球心在正方体对角线上的均匀带电球面对正方体一个面的电通量
１ ０
物
与理工 程Ｖ ｏ ｌ． ２ ３ Ｎｏ ．５ ２０１ ３
球心在方体正角线对上均匀的带球面 对电正方体个面一的通电
量元李熙 旭东 朱 陈翔宇 滕 保 吴华和 明（） 电子 科大技学 ，四 川成都 ６ １０ ０ ４ 摘５ 要 本 系统地文计算了均一匀电球带当面其球在正方心对体线角上任意置位时， 电带面球 结果表明， 该面电的通量带与电球面半的和其所处径位置对正方体一 面个电通的量． 带电当球面半径 较大 时 ，电 通量呈 现 明显的 双 峰 结 ，构 但 是 着 随半 径变小 ，密切相 关 ．双峰渐逐接 ， 近最后变点电荷成的结 果．关键词 电通量 ； 带 电球 ； 面方正 ； 体角线
对
Ｌ ＥＥＣ Ｔ Ｒ Ｉ Ｃ ＦＬ Ｕ ＸＯ ＡＦＣ Ｈ Ａ Ｒ Ｇ Ｅ Ｄ ＳＰ ＨＥ Ｒ Ｅ ＵＳＲ Ｆ Ｃ ＡＥ ＯＮ Ｔ Ｈ ＥＤ Ｉ ＡＧ Ｎ ＯＡＬ Ｆ ＯＡＣ Ｕ Ｂ Ｅ
Ｌ ｉＹ ａｕｎ ｘ ｉ ｕ ｈ Ｘｕ ｄｏ ｈｎ ｅｎ Ｘｉ ａｎ ｅ ｕｎＢ ａ ｏ ｈ ｕａ ｕ Ｍ ｉｎ ｈ ｅＺ Ｃ Ｔ Ｗ ｇ ｇｙ ｇｇ （
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ａ ｅ，ｒ Ａｂ ｓ ｔ ｒ ｃ ａｔ Ｉｎｔ ｈ ｉｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｌ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃｃ ｆｌ ｕｘ ｏ ｎｅ ａ ｃ ｈ ｓｉ ｅｄ ｏ ｔ ｈｆｅ ｕ ｂｃ ｉ ｓｅ ｓｓ ｅ ｔｍ ｔａ ｉ ｃ ｌ ｌ ａ ｃ ａｌｃ ｕｌ ａｔ ｅ ｄ ｐ ｐ ｙ ｙ ｗ ｈ ｉ ｌｅ ａ ｎ ｕｉｆ ｏ ｒ ｃ ｍ ｈ ｒ ｅａｄ ｓ ｈ ｅ ｒ ｅｓｕ ｒ ａ ｆｃｅ ｏ ｎ ｔ ｈ ｄ ｅ ｉ ａ ｎｏａ ｌ ｆ ａｏｃ ｕ ｂ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ｒ ｓｅｕ ｌ ｔ ｓ ｈｏｗ ｓ ｔｈ ａ ｔｔ ｈ ｅ ｇ ｐ ｇ ｓｏｉ ｉｔ ｏｎ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｉ ｒ ｆｃ ｕ ｌｘｏ ｎ ｅａｃ ｈ ｓ ｉ ｅ ｉ ｄ ｓ ｃｌｏ ｅ ｓ ｒ ｌｅ ｌ ｔ ａｅ ｄｔ ｏｔ ｈｅ ｒ ａ ｉ ｄ ｕ ａｓ ｄ ｔｎｈ ｏｅ ｆ ｈｔｅ ｃ ｈ ａ ｒ ｅ ｄ ｓ ｈ ｅ ｒ ｅ ｐ ｙｇ ｐ， ｔｈ ｅ ｒａ ｄｉ ｕ ｓ ｓｉ ａ ｒｌｅ ｒ ｔ ｈｅ
