函数的应用

23．（本题满分10分）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本

为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表：

销售单价q (元/件) 与x 满足:当1≤x

1125

. x

（1）（2分）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系. （2）（4分）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式. （3）（4分）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 23、（1）p =120-2x …………………………………………………………………… 3′

⎧(120-2x ) ⋅(60+x -40)(1≤x

⎪

（2）y =p ⋅(q -40) =⎨ 1125

(40+-40) ⋅(120-2x )(25≤x ≤50) ⎪x ⎩

⎧-2x 2+80x +2400(1≤x

………………… 7′ =⎨135000

-2250(25≤x ≤50) ⎪

x ⎩

（3）1≤x

∴x=20时,y 的最大值为3200元

25≤x ≤50, y =

135000

-2250 x

x=25时,y 的最大值为3150元

∴该超市第20天获得最大利润为3200元…………………………………10′

22、某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示。

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；

22．（9分）（2013•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500． （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润

6. 如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ） A ．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

9. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y =bx +b 2-4ac 与反比例函数y =

a +b +c

在同一坐标系内的图象大致为（ ）

x

23．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：

(1) 求出y 与x 的函数关系式

(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元

23．（10分）（2014•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1（元）与销售时间第x 月之间存在如图1（一条线段）的变化趋

2

势，每千克成本y 2（元）与销售时间第x 月满足函数关系式y 2=mx﹣8mx+n，其变化趋势如图2．

（1）求y 2的解析式；

19、体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 的一部分，该同学的成绩是

21. （9分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x(元) 符合一次函数

y=kx +b ，且x=65时，y=55；x=75时，y=45；

（1）求一次函数的解析式；

（2）若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得不低于500元，试确定销售单价x 的范围；

⎧65k +b =55，

21. 根据题意得⎨解得k =-1，b =120．

75k +b =45. ⎩所求一次函数的表达式为y =-x +120．

⑵W =(x -60) ⋅(-x +120) =-x 2+180x -7200=-(x -90) 2+900， 抛物线的开口向下，

∴当x

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． ⑶由W =500，得500=-x 2+180x -7200，

整理得，x 2-180x +7700=0，解得，x 1=70，x 2=110．

由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x ≤87，所以，销售单价x 的范围是70≤x ≤87．

26．已知抛物线y=ax+bx+3与y 轴的交点为A ，点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，二

2

， _________ ），B （ _________ ， _________ ）；

2

（2）求二次函数y=ax+bx+3的解析式；

2

（3）已知点M （m ，n ）在抛物线y=ax+bx+3上，设△BAM 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S 是否存在最大值，为什么？

2

19. （10分）如图，已知A （－4，

1

）B （－1，2）是一次函数y =kx +b 与反比例函数2

y =

m

(m

（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及m 的值；

（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标。

23（11分）如图，抛物线y =x -2x -3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作ｙ轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

2

3. 解：（1）令y=0， 解得x 1=﹣1或x 2=3，

∴A （﹣1，0），B （3，0）， 将C 点的横坐标x=2，

2

代入y=x﹣2x ﹣3， 得：y=﹣3， ∴C （2，﹣3）；

∴直线AC 的函数解析式是： y=﹣x ﹣1；

（2）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2）， 则P 、E 的坐标分别为： P （x ，﹣x ﹣1），

2

E （x ，x ﹣2x ﹣3）， ∵P 点在E 点的上方，

2

PE=（﹣x ﹣1）﹣（x ﹣2x ﹣3）

1292

=﹣x +x+2=﹣（x ﹣）+，

24

19

∴当x 时，PE 的最大值=；

24

（3）存在4个这样的点F ，分别是：

F 1（1，0），F 2（﹣3，0），F 3（4+，0），F 4（4﹣①如图1，

，0）．

连接C 与抛物线和y 轴的交点， 那么CG ∥x 轴，此时AF=CG=2， 因此F 点的坐标是（﹣3，0）； ②如图2， 如图2，

AF=CG=2，

A 点的坐标为（﹣1，0）， 因此F 点的坐标为（1，0）； ③如图3，

此时C ，G 两点的纵坐标关于x 轴对称， 因此G 点的纵坐标为3，代入抛物线中， 即可得出G 点的坐标为（1±，3）， 由于直线GF 的斜率与直线AC 的相同， 因此可设直线GF 的解析式为： y=﹣x+h，

将G 点代入后，

可得出直线的解析式为： y=﹣x+7．

因此直线GF 与x 轴的交点F 的坐标为： （4+，0）； ④如图4，

同③可求出F 的坐标为：（4﹣

，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F 点．

24.(满分14分) 如图14，直线y =-

1

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次2

函数的图象经过点B 、C 和点A (-1, 0).

（1）求B 、C 两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使

△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E

运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．

图14

23. 解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ……………………………1分

∴AB =CD , AB ∥CD ………………………………3分

∴∠EAF =∠DCF , ∠AEF =∠CDF ………………………………………5分

∴∆AEF ∽∆CDF ……………………………………… …6分

（2）由（1）得∆AEF ∽∆CDF ∴C ∆AEF AE AE AE 22=====………9分 C ∆CDF CD AB AE +EB 2+35

（3）由（1）和（2）得： ∴S ∆AEF =() 2=……………………………………………… ………11分 S ∆CDF 525

∵S ∆CDF =20 ∴S ∆CDF =……………………………………………13分 5

24. 解：（1）对于直线y =-1x +2，当x =0时y =2，当y =0时x =4 2

∴ B (4，0) ，C(0，2) ．…………………………………………2分

(2)∵二次函数的图象过点C (0, 2)，

∴可设二次函数的关系式为y =ax +bx +2

又∵该函数图象过点A (-1, 0)、B (4, 0)

∴⎨2⎧0=a -b +2, ┄4分 ⎩0=16a +4b +2.

解之，得a =-13，b = 22

1

23x +2． …………………………………………6分 2∴ 抛物线的表达式y =-x 2+

（3）在抛物线的对称轴上存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形．……7分

∴ P 1 (3，4) ．

235P 2 (，) ． ……………………9分 22

35P 3(，-) ． …………………………10分 22（4）过点C 作CM ⊥EF 垂足为M ,

3

2

1311∴ EF=-a 2+a +2-(-a +2) =-a 2+2a ．（0≤a ≤4） ……………11分 2222

111∴ S 四边形CDBF =S ∆BCD +S ∆CEF +S ∆BEF =OC ⨯BD +EF ⨯CM +EF ⨯BN 222

1511 =⨯⨯2+(-a 2+2a ) [a +(4-a ) ] 2222

511=+(-a 2+2a ) ⨯4 222

5=-a 2+4a +．（0≤a ≤4） …………………………………12分 2

13当a =2时，S 四边形CDBF 的最大值为． ……………………………………13分 2设E (a ，-a +2) ，则F (a ，-a 2+a +2)

此时E （2，1）． ……………………………………14分

22．（8分）（2013•济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y=（x ＞0）图象上任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B ．

（1）求证：线段AB 为⊙P 的直径；

（2）求△AOB 的面积；

（3）如图2，Q 是反比例函数

y=（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心，QO 1212为半径画圆与坐标轴分别交于点C 、D ．

求证：DO •OC=BO•OA ．