高中数学竞赛 第24讲 三角不等式教案
第24讲 三角不等式
含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．
例1 已知α、β为锐角，且x (α
+β-
π
2
) >0
，求证对一切x ≠0，有(cosα) x
α
分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数分情况讨论．
证明 （1）若x >0，则α
0
2
+β>
f (x ) =x
α
f (x ) =x
的单调
的单调性与α的符号有关，可
π
2
，则
π
2
>β>
π
2
-α>0
，由正弦函数的单调性，得
x
π
x
1，即00，故有(cosα) ．
（2）若x
0
+β
π
2
，则
0
π
2
-α
π
2
，由正弦函数的单调性，得
x
π
2
-α)
说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组
π
2±α
的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．
例2 已知0
α
2
α
2
的大小．
分析 两个式子分别含有2α与两式均为正，可考虑作商来比较．
解法一
2sin 2αcot
的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到
α
2
2
=4sin αcos αtan
α
2
=4sin αcos α
1-cos αsin α
=4cos α
-4cos α=-4(cosα-
12
) +1，∵0
2
，所以当cos α
=
=
12
，即α
=
π
3
时，上式
α
2
有最大值1，当0
且α
≠
π
3
时，上式总小于1．因此，当α
cot
π
3
时，2sin 2α=cot ；
且α
≠
π
3
时，2sin 2α
α
2=t
α
2
．
α
2
解法二 设tan ，由0
得0
π
2
，故tan
α
2
=t >0
，则cot
α
2
=
1t
，
2
2sin 2α=4sin αcos α=
4(1-t ) ⋅2t (1+t )
22
2
，于是有
=
9t -6t +1t (1+t )
2
2
4
2
cot
α
2
-2sin 2α=
=
1t
-
4(1-t ) ⋅2t (1+t )
2
2
=
(3t -1) t (1+t )
2
222
≥0
cot
因此，当
α
π
时，2sin 2α=cot
α
2
；当0
且α
≠
π
时，2sin 2α
α
2
．
例3 已知x ∈[0,π]，求证：cos(sinx )>sin(cosx )
分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sinx ) 小，同时比sin(cosx ) 大，即可证明原不等式．
证法一 （1）当x
π
2
=0,
π
2
, π
时，显然cos(sinx )>sin(cosx ) 成立．
π
2
（2）当
时，0
π
2
π
2
x
，则cos(sinx )>0>sin(cosx )
．
π
2
（3）当
0
π
2
时，有0
x
，而函数y =cosx 在(0,
)
上为减函数，从而有
cos(sinx )>cosx ；而0
π
2
，则sin(cosx )cosx >sin(cosx ) ，
从而cos(sinx )>sin(cosx ) ．
分析二 cos(sinx ) 可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cosx ) 可看作一个角cos x 的正
弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．
证法二 当0
π
2
x
π
2
时，有0
π
2)
x +
π
4
) ≤
π
2
，
-cos x
π
2
π
2
，而函数y =cosx 在(0,上为减函数，所以
cos(sinx )>cos(证法1．
-cos x )=sin(cosx ) ，即cos(sinx )>sin(cosx ) ．x 在其他区域时，证明同
说明 （1）本题的证明运用到结论：x ∈(0,
π
2
) 时，sin x
函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cosx
π
2
，再利用单调性证明，这是比较大
小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x ∈R .
情景再现
1．在锐角△ABC 中，求证： sin 2．已知x , y ∈(0,
π
2
A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C
.
π
2
)
，tan x
=3tan y
，求证：x -
y ≤
π
6
.
3．当x ∈[0,]时，求证：cos cos x >sin sin x .
例4 在∆ABC 中，证明：
sin
A +sin B +sin C ≤
分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C, 故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．
证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π
sin A +sin B +sin C =2sin
A +B 2
cos
A -B 2
-
C 也是常量.
