2017年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2017年浙江省重点高中自主招生考试数学试题卷
本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．
1112 B ． C ． D ． 4323
2．若关于x 的一元一次不等式组 ⎨
⎧1
有解，则m 的取值范围为（ ▲ ）
x >m ⎩
A ．m b 成立的函数是 （ ▲ ）
A ．y =-2x +3
B ．y =-2(x +3) +4
2
2
C ．y =3(x -2) -1 D ．y =-
2 x
4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克) ，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ）
A ．64 B ．71 C ．82 D ．104
5．十进制数2378，记作2378(10) ，其实2378(10) =2⨯10+3⨯10+7⨯10+8⨯10，
3210
二进制数1001(2) =1⨯2+0⨯2+0⨯2+1⨯2．有一个（0
3
2
1
165(k ) ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561(k ) 是原数的3倍，则k =（ ▲ ）
A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ▲ ）
A ．4 B ．3 C ．2 D
7．如图，在Rt △ABC 中，AC =3，BC =4，D 为斜边
AB
上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。当线段EF 最小时，cos ∠EFD =（ ▲ ） A ．
433 B ． C ． D
5548．二次函数y =x 2+bx -1的图象如图，对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程
x 2-2x -1-t =0（t 为实数）在-1
A ．t ≥-2 B ．-2≤t
． O
（第8题）
（第9题）
（第10题）
C B
9．已知，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠ABC =30°，∠ADC =45°. 若D 是BC 边的中点，则∠ACB 的度数为（ ▲ ）
A ．95 B ．100 C ．105 D ．110
10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A =52，∠B =98，∠AOB =120，AB =a ，BC=b ，
CD =c ，DA =d ，则此四边形的面积为（ ▲ ）（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）
A (ab +cd ) B (ac +bd ) C (ad +bc ) D ． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．已知a 是64的立方根，2b -3是a 的平方根，则
1
212121
(ab +bc +cd +ad ) 4
11
a -4b 的算术平方根为4
12．直线l ：y =kx +5k +12(k ≠0) ，当k 变化时，原点到这条直线的距离的最大值为 ▲ ．
13．如图，在“镖形”ABCD 中，AB
=，BC=16，∠A =∠B =∠C =30，则点D 到AB 的距离为 ▲ ． 14．已知实数a , b 满足5
a -1
11
=403，403b =2015，则+=
a b
15．AB 为半圆O 的直径，C 为半圆弧的一个三等分点，过B ，C 两点的半圆O 的切线交于
点P ，则
PA
PC
16．如图，矩形ABCD 的边长AD =3，AB =2，E 为AB 中点，F 在线段BC 上，且
BF 1
=，AF 分别与DE 、DB 交于点M 、FC 2
N ．则MN =
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分）
17．市种子培育基地用A ，B ，C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．如图是根据试验数据绘制的统计图：
（1）请你分别计算A ，B ，C 三种型号的种子粒数； （2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广？ 18．若实数a 、b 满足
（1）求
112+=. a b a -b
ab a 2
（1-）=2 的值； （2）求证：
b a 2-b 2
19．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元．甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依次类推，即每多买一只，则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售． （1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少？ （2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店购买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的？数量是多少？
20．如图，在△ABC 中，∠BAC =60， D 是AB 上一点，AC =BD ，P 是CD 中点。求证：AP=
D
P
1
BC 。
2
（第20题）
B
21．已知二次函数y =-
1213
x +在a ≤x ≤b （a ≠b ）时的最小值为2a ，最大值为2b ．求22
a , b 的值。
22．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90，AD 是高，P 为AD 的中点，BP 的延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于点F 。若AE =3，EC =12，试求EF 、BC 的长。
（第22题）
