一元函数微分公式

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启航考研数学系列精讲之二

一元函数积分的计算（一）

一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分． 对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法) 与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。

由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。

借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz) 公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。

牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。

一、定积分的变量替换法

定理 设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x ＝Ф(t)满足条件：

(1)Ф’(t)在[α, β]上连续；

(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t ≤β时，a ≤Ф(t)≤b ，

则

注 (1)在定理的叙述中，说明呈上升趋势．实际上， （1） ，，定义于区间[α, β]，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间

[α, β]，刖改为[β, α]。

(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。

(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x 换成右端的t ；相应于第一换元积分法(凑微分法) 就是把右端的t 换成左端的x 。

几种常用的凑微分形式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

特别的

（8）

（9）

二、定积分得分步积分法

定理 设u(x)与v(x)在区间[a,b]上有连续的一阶导函数，则

使用分步积分法的常见题型

三、几种特殊形式的定积分

下述几种特殊形式的定积分在计算中要予以注意。

1．分段函数与含绝对值的定积分

分段函数的定积分要分段进行计算，而且重要的是搞清积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。被积函数中含有绝对值可以作为分段函数处理。

2．对称区间上奇偶函数的定积分

对称区间上的定积分，首先要注意被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论： 定理 假定f(x)在[-a,a](a>0)上连续，则有： 当f （x ）为偶函数时； 当f （x ）为奇函数时。

注 (1)类似的性质重积分与第一类曲线(或曲面) 积分也有，只是第二类曲线(或曲面) 积分因为涉及方向问题要特别注意。

(2)关于奇、偶函数的导函数与原函数也有一些值得注意的性质，其中重要的是：偶函数的导函数是奇函数；奇函数的导函数为偶函数；奇函数的原函数为偶函数，但是，偶函数的原函数不一定是奇函数。

3．周期函数的积分

定理 假定连续函数f(x)以T 为周期，即对于任意的实数x ：f(x+T)＝f(x)，那么

，即在任何长度为了的区间上的积分值是相等的。

4．某些不易求原函数的定积分

依照牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，就必须先求原函数，然而有的原函数不易求，却能够通过变量替换使被积函数变形，并从中找到解决问题的途径。

四、广义积分

广义积分是定积分的推广，这个推广是针对定积分的两个基本约定作出的。这就是取消积分区间有限的约定，则为无穷限的广义积分；取消被积函数有界的约定，则为无界函数的广义积分(即瑕积分) 。

1．无穷限广义积分的概念

(1)若f(x)在[a,+∞)上连续，则

(7)

(2)若f(x)在(-∞,b]上连续，则

I (8)

(3)若f(x)在(-∞，+∞)上连续，则

(9)

右端极限存在，则称广义积分收敛，否则称为发散。(9)式要求右端两个广义积分同时收敛，有一个发散则称发散。

2．无界函数广义积分的概念

(1)若f(x)在[a，b) 上连续，在b 点的左邻域无界，则

(10)

(2)若f(x)在(a，b]上连续，在a 点的右邻域无界，则

(11)

(3)若f(x)在[a,b]上除点c 外均连续，在点c 的邻域内无界，则

(12)

与无穷限的广义积分一样，右端的极限存在称为收敛，否则为发散。(12)式要求右端两个广义积分均收敛。无界函数的广义积分也称为瑕积分，被积函数在其邻域内无界的点称为瑕点。

3．四个常见的收敛广义积分

(1) (a>0,p>1) (2) (a>1,p>1) (3) (k≥0,λ>0) (4) (a>0,p

前面两个广义积分，若p≤1，则发散；第（3）个广义积分，若λ≤0，则发散；第（4）个广义积分，若p≥1，则发散。总之，广义积分首先是收敛和发散的问题。