三相瞬时电流综合矢量

1 定子电流通用空间相量

Equation Chapter 1 Section 1

B 相绕组轴线正方向C 相绕组轴线正方向

图1-1

设复平面实数轴的正方向与A 相正方向一致，虚数轴正方向逆时针旋转90度。 定义定子电流通用空间相量

=2i e +i e sI

3

j 0A

B

(

2j +i e

C

4j )

(1.1)

当然如果A 相轴线提前复平面实数轴一定角度，比如30度，那么

j +π⎪j +⎪j

⎝63⎭⎝63⎭⎫6 =2⎛sI i e +i e +i e A ⎪，在这里我们定义定子电流三相空间相量分别是： B C

3⎝⎭

π⎛π2⎫⎛π4⎫

=i e sI

j 0

A

A

(1.2) (1.3)

=i e j sI B B

2π

=i e j sI C C

4π

(1.4)

（定义方法是用瞬时值乘以在复平面上该相正方向的上的单位相量），显然

=2(sI +sI +sI ) sI 3

A

B

C

(1.5)

其中i 、i 、i 分别是定子A 、B 、C 三相定子瞬时瞬时电流，注意这里的定子电流通

A

B

C

用空间相量不仅在稳态时有，在非稳态时也有。以前学过的相量就是用于稳态计算的值，这里的通用电流相量还能用于非稳态分析。因为它的定义就是用瞬时值定义的，不存在稳态的限制。我们定义时用了空间相量这个概念，命名时相量代表复数，前面加个空间是为了跟稳态分析时用到的相量加以区分，因为这里的空间相量是用瞬时值定义的，可以分析问题啊，也可以分析非稳态，在符号表上前面添加了s ，代表空间space 。A 相电流空间相量既可以在稳态分析时使用，也可以在非稳态分析时使用。在稳态时，A 相电流相量是恒定的，而A 相电流空间向量幅值正弦变化，方向在A 相绕组轴线上（当i >0时，方向与A 相绕组轴线

A

正向相同，反之，方向与A 相绕组轴线正向相反。）

按照定义可知在任何时刻都有（无论稳态还是非稳态）：

注意：i =

0s

A

)+i ; i =Re sI ⋅e i =Re (sI

A

0s

B

(

j

-2π

3

)

⋅e +i ; i =Re sI

0s

C

(

j

2π

3

)+i

0s

(1.6)

i +i +i

是定子电流零序分量； 3

B

C

设二维平面x 轴正方向与复平面实数轴正方向一致，二维平面y 轴正方向与复平面虚数轴正方向一致，定义设A 、B 、C 轴上的单位向量分别是

e A =(cos0,sin 0)=(Re (e j 0),Im (e j 0))，

(1.7) (1.8) (1.9)

()()

-2π-2π⎫⎛ ⎛⎫e = cos ,sin ⎪= Re (e ),Im (e )⎪ 33⎭⎝⎭⎝

2π2π

j j 2π2π⎫⎛ ⎛⎫33

e B = cos ,sin ⎪= Re e ,Im e ⎪ 33⎭⎝⎭⎝

-2π

3

-2π3

C

再定义定子电流通用空间向量是

), Im (sI ) sI =Re (sI

()

(1.10)

三相定子电流空间向量是（定义方法是瞬时值乘以该相正方向上的单位向量）：

),Im (sI )）sI 显然根据以上定义，在任意时刻，矢量和相量sI 都是重合的（即sI =Re (sI ，

sI =i e =i (cos0,sin0)

A

A

A

A

(1.11) (1.12) (1.13)

2π2π⎫ ⎛

sI B =i B e B =i B cos ,sin ⎪ 33⎝⎭ 4π4π⎫ ⎛

sI C =i C e C =i C cos ,sin ⎪ 33⎝⎭

()

是重合的（即sI ), Im (sI 向量sI A 和相量sI =(Re (sI

A

A

A

A

))

是重合的（即），sI B 和sI

B

是重合的（即sI ), Im (sI )），sI C 和sI 。 sI B =Re (sI B ), Im (sI B )）=Re (sI C C C C

()()

根据以上定义，容易验证：

i =sI ⋅e +i ; i =sI ⋅e +i ; i =sI ⋅e +i

A

A

0s

B

B

0s

C

C

0s

(1.14)

物理意义是定子电流通用空间向量在X 相（A 、B 、C ）正方向上的投影加上ABC 三相电流的零序分量等于X 相电流瞬时值。

2 对于dq 变换（这里用Park 变换，不用正交变换）

图2-1

对于dq 变换，用这套符号体系进行分析如下： 对于Park Transformation，变换公式如下：

(1.15)