c 2cos
A -B 2
+sin C
+sin C =2cos
，
显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．
同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此, 只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式
sin A +sin B +sin C
就没有达到最大值，因而，当A =B =C =
π
3
时，sin
A +sin B +
sin C
有最大值
，∴原不等式得证．
说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相
应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．
分析二
即证
sin A +sin B +sin C
3
≤
2
，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行
证明．
证法二 函数y =sin x 是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量
x 1, x 2, x 3∈(0,π) ，总有sin(
x 1+x 2+x 3
3
) ≥
sin x 1+sin x 2+sin x 3
3
，等号当x 1=x 2=x 3时成立．因此
≤sin
180︒3
=
2
有sin(
A +B +C
3
) ≥
sin A +sin B +sin C
3
，从而有
sin A +sin B +sin C
3
式成立．
说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．
例5 已知x , y , z ∈R , 0
x
π
2
．
（90年国家
求证：
π
2
+2sin x cos y +2sin y cos z >sin 2x +sin 2y +sin 2z
集训队测试题）
分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．
证明 即证即证明
π
4
中的三角函数
π
4
+sin x cos y +sin y cos z >sin x cos x +sin y cos y +sin z cos z
>sin x (cosx -cos y ) +sin y (cosy -cos z ) +sin z cos z
π
4
注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．
例6
为此单位圆在第
a +3) cos(θ-
π
4
) +
6sin θ+cos θ
-2sin 2θ
π
2
]恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）
分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos(θ
sin 2θ=2sin θcos θ
-
π
4
) =
2
θ+cos θ) ，
，因此考虑令sin θ
+cos θ=x
进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求
π
2
解题思路．
解 设sin θ
x ∈⎡⎣+cos θ=x
，则cos(θ
-
π
4
) =
2
, sin 2θ=x -1
2
，当θ
∈[0,]
时，
．从而原不等式可化为：
(2a +3) x +
2x
6x
-2(x -1)
2x
2
，即2x 2
-2ax -3x -
6x
+3a +4>0
，
2x (x +-a ) -3(x +-a ) >
，(2x -3) x +
⎝
⎛2
⎫-a ⎪>0x ⎭
(x ∈⎡⎣)
(1)
∴原不等式等价于不等式（1），
（1
）不等式恒成立等价于x +从而只
要
∴(x +
2x
) a =
a >(+x
2x
)
2x
x
x ∈⎡, ∴2x -3
-a
)恒成立．
在⎡上递减
，
⎣m a
2
1, ．2又) f (x ) =x +
x
m x
x 3∈⎡(
⎣
1，所以, 2a >) 3． 例7 三个数a , b , c ∈
(0,
π
2
) ，且满足cos a =a ，sin cos b =b ，cos sin c
=c
，按从小到大的
顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）
分析 比较a , b , c 三数的大小，a =cos a ，b
=sin cos b
，c
=cos sin c >cos c
，等式
b
的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由
a =cos a b =si ncos
，
对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．
解 （1）若a
=b ，则cos a =sin cos a
，但由cos a
∈(0,
π
2
)
，故有cos a
>sin cos a
矛盾，即
a ≠b ．
，则由单调性可知cos a >cos b ，又由a b ．
类似地，若c =a ，则由题意可得cos a =cos sin a ，从而可得a =sin a 与a >sin a 矛盾；若
（2）若a
c
，则sin c a
，∴cos sin c
>cos a
，即c >a 矛盾．
说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．
情景再现
4．在三角形ABC 中， 求证：（1）sin
5．设x ≥数学联赛）
6．
求证：|sin x +cos x +tan x +cot x +sec x +csc x |≥1（2004年福建省数学竞赛题）
A 2+sin
B 2+sin
C 2≤32
；（2
）sin
π
2
A sin B sin C ≤．
y ≥z ≥
π
12
，且x +
y +z =
，求乘积cos x sin y cos z 的最值．（1997年全国高中
例8 已知当x ∈[0,1]时，不等式x 2cos θ
-x (1-x ) +(1-x ) sin θ>0
2
恒成立，试求θ的取值
范围．（1999年全国高中数学联赛题）
分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．
解法一 设
f (x ) =x cos θ-x (1-x ) +(1-x ) sin θ
22
， 则由x ∈[0,1]时f (x ) >0恒成立，有
f (0)=sin θ>0，f (1)=cos θ>
2
，
2
∴f (x ) =(+[(1-x -2x (1-x 2x (1-x -
x (1-x )
2
=[(1-x -2x (1-x )(
12
->
0，当x
=
时，
(1-x
0，令x 0=f (x 0) =2x 0(1-x 012
，则0
1，
12
) >
0512
>
，即sin 2θ
π
12
>
12
，且sin θ
512
>0, cos θ>0
，
所求范围是：2k π
sin 2θ>
12
+
π
12
π, k ∈Z ，反之，当2k π+
π, k ∈Z 时，有
，且sin θ
>0, cos θ>0
，于是只要x ∈[0,1]必有f (x ) >0恒成立．
分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．
解法二 由条件知，cos θ
2
2
>0, sin θ>0
