指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果x 且n ∈N ．

*

n

=a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，

当n 是奇数时，

a =a ，当n 是偶数时，

n

⎧a (a ≥0)

a =|a |=⎨

-a (a

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a =a m (a >0, m , n ∈N *, n >1)

m n

a

-

m n

=

1a

m n

=

1

a m

(a >0, m , n ∈N *, n >1)

3．实数指数幂的运算性质

（1）a ·a

r

r

=a r +s (a >0, r , s ∈R ) ；

r s rs (a ) =a （2） (a >0, r , s ∈R ) ；r r s (ab ) =a a （3）

(a >0, r , s ∈R ) ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数

y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数，

其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a

x

=N (a >0, a ≠1) ，那么数x 叫做以．a 为底．．

— 真数，log a

N 的对数，记作：x

=log a N （a — 底数，N

N — 对数式）

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lg N ； ○

2 自然对数：以无理数e =2. 71828 为底的对数的对数ln N ． ○

指数式与对数式的互化

幂值 真数

b

如果a >0，且a ≠1，M >0，N

>0，那么：

1 log a (M ·N ) =log a M ＋log a N ； ○

M

=log a M －log a N ； N n

3 log a M =n log a M (n ∈R ) ． ○

2 log a ○注意：换底公式

log a b =

log c b

log c a

m

（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）log

a

b n =

1n

（2）log a b =． log a b ；

m log b a

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数

中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

y =log a x (a >0，且a ≠1) 叫做对数函数，其

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y =2log 2x ，y =log 5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

5

2 对数函数对底数的限制：(a >0，且a ≠1) ．

○

1、用根式的形式表示下列各式15

-

32

（1）a （2）a 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）

x y

43

（2）

m 2m

32

=(m >0)

3、求下列各式的值

（1）25（2） 4、解下列方程

32

⎛25⎫

⎪⎝4⎭

-

1

= （2）2x 4-1=15 （1）x

82x -1

1、函数y =a (a >0, a ≠1) 的图象必过定点 。

-

1

3

3

a

B 、a >2 C 、1

2、如果指数函数

3、下列关系中，正确的是 （ ）

13151- 11- 10. 10. 2-0. 1-0. 25

>2 D 、() >() 3 A 、() >() B 、2>2 C 、2

2222

4、比较下列各组数大小：

11

⎛2⎫⎛2⎫-2.5-0.1

（1）3.13.1 （2） ⎪ ⎪ （3）2.30.2

⎝3⎭⎝3⎭

x

5、函数f (x ) =10在区间[-1，2]上的最大值为，最小值为。

0.5

2.3

-0.3-0.24

函数

f (x ) =0. 1x 在区间[-1，2]上的最大值为

x

-x

⎛1⎫⎛1⎫

6、函数y = ⎪的图象与y = ⎪的图象关于 对称。

⎝3⎭⎝3⎭

x

7、已知函数y =a (a >0, a ≠1) 在[1, 2]上的最大值比最小值多2，求a 的值 。

8、已知函数

2x -a

f (x ) =x

2+1

是奇函数，求a 的值 。

1、将下列指数式改写成对数式

（1）2=16 （2）5=20 答案为：（1） （2） 2、将下列对数式改写成指数式

（1）log 5125=3 （2）log 10a =-2

答案为：（1） （2） 3、求下列各式的值 （1）log 2

4

a

64= （2）log 927 = （3）lg 0. 0001 =

9= （7）log 328=

3

（4）lg 1= （5）log 39= （6）log 14、已知a

>0，且a ≠1，log a 2=m ，log a 3=n ，求a 2m +n 的值。

5、若log 3(1-a ) 有意义，则a 的范围是 6、已知2log x 8=1、求下列各式的值 （1）log 2(2（3）

3

4，求x 的值

对数（

⨯45) =__________（2）log 5125=__________

1

lg 25+lg 2+lg +lg(0. 01) -1=__________ 2

32

+log 38-3log 55 =__________ （4）2log 32-log 39

（5）lg 5⋅lg 20-lg 2⋅lg 50-lg 25=__________

71

（6）lg 14-2lg +lg 49-lg 72+8lg 1=__________

622

（7）(lg5) +lg 2⋅lg 50=__________

+(lg5) 3+3lg 2⋅lg 5=__________

2、已知lg 2=a , lg 3=b ，试用a , b 表示下列各对数。

18

（1）lg 108 =__________ （2）lg =__________

25

3、（1）求log 89⨯log 332的值__________；

（2）log 23⨯log 34⨯log 45⨯log 56⨯log 67⨯log 78=__________

（8）(lg2)

3

21

+的值__________。 x y 1

5、若lg 2=m , log 310=，则log 56等于 。

n

6、已知函数y =log (a -1) x 在(0, +∞) 上为增函数，则a 的取值范围是 。

4、设3

x

=4y =36，求

7、设函数8、函数

y =log 2(x -1) ，若y ∈[1, 2]，则x ∈

y =log a (x -3) +3(a >0且a ≠1) 恒过定点 。

y =l o g a x (a >0, a ≠1)

在

9、已知函数

x ∈[2, 4]上的最大值比最小值多1，求实数a

的

值 。

1、下列函数中，是幂函数的是（ ）

A 、

y =2

x

B 、

y =-x

2

C 、

y =log 2x

D 、

y =x

-

12

1

f (x ) 的图象过点(2, ) ，则f (x ) 的解析式为4

2m +1

3、已知函数y =x 在区间(0, +∞)上是增函数，求实数m 的取值范围为

2、若一个幂函数1、证明：（1）函数上有零点

2、若方程方程5x -7x -a =0的一个根在区间（-1，0）内，另一个在区间（1，2）内，求实数a

的取值范围 。 1、设x 0是方程ln x +2x -6

2

3

（2）函数f (x ) =x +3x -1在区间（0，1）y =x 2+6x +4有两个不同的零点；

=0的近似解，且x 0∈(a , b ) ，b -a =1，a , b ∈z ，则a , b 的值分

A 、

别为 、

2、函数y =ln x -6+2x 的零点一定位于如下哪个区间 （ ）

(1, 2) B 、(2, 3) C 、(3, 4) D 、(5, 6)

3、已知函数

f (x ) =3x +x -5的零点x 0∈[a , b ]，且b -a =1，a ，b ∈N *，则

a +b = .

4、函数f (x ) =lg x +x -3的零点在区间(m , m +1) (m ∈Z ) 内，则m =．

5、用二分法求函数

f (x ) =3x -x -4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3

-x -4=0的一个近似解（精确到0.01）为