ｅ ｌｅ ｃ ｔ ｒ ｃｉ ｌｆｕ ｘ ｅ ｈｘ ｉｂ ｉ ｔ ｓ ａ ｎ ｅ ｖ ｉ ｄｅ ｎ ｄｔ ｏ ｕ ｂｌ ｅ ｔｓ ｒｕ ｃｔ ｒｕ ｅ ．ｅ ａ ｋｓｕ ｒ ｆ ａｃ ｅＷｈ ． ｅ ｎ － ｐｇ ， ， Ｂ ｕｔ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔｈ ｅｒａ ｄ ｉｕ ｓ ｄｅ ｒ ｃｅ ａｓｉ ｎ ｔ ｅ ｈｄ ｉｓｔ ａｎ ｃｅｂ ｅｔ ｗ ｅ ｅｎ ｔ ｈ ｅ ｗ ｔ ｓｏ ｈｏ ｒ ｔ ｅｎ ｓ ｎａｄ ｉ ｎｆ ｌａ ｌ ｉｔ ｄ ｅ ａｅ ｋ ｓ － ｇ ｙ ｐ ｎｉｔ ａｏ ｒｅｓ ｕ ｌｔ ｏ ｆ ｃａｈ ａ ｅｒ ｅ ．ｎ ｅ ｒ ｔ ｅ ａ ｓｏｉ ｎ ｔ ｇ ｇ ；ｐ ；； Ｋ ｅ ｗ ｏｒ ｄｓ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｒｃｆ ｌ ｕ ｘｃ ｈａ ｒ ｅ ｄ ｈ ｅ ｒｓｅ ｓｕ ｆ ｒａ ｃ ｃ ｕ ｂｅｅ ｔ ｈ ｅ ｉ ｄ ａｏｎ ａ ｌ ｅ ｇ ｇｐ ｙ 静电场中 任面意电通的计量算 是静 电 的 一 学个本问题
基［ ］１ ３
－
，于 ２大如图 １ 所示 ， 里这方正沿 体－ Ｏ） Ｒｘ ｚ坐标 ｙ 系三个轴放置的 带，球面电球ｃ 心点的 位 置 为（ ｘ，
比利用如高 斯 定 理可以 便方 地计．
算一点电在荷方体顶点时对正正方体 各个 面的 通量电 若．将电点荷用匀带均电球 来 面 替 代 ，考并虑其 球处在心 正方 体内 外 意 任 置 位时， 将 如何算计 对正体某方个面电通的？这相量关讨 论 在教 科书 文和中并 献 不 多见 ． 本将系文计统算一均匀电 带球的球面在正方体对心线上任意位角 置时 正 方 对体一面的 电个 通 量， 分析并带球面电径半对通 量的影响 电． 电通１量的计算分和 设一半析径为Ｒ 、带 电量 为 的ｑ匀带均球面电， 其球 心 置于 一边 长 为ａ 的 正 体方 对角 线 上 设（
ｚ） ａ． ｙ 由于，方正 是体中 对心 称 的， 所以 只需讨论共 由又于三这面关于过顶角的个正顶角的 个三面 ，
体的体方对角 线对 称 ，仅故讨需正论方体其的 中一面个的 电 通量 即 可（ 中文 以 Ｓ面 为 例 ，Ｏ即 ｘ 平ｚ面 ） 当均匀带球电面在方体正内且 未 与正 方 体． 接相触， 即 Ｘ≥ 时Ｒ， 由高斯 理 可 以 定得到 均 匀 带３
电球面］ 对Ｓ 的电面量为 通［
Φ＝
Ωｑ π４ ０
ε
稿日期 收 ： ２０ １３ ３０１ ９ － －指教师 导： 滕 保 ，华男 ，教， 授博生导士，师 要主事从物理教科研 工作 ，学 究方研为凝向态物理聚． ｈ ｂ ｔ＠ｈ１ ３６ ｃ ． ｏ ｐｍ ｙ
物理
工程 与Ｖｏ ｌ ２．３ Ｎ ｏ ． ２５ ０ １ ３
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其中
， 示意其图见 Ω为 心ｃ 点对Ｓ 面 的球立 体 角 ，即 有 ２．并注意图到 Ｘ ＝ ＝Ｚ，Ｙａ