23．如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，点M 为 ACB 上一动点（不包括A ，B 两点），射线AM 与射线EC 交于点F ．
（1）如图②，当F 在EC 的延长线上时，求证：∠AMD =∠FMC ． （2）已知，BE =2，CD =8．
①求⊙O 的半径；
②若△CMF 为等腰三角形，求AM 的长（结果保留根号）．
24．一只青蛙，位于数轴上的点a k ，跳动一次后到达a k +1，且a k +1-a k =1（k 为任意正整数），青蛙从a 1开始，经过(n -1) 次跳动的位置依次为a 1，a 2，a 3，……，a n ． （1）写出一种跳动4次的情况，使a 1=a 5=0，且a 1+a 2+ +a 5>0； （2）若a 1=7，a 2016=2020，求a 2000；
（3）对于整数n (n ≥2) ，如果存在一种跳动(n -1) 次的情形，能同时满足如下两个条件： ①a 1=2，②a 1+a 2+a 3+ +a n =2． 求整数n 被4除的余数．
数学试题参考答案及评分
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 说明：第14题第一空2分，第2空3分
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题6分）
解：（1）A 型号种子数为：1500×36％＝540（粒），----------------------------------------- 1分
B 型号种子数为：1500×24％＝360（粒）， ------------------------------ 2分 C 型号种子数为：1500×（1-36%-24％）＝600（粒），-------------------3分
答：A 、B 、C 三种型号的种子分别有540粒，360粒，600粒 ．
420
×100％≈77.8％．----------------------------------- 4分 540320
B 型号种子发芽率＝×100％≈88.9％．---------------------------------- 5分
360480
C 型号种子发芽率＝×100％=80％．
600
（2）A 型号种子发芽率＝
∴选B 型号种子进行推广． ------------------------------------------- 6分
18．（本题8分） 解：（1）由
112a +b 2+==得，……① --------------------2分 a b a -b ab a -b
∴
ab 1ab 1
= ------------------------- 4分 =，即2
2
2a -b (a +b )(a -b ) 2
（2）由①得，(a +b )(a -b ) =2ab , ∴a 2-b 2=2ab ，--------------6分 又由题意得，b ≠0，
2
∴两边同除以b 2得，() -2∙
a b a a a
=1，∴() 2-2∙+1=2， b b b
∴(
a a 2
-1) 2=2，即（1-）=2 ------------------------- 8分 b b
19．（本题8分）
解：（1）在甲商店购买所需费用：20⨯(220-20⨯2) =3600（元）
在乙商店购买所需费用：75%⨯220⨯20=3300
分
（2）设此人买x 只书包
①若此人是在甲商店购买的
则x (220-2x ) =6000，解得x 1=50, x 2=60---------------------------------------4分 当x =50时，每只书包单价为220-50⨯2=120>116
当x =60时，每只书包单价为220-60⨯2=110
4
不合舍去--------711
分
故此人是在甲商店购买书包，买了50只-------------------------------------------------8分 20．（本题8分）
证明：延长AP 至点F ，使得PF = AP，连结BF ，DF ，CF--------------------------1分
P 是CD 中点
∴四边形ACFD 是平行四边形，--------------------------------------------2分
D
∴DF=AC=BF， D F ∥AC ，----------------------------------------------------------------4分 ∴∠FDA=CAB=60°-------------------------------------------------------5分 F
∴△BDF 是等边三角形-------------------------------------------------6分
（第20题）
可证△AB C ≌△BAF ----------------------------------------------------7分 ∴AP=
11
AF=BC------------------------------------------------------8分 22
21．（本题12分）
1213⎧
2b =-a +⎪⎧a =1⎪22
解：（1）当0≤a
113b =3⎩⎪2a =-b 2+
⎪⎩22
3913⎧⎧
a =2b =⎪⎪a +b ⎪⎪642
（2）当a
113213⎪2a =-b 2+⎪b =
⎪⎪⎩22⎩4
分
13⎧⎧a =-22b =⎪a +b ⎪⎪2
⎩4⎪⎩
22
⎧a =-2-a +b ⎪
⎨由---------------------------------------------------9分 132⎪b =
⎩4
1213⎧
2a =-a +⎪⎪22
（4）当a
113⎪2b =-b 2+
⎪⎩221213
x +2x -=0的两根，它的两根一正一负，与a
13
综上所述：a =1, b =
3或a =-2b = -------------------------------12分
4
22．（本题12分）
解：延长BA 、FE 交于点G ， AD 是高，EF ⊥BC ∴ AD ∥EF
∴△BAP ∽△BGE ，△BPD ∽△BEF----------------------------------2分 AP BP PD
== ----------------------------------------------------3分 ∴