按照上面的定义办法（瞬时值*该物理量所在正方向上的单位相量），我们可以定义d 轴和q 轴电流空间相量：

=i e =i e θs ；sI sI

j

ds

ds

qs

qs

π⎫⎛

j θs +⎪

2⎭⎝

然后定义d 轴和q 轴电流空间向量（仍然是同样的方法，d 轴电流瞬时值乘以d 轴正向上的单位向量）：

sI =i e =i (cos θ,sin θ)

ds

ds

ds

ds

s

s

(1.16) (1.17)

⎛π⎫π⎫⎫ ⎛⎛

sI =i e =i cos θ+⎪,sin θ+⎪⎪

2⎭2⎭⎭⎝⎝⎝

qs

qs

qs

qs

s

s

ds

重合。 重合，sI 与sI 按照这个定义，显然sI ds 与sI qs

qs

把i 和i 的定义式子带入可得：

ds

qs

=2⎛cos θ⋅i +cos ⎛θ-2πsI

3⎝3⎝

ds

s

A

s

qs

s

A

s

2π⎫⎛

⎪⋅i +cos θ+

3⎭⎝

B

s ⎫⎫θs

⎪⋅i ⎪e ⎭⎭

j

C

=-2⎛sin θ⋅i +sin ⎛θ-2πsI

3⎝3⎝2π⎫⎛

⋅i +sin θ+⎪

3⎭⎝

B

s ⎫⎫⎪⋅i ⎪e ⎭⎭

C

π⎫⎛

j θs +⎪

2⎭⎝

根据上面定义，在任何情况下（包括稳态和非稳态）容易验证下式成立：

=sI +sI sI

d

q

(1.18)

容易发现，在Park 变换下（无论稳态还是非稳态）有：

i =sI ⋅e +sI ⋅e +i

A

ds

A

qs

A

0s

(1.19) (1.20) (1.21)

i =sI ⋅e +sI ⋅e +i

C

ds

C

qs

C

0s

i =sI ⋅e +sI ⋅e +i

B

ds

B

qs

B

0s

式子(1.19)到(1.21)的证明，可以通过将sI ds 和sI 的定义式带入证明，也可以通过把(1.14)和

qs

(1.18)带入证明。物理意义是d 轴和q 轴电流空间向量在X （A 、B 、C ）相轴线的正方向的投影加上ABC 三相电流的零序分量就是X 相的电流瞬时值。

3 对于αβ变换（这里用非正交变换）

（参考汤蕴谬等老师的交流电机动态分析也可以有所感悟，汤老师等对电机变换进行了详细分析），

我们可以定义α和β轴电流空间相量分别是：

=i e =i αe =i α sI ααα

j 0

j

2 =i e sI =i e =ji β ββββ

π

把i α和i 的定义式代入上式可得：

β

=2i -1i -1i sI α

322

A

B

C

⎫

=ji =j 2⎪ sI ββB C

3⎪⎝⎭

在任何情况下（稳态和非稳态），容易验证：

=sI +sI sI αβ

(1.22)

4 派克变换和αβ变换的关系

根据派克变换和αβ变换的定义，容易知道在任何时刻下式成立：

⎡i ds ⎤⎡cos θs sin θs ⎤⎡i αs ⎤

⎢i ⎥=⎢⎥⎢i ⎥ -sin θs cos θs ⎦⎣βs ⎦⎣qs ⎦⎣

⎡i αs ⎤⎡cos θs -sin θs ⎤⎡i ds ⎤⎢i ⎥=⎢⎥⎢i ⎥ sin θs cos θβs s ⎣⎦⎣qs ⎦⎣⎦

(1.23)

(1.24)

sI 式(1.23)几何意义是在任何时刻就是平面向量αs 和sI β在d 轴正方向上的投影代数和等于

s

i ，在q 轴正方向上的投影和是i qs ；

ds

式(1.24)的几何意义是平面向量sI 和sI 在α轴正方向上的投影代数和等于i ，在β轴正方向

d

q

αs

上的投影和是i β。

s

5 稳态时分析定子电流通用空间相量和定子稳态电流相量的关系

下面对稳态时，定子电流相量与定子电流通用空间相量的关系：

2π⎫2π⎫⎛

当稳态时：i a =I m cos (ωt +ϕ0)，i =I cos ⎛ ωt +ϕ-⎪，i =I cos ωt +ϕ+⎪ 33⎝⎭⎝⎭

b

m

c

m

可知，在稳态时有：

=2i +i e +i e I

32⎛2⎫⎛

= I cos (ωt +ϕ)+I cos ωt +ϕ-π⎪e 3⎝3⎭⎝

j 2

3

j 43

A

B

C

m

m

m

m

()

