人教九年级(下)数学同步辅导第四章相似图形

九年级(下) 数学同步辅导相似图形

Ⅰ. 梳理知识：

1. 三角形相似的条件 (1) ，两三角形相似. (2) ，两三角形相似. (3) ，两三角形相似.

2. 如何寻找和发现相似三角形

两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

3. 相似三角形与相似多边形的性质

(1)相似三角形的性质

①相似三角形的三边 ，三角 .

②相似三角形的 ， 与 都等于相似比.

③相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比等于 .

(2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应边 ，对应角 .

②相似多边形的对角线之比、周长之比都等于 .

③相似多边形面积之比等于 .

4. 几何变换(按一定的方法把一个图形变成另一个图形)

(1)相似变换：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换

(2)位似变换

①位似图形：如果两个图形不仅是 图形，而且每组对应点所在的直线都 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 .

②位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于位似比.

5. 相似三角形的应用——测量旗杆的高度(利用阳光下的影子；利用标杆；利用镜子的反射.)

II. 同步练习：

一、选择题

1、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）

A.20米 .B.18米 C.16米 D.15米

2、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）

A. ∠B=∠C B.∠ADC=∠AEB C.BE=CD，AB=AC D.AD∶AC=AE∶AB

3、如图所示，D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，并且AD ∶BD=2，那么S ΔADE ∶S 四边形DBCE =（ ） (A)2344 (B) (C) (D) 3459

4. 在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）

(A)ΔADE ∽ΔAEF (B)ΔECF ∽ΔAEF (C)ΔADE ∽ΔECF (D)ΔAEF ∽ΔABF

(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)

5、厨房角柜的台面是三角形(如图所示) ，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分)

，其余

部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是（ ）

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5

6、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）

① ② ③ ④

A. ①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④

7、如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形) 的示意图. 已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ）

2222A.0.36πm B.0.81πm C.2πm D.3.24πm

8、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（ ）

A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2

9、如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）

A.4对 B.1对 C.2对 D.3对

(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图)

10、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）

A. 将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

B. 将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

C. 将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似

D. 将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以1，得到的鱼与原来的鱼位似 2

二、填空题：

211、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和为130cm ，那么较小的多边形的面积是 2 cm.

12、如图，DE 与BC 不平行，当

AB = 时，ΔABC 与ΔADE 相似. AC

(第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)

13、如图，AD=DF=FB，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ= .

14、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM= 时，ΔAED 与N ，M ，C 为顶点的三角形相似.

15、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C与A 不重合) ，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).

三、解答题：

16、如图，ΔABC 中，BC=a .

11AB ，AE 1=AC ，则D 1E 1= ； 33

11(2)若D 1D 2=D 1B ，E 1E 2=E 1C ，则D 2E 2= ；

33(1)若AD 1=

(3)若D 2D 3=

„„ 11D 2B ，E 2E 3=E 2C ，则D 3E 3= ； 33

11D n -1B ，E n -1E n =E n -1C ，则D n E n = . 33(4)若D n -1D n =

17、已知：如图，ΔABC 中，∠B=∠C=30°. 请你设计三种不同的分法，将ΔABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形. 请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).

分法一 分法二 分法三

分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，Rt Δ ∽Rt Δ .

分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，Rt Δ ∽Rt Δ .

分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，Rt Δ ∽Rt Δ .

218、在比例尺为1∶5000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm ，面积是320cm ，求这个地区的实际周长和面积.

19、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm，BE=3cm，求EC 的长.

20、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.

(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.

(2)求∠1+∠2的度数.

21、在ΔABC 中，AB=4

如图(1)所示，DE ∥BC ，DE 把ΔABC 分成面积相等的两部分，即S Ⅰ=SⅡ，求AD 的长. 如图(2)所示，DE ∥FG ∥BC ，DE 、FG 把ΔABC 分成面积相等的三部分，即S Ⅰ=SⅡ=SⅢ，求AD 的长. 如图(3)所示，DE ∥FG ∥HK ∥„∥BC ，DE 、FG 、HK 、„把ΔABC 分成面积相等的n 部分，S Ⅰ=SⅡ=SⅢ=„，请直接写出AD 的长.