走楼梯与斐波那契数列关系教学研究
走楼梯与斐波那契数列关系教学研究
作者:王大力 付玉华
来源:《现代交际》2011年第04期
[摘要]本文从日常生活现象入手,列举了自然现象和生活中的具体事例,验证了斐波那契数列在我们日常生活中的实用价值,即不仅自然界中存在着斐波那契数列,而且在我们日常工作生活中也能使用斐波那契数列解决实际问题。
[关键词]斐波那契数列 数学应用
[中图分类号]G424[文献标识码]A [文章编号]1009-5349(2011)04-0210-01 楼梯是人们司空见惯的事物了,它与斐波那契数列有何关系呢?请看下面问题:
某同学走楼梯,每步只能跨上一级或两级楼梯,该同学要登上第10级楼梯,共有多少种不同的走法?
分析:设an 表示登上第n 级的不同走法,依题意有an=an-1(第一步跨上一级,走余下n-1级台阶的方法数)+ an-2(第一步跨上二级,走余下n-2级台阶的方法数),且a1=1,a2=2,求a10。易得a10=89。显然,本题所得递推公式an=an-1+an-2与斐波那契数列的递推公式相同。
我们知道,斐波那契数列和下面有趣的数学问题联系着:假定一对大兔子每月能生出一对小兔子,而每一对小兔子经过一个月长成一对大兔子,如果不发生死亡,且每次均生下一雌一雄的一对小兔子,那么由一对大兔子开始,一年以后有多少对大兔子呢?
意大利数学家斐波那契1228年求得结果:每个月的大兔子的对数就是斐波那契数列的各项,即1,1,2,3,5,8,13,…它的第1、2项均为1,从第3项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即a1=1,a2=1,an +2=an+1+an。其中n=1,2,3,…
斐波那契数列是二阶线性递归数列,它的通项公式是:an= [( )n-( )n]。
斐波那契数列有下列性质:
1.Sn=a1+a2+…+an= an+2-1;
2.a2+a4+a6+…+a2n =a2n +1-1;
3.a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n;
4.a21+a22+…+a2n=an an+1;
5.an+m=an-1a m+ an an+1;
6.a2n=a2n+1-a2n-1;
7.a2n+1-an an+2=(-1)n ;
8.
再来看几个实际问题:
问题1:用数字1和2排成10位数,且要求数字1,1不相邻,则有多少种不同的排法? 分析:设an 表示排成n 位数的排法总数,则an =an-1(首位是数字2,则剩下n-1位数的排法)+an-2(首位数字是2,则第2位数字一定是2,剩下n-2位数的排法)。即an =an-1+an-2,且a1=2,a2=3,求a10。
问题2:用1元、2元的两种邮票粘贴成一排,求贴满10元的不同方法数。
分析:设an 表示贴满n 元的方法数,则an =an-1(先贴1元,再贴满n-1元的方法数)+an-2(先贴2元,再贴满n-2元的方法数)。即an =an-1+an --且a1=1,a2=2,求a10。 显然,上述问题都是斐波那契数列的体现,本质属性相同。
另外,在我们的大自然中就隐藏着斐波那契数列,如菠萝外皮的钻石模样,斜向下方的有8列,向右下方的有13列;松毯鳞片是以螺旋状排列,小型的松毯是向右或向左排出5列,反方向则有8列,较细长松毯的螺旋状是8列或13列;向日葵种子排成左34支,右55支的螺旋状……
只要细心观察,斐波那契数列就在我们的身边,数学就在我们的身边。
【参考文献】
[1]曹才翰. 中国中学数学百科全书数学卷. 沈阳出版社,1991,5.
[2]唐忠明. 高一数学教学与测试. 苏州大学出版社,2003,5.