2j π3

2⎫⎛

+I cos ωt +ϕ+π⎪e

3⎭⎝

m

2

j 3

4j 3

⎫⎪⎭

2⎛22⎫⎛

= I cos (ωt +ϕ)+I cos (ωt +ϕ)cos π+sin (ωt +ϕ)sin π⎪e 3⎝33⎭⎝22⎫⎛

I cos (ωt +ϕ)cos π-sin (ωt +ϕ)sin π⎪e

33⎭ ⎝

2⎛2 = I cos (ωt +ϕ)+I cos (ωt +ϕ)cos πe 3⎝3

m

m

m

j -2

+

⎫⎪⎭+e

j -23

(1.25)

(

2j π3

)

2

+I sin (ωt +ϕ)sin πe

3

m

m

(

2j π3

-e

j

-23

)⎫⎪⎭

2⎛

= I cos (ωt +ϕ)+I 3⎝2⎛3

= I cos (ωt +ϕ)+3⎝2

m

m

m

2222⎫

cos (ωt +ϕ)cos π⋅2cos π+I sin (ωt +ϕ)sin π⋅j 2sin π⎪

3333⎭

3⎫

j I sin (ωt +ϕ)⎪2⎭

m

=I e (ω

j m

t +ϕ0)

当在三相电路稳态分析中规定相量和其瞬时值的关系如下时：

=I ∠ϕ=I e ϕ 即：i =I cos (ωt +ϕ)I

（注意这里用的最大值相量，常用的是有效值相量）

e ω)i =Re (I

j

A

m

A

m

m

j t

A

A

显然有：

=sIe -j ωt ; I =sIe -j ωt e -j 3; I =sIe -j ωt e j 3 I A B C

2π

2π

如果用常用的表示方法，即有效值相量表示电流，那么有： =ϕ=j ϕ 即：i A =I m cos (

ωt +ϕ)I A

e j ωt

i =Re A

A

)

进而：

-j ωt -j ωt -j 2π -j ωt j 2π3 I A =; I B =e ; I C =e 3 即稳态时通用空间相量在t=0时在复平面上的位置和A 相稳态相量是重合的。通过阅读王锡凡老师现代电力系统分析中，电流系统暂态计算章节和同步电机模型章节中，我认为在暂态过程中，发电机的稳态不断发生变化，直至达到一个新的稳态或者失步。稳态的不断变化，可以通过发电机转子d 轴正方向与定子A 相正方向在t=0时的夹角θ的不断变化来等价，

s 0

不同的稳态对应一个不同的等效θ。

s 0

这个过程中，通过结合发电机自身运动方程、定子电压电流方程以及网络方程不断迭代计算得到系统暂态响应结果在，在迭代过程中，通过网络方程不断更新系统节点电压稳态相量，这里有个问题，为什么用V 和V 直接变换得到的V （或者说V α）和V （或者说V β）就是稳

d

q x y

态电压相量V A 的实部和虚部呢？

这个式子中的δ相当于图2-1中的θ+

s

(1.26)

π

（因为是q 轴和x 轴的夹角） 2

根据5中描述派克变换和αβ变换的关系，可知，这个问题也就等价于为什么稳态时V α和V β等

叠加得到sV 和sV ，而于稳态电压相量V 的实部和虚部。由式(1.22)可知，在任何时刻sV βα

A

是重合的， 和V 在t=0时的sV 即t=0时刻的V α和V β分别等于稳态电压相量V 的实部和虚部。

A

A

如果能够证明通过式(1.26)或者式(1.24)得到的V α和V β等于t=0时刻的值即可。式(1.26)或者式(1.24)中的θ和V 、V A 如果是t=0时刻的值，那么通过变换得到到V α和V β就是t=0时刻

s

d

q q

的值（这个变换在任何时刻都成立，而且这个变换中的量对应的是同一时刻）。那θ和V 、

s

d

V 是不是t=0时刻的值呢？我们看一下θ和V 、V 是怎么来的？

q

s

d

q

在暂态计算过程中θ是通过运动方程解出来的，对应的就是等效稳态t=0

时刻的发电机转子

s

d 轴正方向与A 相正方向之间的夹角，V 、V 是通过类似式(1.15)这样的变换得来的，在任

d

q

何一个准稳态中在任何时刻V 、V 是不变的，尽管我们计算用的V 、V 、V 以及θ不是t=0

d

q A B C s

时刻（而是计算目标时刻）的值，得到的V 、V 是计算目标时刻的值，计算目标时刻的值

d

q

等于t=0时刻的值（这里可能会有疑问，计算目标时刻对应的稳态没有t=0时刻，只存在于计算目标那一个瞬间，尽管这个稳态只存在于计算目标那一个瞬间，数学上整个[-∞，∞]一定可以找到这样的一个稳态（虚拟发电机，它的各种原始参数跟分析的机组一样，但是它稳定运行与[-∞，∞]整个时间段）让计算目标时刻的瞬时值等于我们的计算值，我们现在求的是数学上这个稳态在t=0时刻的V 、V 值，对于这个数学上的稳态而言，V 、V 值在任何时刻

