC 于E ,DE 是⊙O 的切线吗?为什么?
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
【重点、难点、考点】
重点:圆的切线的性质与判定定理,切线长定理,相交弦定理,切割线定理及其推论. 难点:圆的切线的判定及综合运用有关知识解题.
考点:这一知识点是初中几何中最精彩的内容之一,运用这些性质,定理以及相似形的知识解决综合性的问题是各地中考必考题型,约占考量的9%.
【经典范例引路】 例1 如图,P 是⊙O 外一点,PD 为切线,D 为切点,割线PEF 经过圆心O ,若PF =12,PD=43,求∠EFD 的度数.
【解题技巧点拨】
本题要抓住“切线”这一重要的“引线”,综合运用切割线定理和直角三角形的有关性质解题。 例2 如图,AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线,交BC 的延长线于点D ,延长DA 交△ABC 的外接圆于点
2
F ,连结FB 、FC .(1)求证:FB =FC ;(2)FB =FA ·FD ;(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC =120°,BC =6cm ,求AD 的长.
【解题技巧点拨】
(1)中要注意运用与圆有关的角的性质和等腰三角形的判定进行证明。(2)中要注意比例线段的基本图形(1)中证△AFB ~△BFD ;或图(2)中证明 △AFC ~△CFD 而达到目的。
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级
VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
【综合能力训练】 一、填空题
1.如图,A 是⊙O 的直径CB 延长线上的一点,AD 为⊙O 的切线,D 为切点,∠DBC =70°,则∠A 的度数为 .
2. 已知⊙O 的直径为12cm ,如果圆心O 到直线l 的距离为5cm ,那么直线l 与⊙O 有 个公共点.
157
3. 矩形长为2,宽为1,以矩形对角线的交点为圆心,分别以①2,②2,③2为半径作圆,矩
形各顶点与圆的位置关系是① ,② ,③ .
4. 如图,点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点,割线CD 交⊙O 于C 、D ,若PA =2,AB =10,PC =3,则CD = ,CD 的弦心距OE = 。
5. 在△ABC 中,∠ABC =50°,∠ACB =75°,点 O是内心,则∠BOC . 6. 如图⊙O 中,弦AB 与CD 相交于点P ,且PA ∶PB =3∶2,PC =8cm ,PD =3cm ,则AB = cm.
7. 如果⊙O 的直径为4cm ,它的外切梯形的周长为16cm ,那么梯形面积为 cm.
8. 如图,从圆外一点P 引圆的切线PA ,点A 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D 、B ,已知PA=12,PD =8, 则S △ABP ∶S △DAP = 。
二、选择题
9. 下列直线一定是圆的切线的是( )
A .与圆有公共点的直线 B .垂直于圆的半径的直线 C .与圆心的距离等于半径的直线 D .过圆的半径外端的直线
10. 以直角三角形 ABC的直角边AB 为直径作圆,交斜边 BC于 D,设AB=2,∠B =60°, 则AD=( )
2
A .1 C .2 D .23
11. 圆内一弦与直径相交成45°角,且分直径为1cm 、5 cm两段,则这弦的弦心距为( ) A .2cm B .2cm D .1cm
12.直线l 与半径为r 的⊙O 相交,且点O 到直线l 的距离为5,则r 的取值是( ) A .r>5 B .r=5 C.r <5 D . r≥5
三、解答下列各题:
13. (已知:如图,AB 是半圆O 的直径,CB 是⊙O 的切线,OC 交半圆 O于点D ,AD 的延长线交BC 于
2
点E ,求证:CD = CE·CB .
3B .2
2C .2
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
14. 已知:如图,在△ABC 的外接圆中,D 是BC 的中点,AD 交BC 于点E ,∠ABC 的平分线交AD 于点
2
F ,求证:FD =AD·ED 。
⌒
15. 如图,已知直线MN 与以AB 为直径的圆相切于点C ,∠A =28°,(1)求∠ACM 的度数;(2)在MN 上是否存在一点D ,使AB ·CD =AC ·BC ,为什么?
16.矩形ABCD 中,AB =1,BC =4,⊙O 与AD 、BC 相交于点M 、N ,AM=CN,点O 在BC 上,求⊙O 的直径.
