有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法

第２８卷第１２期２０１３年１２舄

宿州学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．２８，Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２０ｌ３

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－－２００６．２０１３．１２．０２０

有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法

费时龙

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，２３４０００

摘要：有理函数的不定积分在数学兮析中具有重要地位，对有理函数求不定积分的常用方法是先对有理函数进行分解，然后分别对每个因式求不定积分。对有理函数进行分解的常用方法是待定系数法，过程通常比较复杂。这里运用极限的思想，分别对三种情形给出有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法，该方法简化了有理函数作部分分式分解的计算。聂君，给出了该方法的一个具体应用。

关键词：有理函数；不定积分；部分分式分解中图分类号：０１７２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７３—２００６（２０１３）１２一００７０—０３

求有理函数的不定积分有通用可行的方法，即将有理真分式表示成若干个部分分式之和，然后分

别对部分分式求不定积分［１］。有理函数作部分分式分解的通常步骤是：对分母函数在实数系内作标准分解，依据分母的分解将有理函数写成标准的形式，确定待定系数［２］。

确定待定系数的常用方法是将所有部分分式通分相加，则得到两个多项式的恒等关系式，依据多项式同次幂相等的原理，可以得到未知待定系数的线性方程组，对线性方程组求解就得到待定系数。然而，若有理函数的分母的次数较高，则线性方程组中的未知系数较多，此时求解线性方程组一般是很困难的，关于待定系数的确定，前人已做了一些研究Ｉｓ－钉。本文依据极限的思想，给出确定待定系数的一种简单易行的方法。

肌，＝去＋叁＋．．・＋急㈣

Ｚ一口１

ｚ一锄

Ｚ一吼

其中，Ａｉ一｜ｉｍ（ｘ—ｅｌｉ）Ｒ（ｚ＞，１≤ｉ≤矗。

ｊ啼４ｊ

证明根据代数知识，ＲＱ）可以分解成（１）式

的表达形式，下面确定系数Ａ，１≤ｉ≤ｋ，对（１）式两边同时乘以（ｚ一哦），然后令ｚ一啦，则当ｉ≠歹时，显然有：

墼（ｚ—ａｉ）叁＝０

ｉ—’４．

一、●ｔ

因此，（１）式右边的极限值为Ａ，，从而有Ａｊ＝ｌｉｍ（ｘ—ｎｉ）Ｒ（ｚ），ｌ≤ｉ≤ｋ。

下面对定理１进行推广，设Ｑ（ｚ）一（ｚ一口１）５－ｏ—ａｚ），ｚ．“＠一ｍｓｔ，贝ｎ有下列结论成立。

定理２

设有理函数尺。）一苦吕，若Ｑ。）＝

（ｚ一日１），ｌ（ｚ一口２）’２…（工一吼）ｋ，这里口。≠吩，ｉ≠歹，则Ｒ（ｚ）可分解成：

１主要结果及证明

设有理函数为Ｒ（ｚ）一苦暑，Ｋｅｅ

均为多项式函数。

Ｐ（工），Ｑ（ｚ）

脓，＝毫＋己希＋．．．＋≤朱１＋急＋．．．＋害‰＋．．．＋ｘ叁

ｚ一口１

【ｚ一口１Ｊ。

Ｌｚ—ｎ１Ｊ。

ｚ～口，Ｌｚ一口７）。２一吼（２）

先考虑Ｑ（ｚ）是一种较简单的情形，其在实数系内的标准分解式为：Ｑ（ｚ）＝（ｚ一口，）（ｚ一（９２）…（ｚ—ａＤ，这里当ｉ≠Ｊ时，嚷≠嘭，则有下列结论成立。

定理１

其中

＋．．．＋吾％

Ａ１。＝ｌｉｍ（ｚ—ａＯ’ＩＲ（ｚ），Ａｌ（ｈ－］）

‘

ｊ—ｏ口

设有理函数尺（ｚ）＝苦暑，若Ｑ（ｚ）＝

Ａ，

＠一口１）＠一・２２）…ｏ一吼），这里口，≠ｑ，ｉ≠歹，则Ｒ（ｚ）可分解成：

收稿日期：２０１３－０９—２０

Ａ・・。婴ｉｍ（ｘ哪・）（Ｒ（力一万％

Ｉ—’４．

２墼ｏ～・，ｉ－Ｉ（Ｒｏ卜石≥两）＇…，

ｊ一口・

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一】，’

