天津理工大学 概率论与数理统计公式
第1章
n P m =
随机事件及其概率
从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
（1）排列
组合公式
n C m =
m !
-m !
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
! (-)!
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。①关系：
如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：
（3）一些
常见排列（4）随机试验和随机事件
（5）基本事件、样本空间和事件
A ⊂B
（6）事件的关系与运算
如果同时有A ⊂B ，B ⊃A ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者A B ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
A、B同时发生：A B ，或者AB 。A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，
称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
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第二章
（1）离散型随机变量的分布律
随机变量及其分布
设离散型随机变量的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk )的概率为
P(X=xk )=pk ，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X x 1, x 2, , x k ,
|
P (X =x k ) p 1, p 2, , p k , 。
显然分布律应满足下列条件：
（1）p k ≥0，k =1, 2, ，（2）k =1
（2）连续型随机变量的分布密度
∑p
∞
k
=1
。
设是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数，对任意实数x ，有
F (x ) =⎰f (x ) dx
-∞
x
，
则称X 为连续型随机变量。f (x ) 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：1°2°
f (x ) ≥0。
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =1
。
（3）离散与连续型随机变量的关系
P (X =x ) ≈P (x
积分元f (x ) dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P (X =x k ) =p k 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
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第三章
（1）联合分布
离散型
二维随机变量及其分布
如果二维随机向量ξ（X，Y）的所有可能取值为至多可列
个有序对（x,y），则称ξ为离散型随机量。
设ξ=（X，Y）的所有可能取值为(x i , y j )(i , j =1, 2, ) ，且事件{ξ=(x i , y j ) }的概率为p ij, ,称
P {(X , Y ) =(x i , y j )}=p ij (i , j =1, 2, )
为ξ=（X，Y）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y X x 1x 2
y 1p 11p 21
y 2p 12p 22
………
y j p 1j p 2j
………
x i
p i1
…
p ij
…
这里p ij 具有下面两个性质：（1）p ij ≥0（i,j=1,2,…）；（2）
连续型
∑∑
i
j
p ij =1.
对于二维随机向量ξ=(X , Y ) ，如果存在非负函数
f (x , y )(-∞
分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a
P {(X , Y ) ∈D }=⎰⎰f (x , y ) dxdy ,
D
则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X，Y）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)≥0;（2）
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f (x , y ) dxdy =1.
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第四章
（1）一维随机变量的数字特征
期望
期望就是平均值
随机变量的数字特征
离散型
设X 是离散型随机变量，其分布律为P(X =x k ) ＝p k ，k=1,2,…,n，
连续型
设X 是连续型随机变量，其概率密
度为f(x)，
+∞
E (X ) =
E (X ) =∑x k p k
k =1
n
-∞
⎰xf (x ) dx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
n
+∞
E (Y ) =∑g (x k ) p k
k =1
E (Y ) =
-∞
⎰g (x ) f (x ) dx
+∞
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，标准差
D (X ) =∑[x k -E (X )]2p k
k
D (X ) =⎰[x -E (X )]2f (x ) dx
-∞
σ(X ) =，
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1
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第五章
（1）大数定律
大数定律和中心极限定理
X →μ
切比雪夫大数定律
设随机变量X 1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D（X i ）
⎛1n ⎫1n
⎪lim P X -E (X )
特殊情形：若X 1，X2，…具有相同的数学期望E（XI ）=μ，
则上式成为
⎛1n ⎫
⎪lim P X -μ
伯努利
大数定律
设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
⎛μ⎫
⎪lim P -p
伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生
的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
⎛μ⎫
⎪lim P -p ≥ε⎪=0. n →∞ ⎝⎭
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大
数定律
设X 1，X2，…，Xn ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E （Xn ）=μ，则对于任意的正数ε有
⎛1n ⎫
⎪lim P X -μ
1
第六章样本及抽样分布
（1）数理统计的基本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
个体
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第七章参数估计
1
1
1
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第八章
基本思想
假设检验
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是
不会发生的，即小概率原理。
为了检验一个假设H 0是否成立。我们先假定H 0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H 0是不正确的，我们拒绝接受H 0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H 0，我们称H 0是相容的。与H 0相对的假设称为备择假设，用H 1表示。
这里所说的小概率事件就是事件{K ∈R α}，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
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单正态总体均值和方差的假设检验
条件
零假设
统计量
对应样本函数分布
否定域
H 0:μ=μ0
已知σ
2
|u |>u
U =
-μ0
N （0，1）
1-
α2
H 0:μ≤μ0H 0:μ≥μ0
σ0/u >u 1-αu
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