d

q d q

都是不变的），现在已经知道在计算目标时刻得到θ和V 、V 等于计算目标时刻准稳态对应

s

d

q

的数学上的稳态在t=0时刻值，那么V α和V β自然就等于那个数学上的稳态在t=0时刻的值，也就等于那个数学上的稳态对应的V A 的实部和虚部。 注意：

第一暂态分析中我们始终认为系统处在准稳态，尽管每个计算目标时刻的准稳态仅存在于计算目标时刻，但我们可以找到一台虚拟发电机（它的各个原始参数跟我们分析的机组相同）正弦稳态运行于t=[-∞，∞]，而且它在计算目标时刻的各种瞬时值跟我们的准稳态的瞬时值相同（除了电磁功率或者Pt ，因为计算目标时刻的电磁功率不等于Pt ，而虚拟发电机是这两个量是相等的）；

第二，认为发电机准稳态在不同计算目标时刻不断发生变化就意味着不同的计算目标时刻的准稳态对应的虚拟发电机（在t=[-∞，∞]全时间段处于稳态）不同。这个虚拟发电机转子在t=0时的发电机转子d 轴正向和发电机定子A 相轴线夹角θ角度也不同，我们通过运动方程

s

解的θ就是准稳态对应的虚拟发电机在t=0时刻的d 轴正向和发电机定子A 相轴线夹角(准

s

稳态对应虚拟发电机转子d 轴正向提前故障前稳态对应虚拟发电机转子d 轴正向的角度) 。

为什么呢？通过思考运动方程，可以知道我们解转子运动方程得到的那个角，如果我们给定故障起始时刻的初值是0的话，就等于计算目标时刻准稳态对应的虚拟发电机与故障前稳态对应的虚拟发电机的转子在计算目标时刻的夹角（或者说准稳态对应虚拟发电机转子d 轴正向提前故障前稳态对应虚拟发电机转子d 轴正向的角度），而我们又知道对于一个给定的准稳态而言，他对应的虚拟发电机和故障前稳态对应的虚拟发电机在任何时刻转子夹角是不变的，尽管我们通过运动方程得到是计算目标时刻的夹角，这个夹角也等于t=0时刻的夹角，另一方面我们给定的初值等于故障前稳态对应的虚拟发电机t=0时刻发电机转子d 轴正向和发电机定子A 相轴线夹角（或者说故障前稳态对应的虚拟发电机t=0时刻发电机转子d 轴正向提前发电机定子A 相正方向的角度），所以通过运动方程解得的这个角度的意义就变成了准稳态对应的虚拟发电机在t=0时刻发电机转子d 轴正向和发电机定子A 相轴线夹角θs （或者说准稳态对应的虚拟发电机在t=0时刻发电机转子d 轴正向提前发电机定子A 相轴线正向的角度）；

第三，同步电机分析时用到的d 轴与转子d 轴重合。上面提到了故障前稳态对应的虚拟发电机，故障前稳态对应的虚拟发电机也是三相稳态运行于t=[-∞，∞]，它各项原始参数跟目标发电机相同，在故障前的稳态期间的各个参变量瞬时值跟目标发电机瞬时值相同。

（我估计迭代过程是这样的：第一步：通过故障发生前的稳态电流和故障发生时更新的系统网络方程，更新系统节点电压列向量，即故障时刻的系统节点电压列向量，第二步：用更新的发电机节点电压、故障前（或者t ）的电流更新发电机节点的输出电磁功率，用更新的系k

统电磁功率参加发电机的运动方程进行计算，得到下一时刻t 发电机功角δ和下一时刻t k +1k +1的发电机内电势和q ；第三步：在下一时刻t ，利用和q 以及上一时刻的t 的电压U 、d k +1d k x U y 更新发电机节点的输出电流I 和I ，对于负荷节点，更具负荷模型和上一时刻的电压U 、x y x

U y 也要更新负荷节点的电流I 和I ，第四步：用更新的系统节点电流列向量和系统方程更x y

新得到本时刻t 的节点电压列向量，重复二到四步，直到系统稳定或者某个计算时刻结束） k +1

当然，如果在三相电路稳态分析中，规定相量和其瞬时值的关系如下时：

π⎫⎛i =I cos (ωt +ϕ)=I sin ωt +ϕ-⎪2⎭⎝

πϕπ⎫⎛ I =I ∠ ϕ-⎪=I e 2⎝⎭

即：

e ω)i =Im(I A m m ⎛⎫j -⎪2⎭⎝A m m j t

A A

关系式变为：

=sIe -j ωt e 2; I =sIe -j ωt e 2e -j 3; I =sIe -j ωt e 2e j 3 I A B C -π-π2π-π2π

有了以上分析做准备，再对同步电机或者异步电机的运