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基金项目：安徽省高等学校省级自然科学研究项目“随机环境中马氏链的状态分类及极限性质的研究”（ＫＪ２０１３８２８８）；宿州学院教学研究项目“数学分析教学改革的探索与实践”（ｓｚｘｙｊｙｘｍ２０１２３７）。

作者简介：费时龙（１９８０一），安徽芜湖人，硕士，讲师，主要研究方向：随机过程。

７０

万方数据

…一志ｋ”，

（ｚ一以１）５ｌ”

’

Ａ乜＝ｌｉｍ（ｚ一吼）５＾Ｒ（ｚ）

Ａｌ（气一１）＝ｌｉｍ（ｚ一口女）’ｌ一１（Ｒ（ｚ）

Ａ１，Ｉ

、

Ａ扪＝一ｌｉｍ。（ｚ一础（Ｒ（ｚ）一南一石＝ｉ再几…’

ｚ一４Ｉ

、＾

¨★／

＋…－坐Ｌ）

（ｚ—ａ＾ｓｋ

７

证明根据代数知识，Ｒ（ｚ）可以分解成（２）式

的表达形式，下面确定系数如，１≤ｉ≤ｋ，１≤ｊ≤Ｓｉ。

首先确定屯，对（２）式两边同时乘以（ｚ一盈）５，，然

后令ｚ—ａｉ，则当歹≠ｉ时，显然有：

墼ｃＸ－－ｄｉ弘吾％一。

Ｊ一屯

Ｌｚ—ｎ，）’

及当１≤ｔ＜Ｓｉ时，有：

一ｌｉｍ二。＿口涝南ａｉ＝ｏ

ｚ—ａ二

【ｚ一

，’

从而Ａｈ—ｌｉｍ（工一ａＯ’ｌＲ（ｚ），…Ａｉ，。＝ｔｉｍ边的代数式南移到等式的左边，两边再同（ｚ—ａｉ）＇ｉＲ（ｘ），１≤ｉ≤点，当Ａｋ确定后，将（２）式右

时乘以（ｚ—ｎ。）ｒ１取极限，可确定Ａｔ“，叫，运用相

同的方法可以确定Ａｃ。＿Ｄ，其余的系数同理可得。从

而有

Ａ１（。１）＝ｌｉｍｏ—ａ１）５ｌ一１（Ｒ（ｚ）

Ａｌ；１Ａ，，＝罂（ｚ一口，）（Ｒ（ｚ）一南

），…，

（ｚ—ａｌ

ｓ

ｐ。ｌ

＼４

“１，

＋．．・害斋，

，…’

