函数的可导性与连续性的关系教案
函数的可导性与连续性的关系教案
教学目的
1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点
掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问
1．导数的定义是什么？
2．函数在点x 0处连续的定义是什么？
在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以
∴f(x)在点x 0处连续．
综合(1)(2)原命题得证．
在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课
1．如果函数f(x)在点x 0处可导，那么f(x)在点x 0处连续．
∴f(x)在点x 0处连续．
提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x 0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．
如果函数f(x)在点x 0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．
例如：函数y=|x|在点x ＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0) 处没有切线．
证明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx) －f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，
∴函数y=|x|在点x 0处是连续的．
2．左导数与右导数的概念．
(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明) ． (3)函数在一个闭区间上可导的定义．
如果函数y=f(x)在开区间(a，b) 内可导，在左端点x ＝a 处存在右导数，在右端点x ＝b 处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结
1．函数f(x)在x 0处有定义是f(x)在x 0处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 0处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x 0处连续是f(x)在x 0处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业
作业解答的提示：
=f(1)．
∴ f(x)在点x ＝1处连续．
∴ f(x)在x=1处不可导．