17. 如图,AB 是⊙O 的直径,P 在AB 的延长线上,PD 与⊙O 相切于D ,C 在⊙O 上,PC=PD. (1)求证:PC 是⊙O 的切线;
(2)连结AC ,若AC =PC ,PB =1,求⊙O 的半径.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
18. 如图,梯形 ABCD内接于⊙O ,AD ∥BC ,过点B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F 。
2
(1)求证:AB =AE ·BC ;
(2)已知:BC =8,CD =5,AF =6,求 EF的长.
19. 已知:如图CD 是△ABC 外角∠MCA 的平分钱,CD 与三角形的外接圆交于点D . (1)若∠BCA=60°,求证:△ABD 为等边三角形;
⌒
⌒
⌒
(2)设点F 为AD 上一点,且AF =BC ,DF 的延长线交BA 的延长线于点E ,求证:AC ·AF =DF ·FE .
20. 如图⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠ACB =45°,∠ABC =120°,⊙O 的半径为1,(1)求弦AC 、AB 的长;(2)若P 为CB 延长线上一点,试确定P 的位置,使PA 与⊙O 相切并证明.
21.(2001年天门市中考题)如图,已知PA 是⊙的切线,A 为切点,PBC 是⊙O 的割线,弦CD ∥AP ,
2
AD 交 BC于E ,点F 在CE 上,且ED =EF ·EC 。(1)求证:∠EDF =∠P ;(2)求证:CE ·EB =EF ·EP ;(3)若CE ∶EB =3∶2,DE =6,EF =4,求PA 的长.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
学大教育 八宝街总校 九年级VIP 一对一 数学讲义 第1讲 杨老师
【创新思维训练】
22. 如图,以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,过D 作DE ⊥AC 于E ,可得结论:DE 是⊙O 的切线.
问:(1)若点O 在AB 上向点B 移动,以O 为圆心,OB 长为半径的圆仍交BC 于D ,DE ⊥AC 的条件不变,那么上述结论是否成立?请说明理由.
3
(2)如图AB =AC =5cm,sinA=5,那么圆心O 在AB 的什么位置时,⊙O 与AC 相切?
23. 如图,正方形ABCD 中,有一直径为BC 的半圆,BC =2cm ,现有两点E 、F ,分别从点B ,点A 同时出发,点E 沿线段BC 以1cm/s的速度向点A 运动,点F 沿折线A —D -C 以2cm /s 的速度向点C 运动,设点E 离开点B 的时间为t (s ).
(1)当t 为何值时,线段EF 与BC 平行?
(2)设1<t <2,当t 为何值时,EF 与半圆相切?
(3)当1≤t <2,设EF 与AC 相交于点P ,问点E 、F 运动时,点P 的位置是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求AP ∶PC 的值.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
【重点、难点、考点】
重点:熟悉函数与圆的综合性试题的解题技巧
难点:圆的有关性质与函数有关数量之间的相互转化
考点:此类问题综合代数与几何中的重点知识,能充分考查学生综合运用知识及较好运用数形结合、转化、方程等重要思想的能力,是各地中考压轴题的热点题型,分值占到13%左右.
【经典范例引路】
2
例1 如图,抛物线y =ax -3x +c 交x 轴正方向于A 、B 两点,交y 轴正方向于C 点,过A 、B 、C 三点作⊙D ,若⊙D 与y 轴相切.(1)求 a、c 满足的关系式;(2)设∠ACB =α,求tan α;(3)设抛物线顶点为P ,判断直线PA 与⊙D 的位置关系,并证明.
【解题技巧点拨】
此类问题常要利用圆的有关性质解决,有关性质是:对称性,圆与直线相切的性质和判定,圆与圆相切及相交的性质和判定等,将圆置于平面直角坐标系中后,也要注意作出直角三角形,利用解直角三形的方法和技巧实现数与形的转化.