Ａ‰＝ｌｉｍ（ｚ—ｍ）＿Ｒ（ｚ），Ａ‘ｔ一１）

Ａｎ＝一ｌｉｒａ雌（ｚ一吼）（Ｒ（ｚ）一南＝一ｌｉｍ（ｘ－－ａｌ，）＂ｔ－１（Ｒ（ｘ）一害杀”“，

ｐｄｔ

、“

“ｌ／

、山

卫＿．口ｌ

ｕｌ，

＋…Ｆ兰‰＞

（ｚ—ａＩ）’７

对于含有二次因式的情形，有下列结论成立。

定理３设有理函数Ｒ（ｚ）＝若暑，若Ｑ（ｚ）＝

（ｚ—ａ１）５Ｉ（ｚ—ａ２）５２…（ｚ一吼ｓｋ（ｚ２＋６１２）（ｚ２＋

ｂ２

２）…（ｚ２＋良２），ａｉ≠ａ』，ｉ≠歹，ｂｍ≠ｂ。，研≠月，则

Ｒ（ｚ）可分解成：

胁，＝赢Ａｌｌ十南＋－．叶若‰ａ１

Ｚ一日１

Ｌｚ一口】，。

ＬＺ一

，１

万方数据

＋盏ａ＋．．．＋≤‰＋．－・ｚ—ｚ

Ｉｚ一口，）１２

十当．２７一

ａｋ＋．．．＋害斋＋务篑

（上一丑Ｉ∥

ｚ‘十扫１‘

十ｊＦ呼十…十ｊ＿而

Ｂ２ｚ＋Ｃ２

Ｂ∥十ｃｆ

其中Ａ。的求法如定理２，Ｂ，，Ｃ，，１≤ｚ≤￡，满足ｌｉｍ（ｚ

州）Ｒ（ｚ）一‰（工州）筹。

ｚ—’Ｄ．１

ｊ—口，ＪＬ

ｖｆ

２

应用

例１，对有理函数

Ｒ（ｚ）＝万砭习百正ｘ瓦３＋耳ｘ丽＋ｌ（西耳石两作

部分分式分解。

解：设Ｐ（ｚ）一ｚ３＋ｚ十ｌ，Ｑ（ｚ）＝Ｘ７＋２ｘ６＋６矿一８一十９２３—２２２＋４ｚ＋８，首先对Ｑ（ｚ）在实数系内作因式分解得：

Ｑ（ｚ）＝ｚ７＋２ｘ６＋６－ｒ５—８ｘ‘＋９ｘ３

—２２２＋４ｚ＋８

＝（ｚ＋１）（ｚ一１）（ｚ一２）（ｚ十２）２（∥十１）

从而Ｒ（ｚ）可以写成：

脓）＝再面丽≠等等击面丽

＝嘉１＋．当２７＝一十一十～十———●——：

ｚ＋

一

１＋，叁２７一

２＋南。ｚ＋２

Ａ５

Ｂｘ＋Ｃ

。（ｚ＋２）２‘ｚ２＋１

下面利用定理２的方法求Ａ。ｌ≤ｉ≤５，得：

Ａｌ；坚（ｚ＋１）尺（ｚ）

：＝ｌｉｍ

ｚ３＋ｚ＋１

１

ｆ一一１

（ｚ一１）（ｚ一２）（ｚ＋２）２

１２

Ａｚ＝磐（ｚ一１）Ｒ（ｚ）＝一砭１

ｊ’・ｌ

■“

Ａ３＿ｌ，ｉｍ２（ｚ一２）Ｒ（ｚ）２赫

Ａｓ。坚＠＋２）２Ｒ（ｚ）２盖

Ａ＝粤（ｚ＋２）［Ｒ（ｚ）一Ｊ一一

石％］＝面１２

＼＾

厶，１ｕ

粤（ｚ刊№）＝ｌ—ｉｒａ（ｚ叫筹

由定理３得：

Ｊ—ｏｌ

ｆ—’‘－山

＾

解得；Ｃ。去，Ｂ＝一壶，因而有：

ｏＵ

ｕｖ

１

肫，＝瑞＋当＋当＋蔫

—１一三土

上

＋南３＋警１

１

（下转第９９页）

树立榜样，带动他们共同遵守学校的各项规章制度，不旷课、不迟到、不早退、遵守课堂纪律，做举止文明、品德高尚的大学生。从而营造良好的校园文明氛围，真正做到把文明养成渗透到学生的日常生活中。３．３创新活动方式，增强务实性

随着高等教育大众化、教育体制改革和大学生就业市场化的发展，高校党建工作也日趋复杂化嘲，迫切要求学生党支部不断创新，才能保证文明养成教育的效果。

首先，学生党支部组织的活动要贴近学生，贴近生活，贴近实际。围绕大学生在校学习、生活、工作的三个方面，通过“文明举止伴我行”“文明寝室伴我行”“文明课堂伴我行”活动的开展，提高学生自我教育、自我管理的能力，与营造良好的班风、学风、校风相结合，狠抓学生的文明养成教育［９］。

其次，创新活动形式和内容，增强活动吸引力。党支部活动形式不应单一化，活动的开展应形式多样，避免简单化、形式化，注重成果反馈。可通过开展主题宣讲、交流互动，观看优秀影片，举办辩论赛、演讲比赛等活动，把科学的内容和新颖的形式结合起来，充分调动广大学生在文明养成教育的主动性，发挥学生党员的智慧，广泛征求意见，引导学生积极参与。

