复化梯形公式
2013-2014（1）专业课程实践论文
题目：复化梯形公式
队员1：孙 建，0918180229，R 数学09-2
队员2：王 欢，0918180230，R 数学09-2
专业课程实践论文成绩考核表
指导教师签字：
一、算法理论
公式背景：
依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分I =⎰f (x )dx , 只要找到被积
a b
函数f (x )的原函数F (x )，便有下列Newton-Leibniz 公式：
⎰f (x )dx =F (b )-F (a ).
a
b
但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如
s in x
，x
sin x 2等等，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f (x )是由测量或数
值计算给出的一张数据表时，Newton-Leibniz 公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。 公式原理：
复化梯形公式：
每个小区间[X k , X k +1]上梯形公式是
I k =
h
[f (x k )+f (x k +1)] 2
h
[f (x k )+f (x k +1)] k =02
n -1
整个区间上的复化梯形公式是
T n =∑I k =∑
k =0n -1
n -1
h ⎡⎤
即 T n =⎢f (a )+2∑f (x k )+f (b )⎥
2⎣k =1⎦
下面求复化梯形公式的积分余项
R T n =I -T n
⎡h 3' ' ⎤=∑⎢-f (ηk )⎥ k =0⎣12⎦
n -1
h 3n -1' '
=-∑f (ηk ) ，ηk ∈(x k , x k +1)
12k =0
由于 f (x )∈C 2[a , b ], ，且
1n -1' '
min f (x )≤∑f (ηk )≤max f ' ' (x ) a ≤x ≤b a ≤x ≤b n k =0
' '
故存在η∈[a , b ]使
1n -1' '
f (η)=∑f (ηk )
n k =0
' '
所以复化梯形公式的积分余项为
h 3n -1' '
R T n =-∑f (ηk )
12k =0
即 R T n =I -T n
=-
b -a 2' '
h f (η) , η∈[a , b ] 12
Syms x;
C=inline(‘fx ’, ’x ’);
function f=fx(c,n,a,b) h=(b-a)/n;
x=zeros(1,n+1); for i=1:n+1
x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=c(x(i)); end t=0;
for i=1:n
t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); end
%R=(-(b-a)/12*h^ 2*diff(c,2)); %true=int(c,a,b); f=t;
例1．利用复化梯形公式计算⎰e x dx 函数，1为下界，2为上界，区间分为2
2
1等分（n =2, a =1, b =2） 解：运行程序
例2．利用复化梯形公式计算函数y =⎰
2
sin (x )1x
dx ，为上界，区间10等分（n =10, a =1, b =2） 解：运行程序
(x ≠0)，以1为下界，2