EG BE EF
P 为AD 的中点，即AP=PD
∴ EG=EF---------------------------------------------------------------6分 ∠GAE =∠EFC =90 ，又∠GEA =∠FEC
∴△GAE ∽△CFE-------------------------------------------------------7分 ∴
EF AE =EC
EG ∴EF 2=AE EC =36
∴EF=6--------------------------------------------------------------------9分
EF=1
2EC ，∠EFC =90
∴∠C=30 ∴
AC
=----------------------------------------------12分 23．（本题12分） （1）证法一：连结BM
AB 是直径，AB ⊥CD 于E
∴ ∠AMB =90 ，CB
=DB -----------------------------------2分 ∴∠CMB=∠DMB
∴∠AMD =∠FMC ．----------------------------------------------------------------4分
证法二：连结AD
AB 是直径，AB ⊥CD 于E
∴ CA
=DA ∴∠AMD =∠ADC --------------------------------------------2分 四边形ADCM 内接于⊙O ∴∠ADC +∠AMC =180 ∠AMC +∠FMC =180
P
D
F
（第22题）
）（图②
∴∠FMC =∠ADC
∴∠AMD =∠FMC ．----------------------------------------------------------------4分
（2）①设⊙O 的半径为r ，连结OC
BE =2，CD =8 ∴OE =r -2，CE =4
∴r 2=(r -2) 2+42 ----------------------------------------------------------------6分
解得：r =5 -------------------------------------------------------------------------7分 ②由（1）知：∠AMD =∠FMC 同理可得：∠MAD =∠FCM
∴∠MDA =∠MFC
当FM =MC 时，AM =MD 如图①，连结MO 并延长交AD 于H 则AH ⊥AD ，AH =HD
AO =5
∴OH
（图①）
∴AM
----------------------------------9分
当FM =FC 时，连结DO 并延长交AM 于G
此时△AOG ≌△DEO
∴AG =DE =4
∴AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分
当MC =FC 时，AM =AD =AC
=M 、F 均与C 重合
△CMF 不存在---------------------------------------------------------------------------12分 综上所述：AM=8
24．（本题14分）
解：（1）这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是0，1，0，1，0）-----------2分 （2）从a 1经2013步到达a 2014，不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步， 则⎨
⎧x +y =2015
，------------------------------------------------------5分
7+x -y =2020⎩
解得：⎨
⎧x =2014
-----------------------------------------------------------6分
⎩y =1
即向左跳动仅一次，若这次跳动在1999次及以前，则a 2000=7+1998-1=2004；
--------------------------------------------7分
若这次跳动在1999次后，则a 2000=7+1999=2006--------------------------------------------------8分 （3）因为这个(n -1) 次跳动的情形，能同时满足如下两个条件：
①a 1=2，②a 1+a 2+a 3+ +a n =2．
经过(k -1) 步跳动到达a k ，假设这(k -1) 步中向右跳了x k 步，向左跳了y k 步， 则a k =2+x k -y k ，x k +y k =k -1（k ≥2的正整数）--------------------9分 ∴a 1+a 2+a 3+ +a n =2n +（x 2-y 2）+（x 3-y 3）+ +(x n -y n )
=2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-[(x 2+y 2) +(x 3+y 3) + +(x n +y n )] =2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-(1+2+3+ +n -1) =2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-
n (n -1)
2
∴2（a 1+a 2+a 3+ +a n ）=4n +4（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-n (n -1)
2
2（a 1+a 2+a 3+ +a n ）=-n +5n +4（x 2+x 3+x 4+ +x n ）
∴n 2-5n =4（a 1+a 2+a 3+ +a n ) -4
∴n (n -5) =4（a 1+a 2+a 3+ +a n ) -4-------------------------------------------------11分
∴n (n -5) 能被4整除，所以n 被4除的余数为0或1---------------------------------14分