反比例函数概念与性质(预习)
新知学习
一、反比例函数的概念
1．
（
）可以写成
（
）的形式，注意自变量x 的指数为
，在解决有关自
变量指数问题时应特别注意系数2．
（
这一限制条件；
）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得
到反比例函数的解析式； 3．反比例函数
的自变量
，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．
二、反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数点对称）．
的图象时，应注意自变量x
的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原
三、反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（
）
2．自变量的取值范围：
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当 当
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
，
）在双曲线的另一支上．
，
）在D
（3）对称性：
图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（ 图象关于直线
双曲线的另一支上． 4．k 的几何意义
如图1，设点P （a ，b ）是双曲线
上任意一点，作PA⊥x轴于A 点，PB⊥y轴于B 点，则矩
对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（
形PBOA 的面积是
（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是
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）
．如图2，由双曲线的对称性可
．
知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为
图1
图2
5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不 能一概而论．
（2）直线当
与双曲线
的关系：
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原
时，两图象没有交点；当
点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．
四、反比例函数解析式的确定
求反比例函数的解析式的方法主要有三种：
①待定系数法；②反比例函数k 的几何意义；③实际问题
基础演练
一、反比例函数的定义：
2-4k m 2+2
【例1】 下列关于x 的函数中：①y =；②y =；③y =；④y =中，一定是反比例函数的有( )
3x x x x
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例2】 已知y=(m+2m)x
【练一练】如果函数y =kx 2k
2
2
m 2+m -1
是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
+k -2
是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是；
预习课程˙反比例函数概念与性质 【例3】 已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________,这时h 是a
的__________；
【例4】 如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成____ ___；
二、反比例函数的图像和性质
k 2k ≠0
【例5】 （2008江汉）对于反比例函数y =() ，下列说法不正确的是（ ）
x
A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k ，k ）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y 随x 的增大而增大
【例6】 在反比例函数
y =
k -5
x 图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）
A ．k ＞5 B．k ＞0 C．k ＜5 D． k＜0
【例7】 （四川绵阳）若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数y =-
b 1与b 2的大小关系是（ ）
A ．b 1＜b 2 B．b 1 = b2 C．b 1＞b 2 D．大小不确定
【例8】 在反比例函数y =-
2
图象上的两个点，且a 1＜a 2，则x
1
的图像上有三点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3) 。若x 1>x 2>0>x 3则x
下列各式正确的是（ ）
A ．y 3>y 1>y 2 B．y 3>y 2>y 1 C．y 1>y 2>y 3 D．y 1>y 3>y 2
【例9】 （2012兰州）在反比例函数
值是( )
A 负数 B非正数 C正数 D不能确定
3＋2m
【例10】 （2012南通）已知点A(－1，y 1) 、B(2，y 2) 都在双曲线y y 1＞y 2，则m 的取值范
x
围是（ ）
3 3
A ．m ＜0 B．m ＞0 C．m ＞－．m ＜－22
【练一练】如图，反比例函数y =
的图象上有两点(－1，y 1) ，
，则y 1－y 2的
k
的图象经过点A(-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ） x
A.y ＞1 B.0＜y ＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜
2
y =
【例11】 已知点p(1,a)在反比例函数
在第 象限。
k
(k ≠0) 2x 的图像上，（其中a= m+2m+3为实数) 则这个函数图像
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【例12】 （2008湛江） 已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致
是（ ）
A ． B． C． D ．
2k
y =kx 【例13】 如果函数
2
+k -2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
三、反比例函数系数k 的几何意义。
【例14】 （2012铜仁）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y =
k
的图象过点A ，则k 的值是（ ）
x
A ．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【例15】 如图, 直线l 和双曲线y =
k
(k >0) 交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）, 过点A 、x
B 、P 分别向x 轴作垂线, 垂足分别是C 、D 、E, 连接OA 、OB 、OP, 设△AOC面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则（ ）
A. S1＜S 2＜S 3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2
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【练一练】如图13－8－6所示，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数y =1的图象在第一象
x
限分支上的三个点，且x 1＜x 2＜x 3，过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是（ ） A ．S 1
四、反比例函数解析式的确定
【例16】 （2012娄底）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）
A ．y=﹣
B ． y=﹣ C． y= D． y=
y =5，y =-1；y 2与(x -2) 成正比例，【例17】 已知y =y 1-y 2, y 1与x 成反比例，并且当x =3时，当x =1时，
求y 与x 之间的函数关系式.
