高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义

一、基础知识【理解去记】

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0

|

PF|d

e(0

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

若焦点在y

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x

点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.补充知识点： 几个常用结论：

1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一

1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为：

x0xa

2

2



y0yb

2

1；

2）斜率为k的切线方程为ykx

2ab

2

2

2

2

akb；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

22

l

accos

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 x轴上的双曲线方程为

xasec

参数方程为（为参数）。

ybtan

焦点在y

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x

9．补充知识点：

双曲线的常用结论， 1）焦半径公式，对于双曲线

xa

22



yb

22

1，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若

P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是

2ab

2

2

2

2

accos

。

抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=x

p2

；

2p1cos

2

2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

。

二、直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识整理：

1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。

2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：

设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2);

ykxb

第三步：联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程；

f(x,y)0

二次系数不为零

第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件

0

第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。

x1x2， x1x2

3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得f(x1,y1)0,f(x2,y2)0，两式相减、分解因式，再将x1x22xo,y1y22yo代入其中，即可求出直线的斜率。 4.弦长公式:|AB|

k

2

|x1x2|

22

(1k)[(x1x2)4x1x2]( k为弦AB所在直线的斜率)

高考真题练习：

1.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A,B

两点，ABC的实轴长为（ ）

(A)

(B

) (C) (D)

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为x2y2m(m0)，抛物线的准线为x4，由AB43,则yA23,把坐

2

2

2

2

标(4,23)代入双曲线方程得mxy16124，所以双曲线方程为xy4，即以a24,a2，所以实轴长2a4，选C.

xa

22

x

2

4



y

2

4

1，所

2.【2012高考真题新课标理4】设F1F2是椭圆E:





yb

22

1(ab0)的左、右焦点，P为直线x

3a2

上一点，

F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

2【答案】C

(A)

1

(B)

23

(C)



(D)





【解析】因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有F2F1

F2P,

，因为

12

F1F2，即

3a2c

12

2cc，

PF1F230，所以PF2D60,DPF

00

2

30，所以F2D

34

12

PF2

所以

3a2

2c，即

ca



34

，所以椭圆的离心率为e，选C.

3.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（ ）

A

、 B

、 C、4 D

、

【答案】B

【解析】设抛物线方程为y

2px2，则点M(2,p

Q焦点,0，点M到该抛物线焦点的距离为3，

2

p

24P9， 解得p

2，所以OM

2

xa

22

2

.

4.【2012高考真题山东理10】已知椭圆C:

yb

22

1(ab

0)2

.双曲线x2y21的渐近线

与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 （A）

x

2

8



y

2

2

1 （B）

x

2

12



y

2

6

1 （C）

x

2

16



y

2

4

1 （D）

x

2

20



y

2

5

1

【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为

32

，所以e

ca



32

，c

2

34

a，c

22



34

a

2

ab，所以b

222



14

a，即

2

a

2

4b，双曲线的渐近线为yx，代入椭圆得

2

xa

22



xb

22

1，即

x

22

4b



xb

22



5x4b

22

1，所以

x

2



4525

b,x

2

25

b，y

2



45

b，y

2

25

b，则第一象限的交点坐标为(

25

b,

25

b)，所以四边形的面积为

4b

25

b

165

b

2

16，所以b5，所以椭圆方程为

2

x

2

20



y

2

5

1，选D.

5.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：程为 A．

x

2

xa

22

-

yb

22

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方

20

-

y

2

5

=1 B.

x

2

5

-

y

2

20

=1 C.

x

2

80

-

y

2

20

=1 D.

x

2

20

-

y

2

80

=1【答案】A

【解析】设双曲线C ：

xa

22

-

yb

22

=1的半焦距为c，则2c10,c5.

ba

又C 的渐近线为y

ba

x，点P （2,1）在C 的渐近线上，12，即a2b.

又ca

b，a

222

C的方程为

x

2

20

-

y

2

5

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近

年来常考题型.

6.【2012高考真题福建理8】已知双曲线其渐近线的距离等于

A.

B. C.3 D.5

x

2

4



yb

22

1的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到

2

【答案】Ａ．

【解析】由抛物线方程y212x易知其焦点坐标为(3,0)，又根据双曲线的几何性质可知4b232，所以

52

b5，从而可得渐进线方程为yx，即5x2y0，所以d

|5320|

54

5，故选Ａ．

7.【2012高考真题四川理15】椭圆

x

2

4



y

2

3

1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周

长最大时，FAB的面积是____________。 【答案】3

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.

【解析】当直线xm过右焦点时FAB的周长最大，m1； 将x1带入解得y

32

；所以SFAB

12

2

32

3.