ａ
０２
面
上电通的 为量 零 因，此要考需带电球面在虑 同不置位与时正 方 体 表 面 的 相 割 情 况 ， 并过通不同 间区分来别计算， 于是此 电通时量为
＝
Ωｄ
ｘ ｄｚ∫ 槡∫（（ ｘ －Ｘ） Ｘ ＋ ＋ ｚ－ （Ｘ））０ ２ ２
３Ｘ
（ Ｘ
≥Ｒ ） 即Ｘ 当均带匀电 球 与面正 方 体相 切 及 相 ，割， ≤Ｒ 时由 于 匀 带 均电 球面 被 在割正 方 体 表 面 Ｓ
′Ω ４ｑπ ０ ε这里 Ω图３其是 ′及涉列不 下同区 间 的 曲 面 积 ， Φ＝
分一中种形的示意情 图
．Ω 烄
（
２Ｒ －Ｘ） Ω－πＲ （ Ｒ －）Ｘ ２ ２ π－ Ω Ｒ Ｒ－
（Ｒ ≤ Ｘ ≤）Ｘ ＜Ｒ） 槡（２ Ｒ Ｒ≤Ｘ ＜ ｒ ） ｒ ｄｄ θ （ｆ） （ 槡 ２） 槡
Ｒ３
（
１
Ω Ｒ－ ＝′ 烅
Ωａｒ ｃｃｏ ｓ
（∫
０
π ４
３ π ２ ａｒ ｃ ｃ ｏ ２－
（槡
ｓＸ ２
２Ｒ－
ＸＲ
－Ｘ 槡（ 槡）ｒ ｃ ｃ ｏ ｓａ －∫ ∫ （槡 ） Ｒ－Ｘ ）槡ｒ ） ｄ ｄ ｒ＋θ （ｆ
ａｒ ｃ ｃ ｓ
ｏ Ｘ ｃ（ｏ θｓ）２ ２
Ｘ
２ ２ Ｒ－Ｘ ２Ｘ２ Ｒ －Ｘ
２
２
∫０
∫２０
（
Ｘ
２ Ｘ ２ Ｒ 槡
∫－
０
）
Ｘ
（ ｏ ｃｓ θ）
ｒ
） ｒ ｄｄ θ＋ ｆ２
（∫ ∫
０
π０
４Ｘ
（ ｏ ｓ θ）ｃ
ｒ
ｒ） ｄ ｄθ ｆ（
）
２ Ω＋３ Ｒ
ａ ∫ｒ ｓｃｉ ｎ
槡
（Ｘ－ ２ ２Ｒ Ｘ－
∫
）２２ Ｒ Ｘ －槡
－Ｘ （ｓ ｎ ｉ）θ
ｒ
） ｄ ｄｒ θｆ（
烆 ｒΩ其 ， 为中了楚看清出电量与通＝ ｒ） ｆ（． ２ｒ ２Ｒ－ 槡 其置位和 径 的 关半 系 特将，同相不情况下电通割
量数值的果绘于结图４ 中 ．可看以出 ，正电通 量呈现明 显 双 峰的 结 ， 而构 负电通则量单为峰结 ． 构对正电通 量 说来 ， 均匀 带电当面之球球 心 距 原 较 远点 （即 Ｘ 较 大） 时， 电通 量 小 较．随 着 Ｘ 的 减 小， 电 通 量 逐渐 增大， 直 至 ， ，时 出 继 极 现 大 随值 续着 减小 电通量 Ｘ＝ ＸＲ．
≤０Ｘ ＜ ３（ ）槡Ｒ －≤ Ｘ ＜０ （ ） ３槡 ＲＸ ＜－ ３） 槡
（Ｒ
开始又减小 ，在带电球并面与正体方边棱相到 切／带 电 球 面接 正触 方体 顶 点之 间 位 置的， 即 ３≤Ｒ 槡／ 到极达值 小． 之又逐渐后 大增直 至 近接Ｘ＜Ｒ ２， 槡 但 当 ＝Ｘ０ 时 通 电量为 零 ．负对通量电来Ｘ ０＝ ，，说随 着 Ｘ 继
续
偏 离 点原 电，通绝量对值断增 不 ／出现大值极 ．大， 至在 直＝Ｘ－Ｒ 之后随着 Ｘ ２ 时 ，远离点 ， 电通原逐量渐趋于零 ．近同 可时看出以， Ｘ在＝ 处０通电出现了量变跳，
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理与物程 工Ｖ ｏ ． ｌ ３２Ｎ ．ｏ ２５ ０１ ３
