三角形的四心在解析几何中的应用
三角形的四心在解析几何中的应用
∆的内心、外心、重心、垂心，在平面几何中有着广泛的应用，如果把∆的四心与解析几何有关
图形的性质有机地结合，可拓展应用的范围，使很多解析几何问题获得明快的解决．
一、内心
∆内切圆的圆心，就是∆的内心，也就是∆三条内角平分线的交点．
例1 （2010年河南六市）已知点P 是双曲线
x a
22
-
y b
22
=1(a , b >0) 右支上一点，F 1, F 2分别是双
12
S ∆IF 1F 2成立，则e 双=（ ）
曲线的左、右焦点，I 为∆PF 1F 2的内心，若S ∆IPF =S ∆IPF +
1
2
A. 4 B.
52
C. 2 D.
12
53
12
|PF 2|⋅r , S ∆IF 1F 2=
12
|F 1F 2|⋅r .
分析 设内切圆半径为r , 则S ∆IPF =
1|PF 1|⋅r , S ∆IPF 2=
由已知易有，|PF 1|=|PF 2|+
12
|F 1F 2|,∴2a =c , ∴e =2 故选C
例2 （2008年哈尔滨九中）已知点M 是椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 上一点，椭圆两焦点分别是
F 1, F 2，点I 是∆MF 1F 2的内心，连结MI ，并延长交线段F 1F 2于N , 则
2
2
|MI ||IN |
2
=( )
A.
a a -b
2
2
B.
b a -b
2
2
C.
a -b b
D.
a -b a
2
分析 点I 是∆MF 1F 2的内心，根据∆内角平分线的性质与椭圆的定义，有
|MI ||IN |
=|MF 1||F 1N |
=|MF 2||F 2N |
=
|MF 1|+|MF 2||F 1N |+|F 2N |
=2a 2c
=
a a -b
2
2
. 故选A
点评 例1和例2把内心的性质与双曲线、椭圆的定义及性质有机地结合，使∆的内心与已知条件挂起钩来，使得问题顺利解决．
二、外心
∆外接圆的圆心，称为外心，就是∆三边在垂直平分线的交点。
例3 已知抛物线y =4x 的通经为AB , P 是抛物线上非A , B 的动点，分别过A , B 作AP , BP 的垂线，它们相交于点M ，求点M 的轨迹方程．
分析 A , P , B , M 四点共圆，圆心C 就是PM 的中点，即∆APB 的外心，故点C 在线段AB 垂直平分线x 轴上，
设M (x , y ), P (x 0, y 0), ∴y 0=-y ①
2
而k PA ⋅k MA =
y 0-2x 0-1
⋅
y -2x -1
2
=-1
把①代入上式有x 0=
y -4x -1
+1 ②
将①、②代入抛物线的方程有(-y ) =4(
2
y -4x -1
2
+1), ∴(x -1)(y -4) =4(y -4).
22
又P 是抛物线上非A , B 的动点，知y 2-4≠0, 故点M 的轨迹方程为x =5(y ≠±2).
点评 本例利用外心的定义及性质，使已知条件与外心挂起钩来，使得问题顺利解决． 三、重心
∆三边中线的交点，就是∆的重心，重心将每条中线都分成1:2两部分． 例4 （2010年广西梧州）F 1, F 2分别是双曲线
x a
22
-
y b
22
=1(a , b >0) 的左、右焦点，A 是它的右顶
→
→
点，过F 2作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为P , G 是∆PF 1F 2的重心，若GA ⋅F 1F 2=0, 则e 双=（ ）
A.
2 B.
3 C. 2 D. 1
→
→
分析 G 是∆PF 1F 2的重心，由GA ⋅F 1F 2=0, 有GA //PF 2, ∴OF 2=3OA , ∴c =3a , ∴e =3
例5 （2009年武汉）已知∆ABC 内接于椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) ，且∆ABC 的重心落在坐标
原点，则S ∆ABC =
x a
22
分析 椭圆
b a
+
y b
22
=1(a >b >0) 是圆x 1+y 1=a 经过变换：横坐标不变(x =x 1) ，纵坐标缩
222
短(y =
y 1) 得到的，在圆中∆MNK 是内接∆，且重心在原点，它一定是正∆，且边长为
3a , S ∆MNK =
334
a , 经过变换后得到椭圆的内接∆ABC 且重心G 仍在原点，
2
由此得S ∆ABC =
334
a ⋅
2
b a
=
334
ab .
点评 本题利用坐标变换简捷地求出∆的面积，跳出运算繁琐的陷阱，这是一种新颖的方法．
四、垂心
∆三边高线的交点，就是∆的垂心．
例6 （2010年江西卷）设C 1:
x a
22
+
y b
22
22
=1(a >b >0) , 抛物线C 2:x +by =b .
(I)若C 2经过C 1的两焦点，求C 1的离心率；
(II)设A (0, b ), Q (33, b ) ，又M , N 为C 1与C 2不在y 轴上的两交点，若∆A M N 的垂心为
4
B (0,
34
b ), 且∆QMN 的重心在C 2。求椭圆C 1与抛物线C 2的方程．
5
分析 (I)有抛物线C 2经过椭圆C 1的两焦点F 1(-c , 0), F 2(c , 0),
c a
22
可得c =b , ∴a =b +c =2c , ∴
222222
=
12
, ∴e =
22
.
(II)由M , N 关于y 轴对称，可设M (-x 1, y 1), N (x 1, y 1)(x 1>0) ，
则由∆AMN 的垂心为B (0,
34
2
→→
b ), 有BM ⋅AN =0, ∴-x 1+(y 1-
2
34
b )(y 1-b ) =0 ①
由N (x 1, y 1) 在C 2上，有x 1+by 1=b 2. ② 由①、②有y 1=-
b 4.
2
再用重心条件，即求得b =2, a =
3x 16
2
163
.
所以椭圆C 1的方程为
+
y
2
4
=1，抛物线C 2的方程为x +2y =4.
2
点评 本题灵活运用重心和垂心，把几何条件代数化，顺利地解出椭圆和抛物线的方程．