【综合能力训练】
12
1.已知抛物线y=2x +px +q 与x 轴相交于不同的两点A (x 1,0)、B (x 2,0)(B 在A 的右边),又
115
抛物线与y 轴交于C 点,且满足x 1+x 1=4. (1)求证:4p +5q =0;(2)问是否存在一个圆O ′,使它经
过A 、B 两点,且与y 轴相切于C 点?若存在,试确定此时抛物线的解析式与圆心O ′的坐标;若不存在,请说明理由.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
2.已知在x 轴正半轴上有A 点,在y 轴正半轴上有B 、C 两点,且B 点在C 点下方,BC =2,把过A 、B 、C 的圆记作⊙M ,∠BAC 记作∠α.(1)试判断x 轴与⊙M 的位置关系;若在x 轴的正半轴上有点P ,且P 不与A 重合,再判断∠α与∠BPC 的大小关系(不必证明);(2)若B 点坐标为(0,1),指出当x 轴与⊙M 为何关系时,∠α最大?当∠α最大时,求出A 点坐标;(3)如图,⊙M 与x 轴交于A 、D 两点,弦AD 分⊙M 所成劣弧和优弧的长度比为1∶3,且M 点在直线y=x-2上,求过M 、A 、D 三点的抛物线的解析式;(4)在(3)中的抛物线上是否存在点E ,使S △EAD :S △AMC =15∶4?若存在,求出E 点坐标;若不存在,请说明理由.
91
3.如图,直角坐标系中,P 为x 轴正半轴上一点,且OP =2,以P 为圆心,72为半径的圆与x 轴交
于A 、B 两点,与y 轴负半轴交于点C ,抛物线过A 、B 、C 三点,其顶为M .(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线与⊙P 的第四个交点D 的坐标,并求直线DM 解析式;(3)判断直线MD 与⊙P 的位置关系,并说明理由.
【创新备考训练】
22
4.已知二次函数y= -x +2kx-(k +2k-6),k 为正整数,它的图象与x 轴交于点A 、B ,且点A 在原点的左边,点B 在原点的右边.(1)求这个二次函数的解析式;(2)直线y = mx+n过点A 且与y 轴的正半轴交于点 C,与抛物线交于第一象限内的点D ,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,已知S △EDB ∶S △ACO =3∶1 ①求直线的解析式;②若点O 1是△ABD 的外接圆的圆心,求tan ∠ADO 1;(3)设抛物线交y 轴于点D ,问:点F 是否在△ABD 的外接圆上?请证明你的结论.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
怎样对课本中的典型例题和习题进行变形?
综观近几年各地中考数学试卷,源于课本典型例、习题的中考题不胜枚举.针对课本中的典型例、习
题进行演变、引伸和延拓,不仅能更好地巩固所学知识,而且能培养探索研究能力,形成创新意识.
(1)原题 已知:如图7-132,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦.AE ⊥CD ,垂足为E ;BF ⊥CD ,垂足为F .求
证:EC =DF .
此题是习题7.1A 组第12题,下面我们来看一下它在中考中的演变.
①(Ⅰ)例,如图7-133(1),AB 是⊙O 的直径,直线l 与⊙O 有一个公共点C .过A 、B 分别作l 的
垂线,垂足为E 、F ,则EC=CF.
(Ⅱ)上题中,当直线l 向上平行移动时,与⊙O 有两个交点C 1、C 2,其他条件不变,如图7-133
(2).经过推证,我们会得到与原题相应的结论EC 1=C 2F .
(Ⅲ)把直线l 继续向上平行移动,使弦C 1C 2与AB 交于点P (P 不与A 、B 重合).在其他条件不变的
情况下,请你在图7-133(3)的图中将变化后的图形画出来,标好对应的字母,并写出与(Ⅰ)、(Ⅱ)
相应的结论等式.判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由;若成立,给以证明.结论
____________.(吉林)
②如图7-134,AB 是⊙O 的直径,直线CD 交⊙O 于C 、D ,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 于F ,BF 与⊙O 交于
G 点.(Ⅰ)求证:EC=DF,GF =EA ;(Ⅱ)设AE=a,EF =b ,BF=c,求证:tan ∠EAC 和tan ∠EAD 是方程
ax 2-bx +c =0的两实根,且b 2-4ac >0;(Ⅲ)指出当CD 与⊙O 是什么位置关系时,才能满足
b 2-4ac =0.(黑龙江)
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
③如图7-135,在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,∠A=90°,CD=m,AD=n,AB=p,以BC 为直径的圆分别交
AB 和AD 于E 、F 和H .(Ⅰ)求tan ∠DCF +tan ∠HCD 的值;(Ⅱ)求证:tan ∠DCF 和 tan∠HCD 是方程
mx 2-nx +p =0的两个根.
