01.2-铅球投掷模型

铅球投掷模型

温一新

摘要：本模型采用一元微分求极值方法，揭示了投铅球运动中提高成绩的关键因素：投掷角、初速度和身高。提供给运动员与教练在训练中应加强的方面。模型讨论中先从简单的投射模型入手，再到更符合实际的投掷模型。最后用灵敏度分析讨论了模型的解，突出了关键因素是如何影响成绩的。

一、引言

问题的提出：掷铅球的训练和比赛都是指运动员单手托住铅球在投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落在有效区域内，以铅球落地点与投掷圆内的距离度量铅球投掷的远度，以此评定运动员的成绩。因此运动员和教练最为关心的问题是哪些因素决定了铅球会落得更远？运动如何做才能使铅球掷得最远？教练如何对运动员进行训练以达到最佳的投掷效果？

背景：1973年美国应用数学家J.B.Keller提出赛跑的最优速度模型。这个模型提供给运动员一个如何选取最优的方式安排全程的速度，以达到赛跑最好成绩的目的。这一研究开创了数学应用于竞技体育的新阶段。

在掷铅球这项运动中我们也希望能给它建立数学模型，用理性的研究代替，盲目的刻苦训练。

由一般的投掷常识我们知道，投掷过程中有两个重要因素：投掷角和初速度。

我们也知道有一个关于投掷角的常识：以45角投出物体应该是可以最远的。那么这我们这个问题中到底是不是也是这样的呢？请注意当我们的投掷角越大想要投远花出的力气就要越大。那是不是单纯用力就可以了吗？

二、 建立模型与求解

1． 模型I——投射模型

在建立模型之前我们要将问题进行适当的简化，以便于讨论问题的主要内容，这也是一个将主要因素突出出来，舍去次要因素的过程。

在模型I中可以简单地只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对远度的影响，而不把运动员在投掷圆内用力阶段的力学过程作为讨论的部份。由此我们可以初步了解几个主要因素之简的关系。

假设：

⑴铅球被看成是一个质点，其初速度为v，运动轨迹如图一。 ⑵铅球运动中忽略空气的阻力。

⑶投掷角和初速度v是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为s。 ⑷运动员具有身高h。

图一

由普通物理学的知识可以得到铅球运动方程：

xvcost

yvsinth1gt2 2



0,,g9.8米/秒,

2

gx2

tanxh ① 解这个方程，得yfx2

2vcos2

图中显示铅球落在地面A点，此时的远度是s，也即轨迹与x轴相交于点（s,0）处。代入①解出s，

得

s ②

这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。这就是我们需要的铅球投掷模型I——投射模型。

2． 模型II——投掷模型

在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据

实际成绩 h

1.90m 13.75m/s 20.68m

20.95m 37.60 2.00m 13.52m/s 20.22m 20.30m 39.69

可以看到第二组数据h与都提高了，但v与却降低了。也就是说随着的提高，即使是更接近于最佳出手角度，成绩反而降低了，主要原因在于v降低了，因此我们可以得出结论，与v之间一定有某种关系。

因此模型I中假设3是不恰当的。

实际上模型I只是刻画了铅球出手时与出手后的情形，而要刻画出手速度与出手角度之间的依赖关系，我们必须对铅球出手前的运动情况进行研究。也就是分析在投掷圆中的运动过程。我们将投掷过程大致分为滑步和用力阶段。

假设：

⑴滑步运动为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度v0。 ⑵在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间，记为0到t0。

⑶在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角度相同。

现在用这三个假设代替模型I的假设⑶，运动轨迹如图二，进一步建立模型II——投掷模型。

图二

记xt,yt为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向坐标，则根据牛顿第二定律。

mxtFcos

③ 

mytFsinmg

m为铅球质量，F是推力，为力的方向（出手角度）。根据整个运动方式，我们知道t0时开始用力，tt0时铅球出手。于是可将③在0,t0上积分得

mxtFt0cosC1



mytFtsinmgtC002

C1,C2分别是t0时铅球的水平与垂直的初速度。由假设⑴知

C1v0,C20，代入上式：

mxtFt0cosv0



mytFt0sinmgt0

上式表明了在F作用下，铅球在水平与垂直方向上的运动速度，可由此得到合速度v，可以看到它是一个与有关系的量。

vxtyt2

2

2F22F2F22

2ggsintvt0v0cos ④ 00mmm

将②与④合并就得到模型II——铅球的投掷模型

v2sin2vv2sin24ghcos2s

2g

2F2F2F22sint0v0cosgtvgv00m2

mm

2

⑤

至此我们已经将投铅球的整个过程完整地转换为一组公式，我们可以通过

这个公式对投铅球运动的各项关键因素进行深入分析，以帮助运动员得到最好的成绩。

三、模型的分析

⑴由模型I可以看出，v与h越大，远度s越大。也就是说当一个运动员具有较优秀的身高和力量能使成绩更好，但另一方面这两个因素又是非常有限的。因此选择一个最佳的出手角度是一个更实用的提高成绩的方式。

针对模型I就是求一个值可以使s最大，这是一个求函数极值的问题。即利用算法

s

0解出。 

得cos2

gh



ghv2

gv2g

h

上式表明：给定v，当h变小，则相应的最佳角度随之变大；当h变大，则相应的最佳角度随之减小。由于0,



，当h=0时，最佳出手角度2

=45。这个结论是符合物理学规律的，但运动员是有身高的即h>0，那么实

际情况中会出现什么样的情况呢？这就需要对模型II进行分析。

给定h，当v变大，相应的最佳角度也变大。

⑵投铅球中的“最佳角度”

在对模型I的假设3进行更符合实际的修改后，我们得到了在模型II中的第二个公式，它表明了铅球出手时的初速度v与投掷角之间的复杂关系。这个公式说明了一些重要问题。

F222F2F22

ggtvsint0v0cos中，在公式vv是随着0m20

mm

F，v0和t0的增加而增大的。这是一个与常识一致的结果。

同时我们最关心的与v之间的相互影响可以这样来描述：0,



，v2

随的增大而减小。

由此，我们就能理解为什么在实际中会出现：即使是更接近于最佳出手角度，成绩会降低的情形。

因此模型I所得出的最佳投掷角是在一个特定条件（h=0）下达到的，而不是实际情况（h>0）的最佳投掷角，实际中最佳投掷角比45要小些。

⑶主要因素分析

在②中给出了远度s与三个因素v,,h之间的关系，但这三个之中哪个是更主要的？影响力更大的。这个问题可以通过模型对各个变量的灵敏度分析进行解答。所谓灵敏度就是指变量自身微小的变化会引起函数值的较大改变，这样的变量称为灵敏的；反之称为不灵敏的。具体作法是对v,,h三个变量分别取不同的值，分别计算出相应的远度s，分析各种结果，给出一个误差范围。

参考资料：

[1]数学模型（第二版） 姜启源 高等教育出版社 1993年

固定F120,m5,g9.8,v08,t02

1．对变量组(v,)进行分析，另一个变量h1.90,1.95,2.00,2.05,2.10，对模型II编写Mathematica程序。的改变量。35,45。

2．对变量组(v,)进行分析，另一个变量h1.90,1.95,2.00,2.05,2.10对模型I编写Mathematica程序。控制v和的改变量。 35,45，v13,15。