1
x (x 【例18】 （2009丽水市）如图，点P 在反比例函数> 0) 的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向
右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '. 则在第一象限内，经过点P '的反比例
y =
函数图象的解析式是（ ）
5566y =-(x >0) y =(x >0) y =-(x >0) y
=(x >0)
x x x x A ． B. C. D.
y =
【例19】 （2009年天津市）已知图中的曲线是反比例函数
m -5
x （m 为常数）图象的一支．
（Ⅰ）这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？
（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数y =2x 的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．
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五、反比例函数与一次函数的结合
k
【例20】 （宁安）函数y= 与y=kx+b在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
x
【例21】 （2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy 中，直线y =x 向上平移1个单位长度得到直线l ．直
k
的图象的一个交点为A (a ，2) ，则k 的值等于． x
3n -m 1
的图像相交于点（，2）【例22】 如果一次函数y =mx +n (m ≠0)与反比例函数y =，那么该直x 2
线l 与反比例函数y =
线与双曲线的另一个交点为_____________.
【例23】 如图，在Rt ∆AOB 中，点A 是直线y =x +m 与双曲线y =
则m 的值是
_____.
m
在第一象限的交点，且S ∆AOB =2，x
【例24】 （2007四川资阳）如图6，已知A(-4，2) 、B(n，-4) 是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图
象的两个交点.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围
.
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【练一练】（2007四川成都）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数
y =
m
x 的图象交于
A (-2，1) ，B (1，n ) 两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积．
-4) 是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数【例25】 （2009年兰州）如图14，已知A (-4，n ) ，B (2，
y =
m
x 的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程
kx +b -
m =0x 的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式
kx +b -
m
.
课后作业
【题1】 下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）
（A ） y =2x +1（B ）y =
21
y = （C ）（D ）2y =x 2
5x x
B ．第二、三象限 D ．第三、四象限
，，则这个函数的图象位于（ ） 【题2】 已知反比例函数的图象经过点P (-21)
A ．第一、三象限 C ．第二、四象限
2k -1
【题3】 若双曲线y=x 的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是（ ）
A.k ＞
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111
B. k＜ C. k= D. 不存在 222
m +2
【题4】 若函数y =的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）
x
A ．m >-2 B ．m 2 D ．m
【题5】 如图，函数y 1=x -1和函数y 2=
范围是（ ）
A ．x 2 C ．-1
x >2
2
的图象相交于点M(2，m) ，N(-1，n) ，若y 1>y 2，则x 的取值x
【题6】 在同一直角坐标系中，函数y =kx +k 与
y =
k
x （k ≠0）的图象大致是图中的（ ）
A
B
C
D
【题7】 如图，反比例函数y =
m
的图象与一次函数y =kx -b 的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，x
m
3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程=kx -b 的解为（ ）
x
A. －3,1 B.－3,3 C.－1,1 D.3，
-1
【题8】 （2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=
的解为( )
A xl=1，x2=2 B xl=-2，x2=-1 C xl=1，x2=-2 D xl=2，x2=-1
22
的图像，则关于x 的方程kx+b=x x
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2
【题9】 如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴
x
2
和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y x ＞0）的图象上，
x 顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为
y =
【题10】 （2008年荆州市）如图，一次函数
1
x -22的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且
y =
k 3
(k >0) S ∆OQC =x 2，则k 的的图象于Q ，
PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数
值和Q 点的坐标分别为
_________________________.
y =
【题11】 已知函数
m -1x
m
是y 关于x 的反比例函数，求m 的值.
y =
【题12】 (2008常州市) 过反比例函数
的图象上, 则m=______.
k
(k >0) x 的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段, 如果垂线段
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与x 、y 轴所围成的矩形面积是6, 那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数
y =
【题13】 （2009年长沙）反比例函数
两点．
（1）比较b 1与b 2的大小； （2）求m 的取值范围．
2m -1
x 的图象如图所示，A (-1，b 1) ，B (-2，b 2) 是该图象上的
【题14】 (2009宁夏) 已知正比例函数
y =k 1x (k 1≠0) 与反比例函数
y =
k 2
(k 2≠0) x 的图象交于A 、B 两
1) ． 点，点A 的坐标为(2，
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．
【题15】 （2009肇庆）如图 7，已知一次函数
y 1=x +m （m 为常数）的图象与反比例函数
y 2=
k
x （k 为
常数， k ≠0）的图象相交于点 A（1，3）．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值
y 1≥y 2的自变量x 的取值范围．