2512

,AFBF,

8.【2012高考真题重庆理14】过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若AB则AF= . 【答案】

56

1

12

2

【解析】抛物线y2x的焦点坐标为(,0)，准线方程为x

2

，设A,B的坐标分别为的(x1,y1),(x2,y2)，则

111(m)(n)2115p1224

x1x2，设AFm,BFn，则x1m,x2n，所以有，解得m或

22644mn25

12

n

54

，所以AF

56

.

2

9.【2012高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线x2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。 【答案】4

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.

2

由x2y,则y

12

x,yx,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的

2

切线方程分别为y4x8,y2x2,联立方程组解得x1,y4,故点A的纵坐标为4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 10.(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: 0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = . 【答案】6

【解析】：F1(6,0),F2(6,0)，由角平分线的性质得又AF1AF2236 AF26 11. (2011年高考四川卷理科14)双曲线 x

2

x

2

9

-

y

2

27

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，

AF1AF2



F1MMF2



84

2

64



y

2

36

=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .

答案：16

解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得

20d108

，解得d16.

xa

22

12.(2011年高考湖南卷理科5)设双曲线—



y

2

9

1a0的渐近线方程为3x2y0，则a的值为—————

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y

3a

x，故可知a2。

xa

22

13.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：

+

yb

22

1(a＞b＞0)的离心率为

12

，其左焦点到

点P(2，1)的距离

为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平

分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

【答案】(Ⅰ)由题：e

ca12

； (1)



左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)

的距离为：d由(1) (2)可解得：a2

4，b3，c1．

2

2

(2)

∴所求椭圆C的方程为：

x

2

4

+

y

2

3

1．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

2

2

11

∵A，B在椭圆上，

∴



xA4xB4

22

++

yA3yB3

2

1

2

1

kAB

yAyBxAxB



34



xAxByAyB



34



2x02y0



32

．

设直线AB的方程为l：y＝﹣

2

x2y

+143

代入椭圆：

y＝-3xm2

32

xm

(m≠0)，

3x3mxm30

22

．

显然

(3m)43(m3)3(12m)0

222

．

m

m≠0． 由上又有：xAxB＝m，yAyB＝∴|AB|

m33

2

．

xAxB|

．

∵点P(2，1)到直线l

的距离表示为：d

1

1



．

∴SABP＝d|AB|＝|m＋

2

2

12

当|m＋2|

＝

m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝

32x

12

．

此时直线l的方程y＝﹣．

14.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的距离的最大值为3.

xa

22



yb

22

1(ab0)的离心率

3

，且椭圆C上的点到Q（0，2）

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 解：（1

）由e

c

a

，因为a2b2c2，所以a2b2

23

22

a，即a3b

2

所以椭圆C的方程为：x23y23b2 设椭圆C上的一动点P(x,y)，byb

则PQ







① 若b1，当y1时，PQ② 若0b1，PQ



　max



3，解得b1



b23

综合①②，b1，所以椭圆C的方程为

x

2

3

y1

2

（2）假设在椭圆C上，存在点M(m,n)满足题意，则m23n23

在△OAB中，OAOB1，SOAB所以当AOB



2

12

OAOBsinAOB

12

sinAOB

时，SOAB有最大值

2

12

，

此时，点O到直线AB

的距离d



2

，m2n22

23m22

m3n32

， 

22mn2n21

2

所以在椭圆C

上存在点M(

大，最大值为

12

2



2

，使得直线l与圆O相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最

15.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）

设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，

FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若BFD90，ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

2

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m,n距离的比值.

【答案】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边BD2p

点A到准线l

的距离dFAFB

SABD

12

BDdp2

圆F的方程为x2(y1)28 （2）由对称性设A(x0,

x0

2

2p

)(x00)，则F(0,

2

p2

)

点A,B关于点F对称得：B(x0,p

3p

x0

2p

p

)p

x0

2

2p



p2

x03p

22

得：A

,

3p2

)，直线m:yxpx

23

3





2

0

x2pyy

2

x

2

2p

y

xp

xp

切点P3

,

p6

)

直线n:y

p6



3

x

3

x

6

p0

坐标原点到m,n

距离的比值为

2

:

6

3.

16.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21． （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆xy1相切，求证：OPOQ；

22

（3）设椭圆C2：4xy1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的

2

2

距离是定值. 【答案】

过点A与渐近线y

2x平行的直线方程为y

x,即y2

1.

ON1，OM

22

,则O到直线MN

3

.

设O到直线MN的距离为d

.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为yx，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．