再次，充分利用网络平台作为高校党建工作和文明养成教育的新载体。学生党支部可通过新浪微博、腾讯微博和微信公众平台、中国大学生在线等网络平台建立“网上党支部”，开辟“有困难找党员”“班级论坛…‘大学生文明之我见”“文明寝室”“文明校园”等专栏，开展形式多样、学生喜闻乐见的网络教育。

最后，高校应当重视对学生社会能力的培养。学生党支部在开展活动时，应注重结合专业特点，培养学生综合能力，为学生创造更多的社会实践机（上接第７１页）

会ｕ…．增强文明养成教育的务实性，做好校内实践和校外实践相结合，用学生的亲身体验引导学生认识社会、磨炼意志。

４

结语

总之，学生党支部是推动大学生文明养成教育

的重要力量，不断发展的新形势对学生党支部的工作提出了新的要求，因此，要加强组织建设、提高综

合能力、创新活动方式，发挥学生党支部的模范带头

作用，促进大学生文职养成教育活动在应用型本科高校的顺利开展。

参考文献：

［１］徐柏才．李从浩．关于对大学生进行养成教育的思考［Ｊ］．

西南民族大学学报：人文社会科学版，２００３（１２）：１５２—１５４［２３吕峰．高校学生班级党支部建设路径探析：以淮阴师范学

院学生班级党支部为例［Ｊ］．党建与党务，２０１２（４）：２８—３０［３］王磊．充分发挥学生党支部在建设和谐校园中的作

用［Ｊ］。山东省青年管理干部学院学报，２００７（６）：３７—３８［４］由琨．发挥学生党支部作用推进高校大学生思想政治教

育［Ｊ］．辽宁经济管理干部学院学报，２００９（５）：７１—７４［５］杨晓慧．新时期高校学生党支部建设探析［Ｊ］－高校党建，

２００６（１２）：２４—２６

［６］周东斌．高校学生党支部组织生活状况调查分析［Ｊ］．学

校党建于思想教育，２０１２（１２）：１５—１６

［７］宫国军．大学生的养成教育是高校辅导员工作的着力

点［Ｊ］．吉林化工学院学报．２００９（６）：９６—９８

［８］吴建征．高校学生党支部建设现状分析及优化研究：以北

华航天工业学院为例［Ｊ］．北华航天工业学院学报。２０ｌｌ

（２）：５７～５９

［９３刘晓军．大学生养成教育的必要性及对策研究口］．黑龙

江科技信息，２００５（８）：５７—６０

［１０］杨帆．大学生文明素质养成教育探索［Ｊ］．文教资料，

２０１１（１１）：２１５－２１７

（责任编辑：武艳芹）

［３］陶印心．有理函数展为部分分式的罗朗系数法［Ｊ］．湖南

城市学院学报，１９８８（５）：２８—３０

［４］李艳萍．有理函数分解成部分分式的几种方法［Ｊ］．襄樊

职业技术学院学报，２０］０（３）：２２—２４

［５］石卫国．导数在化有理函数为部分分式中的应用［Ｊ］．安

康学院学报，２００８（６）：８０一８１

（责任编辑：汪材印）

参考文献：

［１］华东师大数学系．数学分析：上册［Ｍ］．４版．北京：高等

教育出版社，２０１０：１９１—１９７

［２］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：高等

教育出版社．２００７：１３９—１４３

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万方数据

有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

费时龙

宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000宿州学院学报

Journal of Suzhou University2013,28(12)

1.华东师大数学系 数学分析:上册 20102.同济大学数学系 高等数学:上册 2007

3.陶印心 有理函数展为部分分式的罗朗系数法 1988(05)

4.李艳萍 有理函数分解成部分分式的几种方法[期刊论文]-{H}襄樊职业技术学院学报 2010(03)5.石卫国 导数在化有理函数为部分分式中的应用[期刊论文]-安康学院学报 2008(06)

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