图
４ 电通 与均匀量电带球之球面心置位关系图的， 这 里匀带电球均面径分半别 （为 ）） ） （ ））ａ ｂ １ ｃ２３ ｄ ４ ５ Ｒ＝ ０．ａ ，（Ｒ＝０ ａ，．（ ＝Ｒ．０ａ Ｒ，０＝．ａ （和 ｅＲ＝ ．０ ａ
这是
因为 在 ＝０Ｘ 时，带 电球面的心在正方球体的顶 ，点 此对时 面Ｓ电无通量 ，而当带电此面球 移出正方体顶刚时点， 便立出刻现了 电 通 ，量即发生 了电通量 的跳 变 ． 在 Ｘ ＝Ｒ而 处则 是电 通 量 的 带尖电球 面刚 刚 与正方 变锐点 化， 因为 在＝Ｒ 时Ｘ ， 表体相面切接触， 时电通量极大此 ，但由 带于球电 面假是设 将面电 荷 分 在布几 何 球 面 之 上 ， 所以随着带电球 偏 离 此 位面置 ， 导就致电了通变量化 的锐性尖 ． 外可另发现 ， 以均匀电球面的半带径Ｒ 明 影显响电量通变化的． 当电球面的 带 半 径较 大时 ，正 电量的通双峰 结 构 非 常 明显 ． 但当是电带球的面半径 Ｒ 逐渐 减 ， 小正通量电双峰的渐靠近逐 ，同 时 负均通电量 单 的峰也 向原 点 趋 近 直 ．至 Ｒ＝０ 时， 匀 带电面球退 化成 了 一个 电 点荷， 时双峰消失此而变成单峰 ． ／别地特 ，在Ｘ ａ＝和 Ｘ＝ａ ２处 匀均 带电 球 面 ／／这正是我 对 Ｓ 面电通的量别为 分２６ ε ４ε ｑｑ０和 ，０ 们熟 的知个一电荷在点方体顶点正和心时对 Ｓ 中面电通量值 ． 本文根的据 高斯定 理 和 立 角体 的概 ，念 细分详 了一均析带匀电面的球球在心方正体 对 角 线上任 位置时意 带，球面对正电体方 面 的 电 通各 量 问 题 ．数计值结算果 表明 ，电通量的 小大由电带面在 正球方 体对角 线 上 的 置 与 位带 电球面 的 半径来 决 ．定 常通况情下 ， 正 电 量 通 现 出呈 明显 峰 结双构， 并且个两峰分 对 应别电 量通 跳的 变 点 和 变锐 点； 负电通量 而仅 呈 现出 峰单 结构， 并且 只应连对续变 的一化 极 个值． 同 时电带面的球径半正电通对 的量峰结 构 双影响 明 显 当带，电球的面半径趋 零近 时，就 成变知熟的电荷点的结 ．
果 参考 文献
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育出版社， １０ ６． Ｍ］０ ．２ 赵华凯． ［ ］ ［ 北京 ： 物理学 （ 下 ）等教高育出社 版， ２ ００ ６ ．Ｍ．］ ２ 马文蔚 ［．］ ［ 等． 费恩曼物学理义讲（ ２卷） 第子 王 Ｍ］３．李 芳洪 ， 费曼恩， 铺， 钟万蘅 ，译 ．海 ： 上海科上学术技出社版 ，２ ０ ０．
４２ 结
语
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