④如图7-136,已知Rt △ABC 中,∠B=90°.在AB 上取一点O ,以O 为圆心作半圆,切BC 于点B ,
切AC 于点D ,交AB 于点E .DH ⊥AB 于H ,EN ⊥AC 于N ,BM ⊥AC 于M .若AD=4,CD=6,AE=2(Ⅰ)求半圆
22的直径;(Ⅱ)求∠ADE 的正切值;(Ⅲ)求证:BM 、EN 是方程x -EB ⋅x +HD =0的两根
(2)原题 已知:△ABC 中,∠BAC 的平分线与边BC 和外接圆分别相交于点D 和E .求证:△ABD ∽△
AEC . 此题是习题7.2A 组第10题,是一道很普通的习题.但是对该题进行探索、引申、变化会得到
一系列命题.
A .改变结论的形式.
①条件同原题.
(Ⅰ)图7-137中有几对相似的三角形,请把它们逐一写出;并任选其中一对加以证明.
AB BD =(Ⅱ)写出等式AD ·DE =BD ·DC 和AC EC 所根据的定理.
B.题设不变,引伸结论.
②题设同原题.求证:AD ·AE =AB ·AC .
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
C .增加条件构成新题.
③如图7-138,△ABC 中,∠BAC 的平分线与边BC 和外接圆分别相交于D 和E ,延长CE 交过点B 的
切线于F .(Ⅰ)求证:CE :BC=BF:CF ;(Ⅱ)求证:点E 到BC 和到BF 的距离相等.(西安)
④如图7-139,△ABC 内接于⊙O ,BF 与⊙O 相切于点B .∠A 的平分线分别交BC 于D ,交外接圆和切
线BF 于E 、F .延长AC 、BE 相交于G .求证:(Ⅰ)BE 平分∠CBF ;(Ⅱ)AB ·BG=AF·BC .
⑤如图7-140△ABC 中,∠BAC 的平分线与边BC 和外接圆分别相交于点D 和E ,∠ABC 的平分线交AD
2于F .求证:(Ⅰ)EF =FB ;(Ⅱ)EF =AE ⋅DE .
⑥在△ABC 中,AB >AC .AD 平分∠BAC ,与边BC 和△ABC 的外接圆分别交于D 、E (如图7-137).求证
AD AD ∠BAC 1AF =(AB +AC ) +=2cos 2. 2(Ⅰ)△ABD ∽△AEC ;(Ⅱ)若作EF ⊥AB 于F ,则;(Ⅲ)AB AC
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!
⑦如图 7-141,若 E是的中点,AE 交BC 于D .(Ⅰ)求证:CE 是DE 和AE 的比例中项;(Ⅱ)当CE =23,
O 到BC 的距离为1时,求⊙O 的半径.
⑧如图7-142,已知△ABC 内接于⊙O .∠BAC 的平分线交BC 于D ,交⊙O 于E .⊙O 的切线BF 交AE
的延长线于F .过E 作EH ⊥BF ,垂足为H .求证:(Ⅰ)BE 平分∠CBF ;(Ⅱ)BC =2BH ;(Ⅲ)AD ·EF=CD·BF .(南
京)
D .运动变化演变出一系列命题.
当AB =AC ,D 为BC 上任一点时,得到
⑨圆内接△ABC 中,AB=AC,经过点A 的弦与弦BC 和 2分别交于D 和E .求证:(Ⅰ)AB =AD ⋅AE ;AE CE =(Ⅱ)AC CD .当AD 变为圆的直径时,则得到
⑩已知:如图7-143,AD 是△ABC 的角平分线,以AD 为直径的圆分别交AB 、AC 于点E 和F .求证:
AE=AF.
不要害怕学习。知识没有重量,它是你随时可以获取又随时可以携带的宝库!