球面三角学简介

第一章 球面三角學簡介

1. 基本定義（基本定義（Definition）

2. 球面三角面積（球面三角面積（Area of Spherical Trigonometry）

3. 極對偶定理（極對偶定理（Polar Duality of Spherical Trigonometry）

4. 球面三角幾何特性（球面三角幾何特性（Geometry Properties of Spherical Trigonometry）

一、基本定義

1. 球面（：設O為原點，r＞0為定實數，則空間之點集{p|op＝r}，稱為球面（Spherical Surface）

球面；其中O稱為球心（Cnter），r為半徑（Radius）。

2. 大（小）圓（Great/Small Circle）－赤道和緯平圈：：若球面與任一平面交集為圓，則平

面含球心，稱大圓。平面不含球心，稱小圓。

註：其交集尚可能有、點。

3. 軸（Axis）、極（Pole）、及對點（：給大圓（or小圓），自球心作與此圓垂直及對點（Antipodal）：

之直徑，此直徑稱為此圓之軸；軸之兩端稱為極；又直徑之兩端點關係，稱為對頂。

註：P為大圓（or小圓）之極，則P至此圓各點之距離為一常數。

大圓之（兩）極，距該圓等距。

小圓之（兩）極，距該圓近者，稱近極（Nearer Pole）；遠者，稱為遠極（Further Pole）。

航海稱極，係指近極。

4. 球面（：球三之邊，在球面上兩點間大球面（大圓）大圓）距離（距離（Spherical（Great Circle）Distance）：

圓劣弧之長。

註：對頂兩點之最短通路不再是唯一，而是無窮多個半大圓。

大圓劣弧是非對頂（Non-antipodal）兩點間存在著唯一的最短通路。

大圓弧之度量，規定其對之圓心角之度量。（i.e.令半徑為1）。為在地球上兩點間大圓劣弧之長。

5. 兩大圓間之夾角：球三的角，兩大圓平面所成之兩個角。（於交點作一圓之切線，同理，大圓間之夾角

作另一個圓之切線，則此兩圓切線所夾之角，謂之。）

註：若兩個大圓劣弧相交，其交角規定如上。

6. 主（副）圓（Primary（Secondary）Circle）（赤道和子午線）：任任一大圓可稱主圓。

而過主圓之兩極所作諸大圓，則稱副圓。

7. 球面三角形（Spherical Trigonometry）：給球面上三點A.B.C，其中任意兩點不為直徑兩

端且A.B.C不再同一圓，則可構成球面三角。非對頂三點定一球面三角。

註：

AB, BC, CA為大圓劣弧（i.e.＜180 °），稱為球三之邊（Side）以c,a,b表之。

A,B,C為球三之頂點。

∠A,∠B,∠C度量分別以α,β,γ表之。

8. 全等（： 全等（對稱）對稱）球三（球三（The Equality of Spherical Trigonometry）

註：大體而言，定性球面幾何具有平面幾何同樣的疊合定理與對稱性，但缺少了在平面幾何中內角與平行的那一部份。

疊合定理：平面SAS, ASA,SSS；球面SAS, ASA,SSS,AAA（極球三引理）

兩球三（同球or 等球）可疊合（i.e. SAS, ASA, SSS, AAA）稱為全等（Congruent）

若兩球三之邊與角對應相等，而順序相反，一般不可疊合，稱為對稱（Symmetrically Equal）。

但若AB=BC，A’C’=C’B’，i.e.等腰球三，則仍可疊合，謂兩球三全等。

9. 球三之種類

(1) 斜球三：三邊均不等者。

(2) 等腰球三（Isosceles）：有兩邊等長。

(3) 直角球三（Right Angled）：有一角為直角 (π/2)。

(4) 象限球三（Quadrantal）：有一邊為象限制(π/2)。

(5) 等邊球三：三邊等長。

(6) 極球三（Polar）：

給一球三ABC，則對應球三A’B’C’如下述：

AB之兩極（指含AB之大圓之兩極）取其與C同側者之極定為C’。

同理：得A’、B’：由A’、B’、C’作頂點，所得之球三謂之。

))性質：依球三極對偶性（Polar Duality），∆ABC與∆A’B’C’互為極球三

(7) 對頂球三（Opposite）

))設∆ABC與∆A'B'C'具有下述關係：AA’、BB’、CC’恰為直徑，則稱此兩者為對頂球三。

性質：對頂球三必對稱（Symmetrically Equal），兩對稱球三面積相等。

二、球面三角面積

1. 月(梭)形（Lune）及其面積：及其面積：月形是兩個大半圓所圍成之球面區域。

註：又此兩大半圓之夾角稱月形角。

公式：設球半徑R，月形角α，則月形之面積=2πR2，其中α為弳度

證明：

2. 球三之面積：球三之面積：

))公式：設半徑為R，∆ABC之角度量為α,β,γ，則∆ABC之面積為為(α+β+γ-π) R2

證明：

註：(α+β+γ-π)稱為球面過剩（Spherical Excess）

球三之三各角度和大於180°（i.e. α+β+γ-π），球三面積

三、極對偶定理

吾人知道大圓之極與此圓上之任何點拒離相等[均為π/2]；反之，若球面上有一點P到某大圓之距離為π/2，則P點必為此大圓之極。（i.e. P為大圓(AB)之極則mPA＝mPB＝π/2）

))性質：互為極對偶之一對球三。（(∆A’B’C’)’＝∆ABC） 性質

))))給∆ABC，設∆A'B'C'為其極球三，則∆ABC為∆A'B'C'之極球三。

證明：

)1. 極球三引理球三引理（引理（Polar ∆ Lemma）

))設∆ABC與∆A’B’C’互為對偶的一對，其三邊三角分別為a,b,c和α,β,γ及a’,b’,c和α’,β’,γ’，則有關係式：

a’＋α＝b’＋β＝c’＋γ＝π

a＋α’＝b＋β’＝c＋γ’＝π

證明：

推論1：疊合定理（，由SSS與極球三引理可証得疊合定理（AAA）極球三引理可証得。証得。

))若∆A1B1C1和∆A2B2C2的三內角對應相等，則它們的三邊亦必對應相等長，所以他們是全等（Congruity）。

證明：證明：

)推論2：球三公式中球三公式中，公式中，邊與角互換，邊與角互換，必用引理，必用引理，因為他其實就是原公式運用到極對偶因為他其實就是原公式運用到極對偶∆上之

形式。