，若对一切x ∈[0,1]时，恒有
f x () o c s (=1n i s θ) ++1(n 2i s ) θx n i s -+0
2
f (x ) =x cos θ-x (1-x ) +(1-x ) sin θ>0
，即
θ+x >θ
对
x ∈[0,1]时恒成立，则必有cos θ=f (1)>0, sin θ=f (0)>0，另一方面对称轴为
2
x =
1+2sin θ2(cosθ+sin θ+1)
∈[0,1]，故必有
4(cosθ+sin θ+1) sin θ-(1+2sin θ)
4(cosθ+sin θ+1)
>0
，即
5π12
, k ∈Z
4cos θsin θ-1>0，sin 2θ>
12
，又由于cos θ
>0, sin θ>0
故2k π
+
π
12
．
分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x ) ．
解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x ) 2sin θ>x (1-x ) ，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：不等式得
x 1-x
x 1-x
cos θ+
1-x x
sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本
x
cos θ+
1-x x x 1-x
sin θ
≥，∴cos θ=
12
1-x x
1-x
cos θ+
1-x x
sin θ
的最小值为
sin θ
即x
=
时取到，因此
π
12
5π12
, k ∈Z
．∴sin 2θ
>
，又由于cos θ
>0, sin θ>0
故2k π
+
．
例9已知a , b , A , B 都是实数，若对于一切实数x ，都有
f (x ) =1-a cos x -b sin x -A cos 2x -B sin 2x ≥0，求证：a +b ≤2
2
2
，A 2
+B ≤1
2
．（1977第十
九届IMO ）
分析
根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成
f (x ) =1-
x +θ) -
x +ϕ) ≥0
，其中x 为任意实数，注意到所要证的结
论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．
证明 若a 2
+b =0
2
，A 2
+B =0
2
，则结论显然成立；
故下设a 2令sin θ
=
+b ≠0
2
，A 2
+B ≠0
2
：
cos θ=sin ϕ=
cos ϕ=
得，，都有
f (x ) =1-x +θ) -
x +ϕ) ，即对于一切实数x
f (x ) =1-x +θ) -
x +ϕ) ≥0
（1）
f (x +
π
2
) =1-x +θ) +
x +ϕ) ≥0 （2）
（1）+（2
）得：2-
x +θ) +cos(x +θ)]≥
，即sin(x +θ) +cos(x +θ) ≤．
对
于一切实数x
≥a 2
+b ≤2
2
f (x +π) =1+x +θ) -
x +ϕ) ≥0
（3）
（1）+（3）
得：2-∴ A 2+B 2≤1．
例10 设α
2
2
x +ϕ) ≥0
，
即sin(2x +ϕ) ≤≥1
，
+β+γ=π
2
，求证：对任意满足
x +y +z 0=
的实数
x , y , z
有
yz sin α+zx sin β+xy sin γ≤0
分析 由x +
y +z =0
消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，
即可得证．
证明 由题意，则将z =-(x +y ) 代入不等式左边得， 不等式左边=-[y 2sin 2α（1）当sin α（2）当sin α左边=
2
+x sin β+xy (sinα+sin β-sin γ)]
2
2
2
2
2
=0≠0
，易证不等式左边≤
2
2
2
成立．；
，整理成y 的二次方程，证△≤0．
x (sinα+sin β-sin γ)
2sin α
2
2
2
2
-[y sin α+
2
2
]
2
，
+
x [(sinα+sin β-sin γ) -4sin αsin β]
4sin α
+sin β-sin γ) -4sin αsin β
2
2
2
2
2
2
2
2
由(sin2α
2
2
2
2
=(sinα+sin β-sin γ+2sin αsin β)(sinα+sin β-sin γ-2sin αsin β)
=2sin αsin β[1-cos(α+β)]⋅2sin αsin β[-1-cos(α+β)] =-4sin αsin β[1-cos (α+β)]≤0
2
2
2
2
2
2
2
2
，
2
2
∴
x [(sinα+sin β-sin γ) -4sin αsin β]
4sin α
2
≤0
，∴不等式左边≤
成立．
情景再现
7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角
形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）
8．设α, β, γ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin α+sin β+sin γ+tan α+tan β+tan γ>2π
习题
1．求证：对所有实数x , y ，均有cos x 2
+cos y -cos xy
2
2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan A tan B tan C >1 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin A +sin B +sin C >2 4
．求证：2sin 2(5．已知α, β
π
4-
2
≤cos(sinx ) -sin(cosx ) ≤2sin (
2
π
4
+
2
∈(0,
π
2
) ，能否以sin α, sin β, sin(α+β) 的值为边长，构成一个三角形？
1cos α
2
6．已知α, β为锐角，求证：
+
1
sin αsin βcos β
2
2
2
2
≥9
7．已知A +B +C =π，求证：tan 2
A 2
+tan
B 2
+tan
2
C 2
≥1
8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：
n
aA +bB +cC a +b +c
n
n
≥
π
3
n
．
+1
9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：tan A +tan B +tan C ≥32．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）
10．已知0
π
2
，a , b
>0
，求证：
a sin θ
+
b cos θ
223
≥(a 3+b 3) 2
11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．
12．解方程cos cos cos cos x =sin sin sin sin x （1995年全俄竞赛题）
本节“情景再现”解答： 1．证明：锐角三角形可知A+B
s i n B >c o C s
, s i C n >
π
2
，从而A
π
2
-B ，从而s i n A >
c o B s
，同理
c A o s ，三式相加得证．
=3tan y >tan y
2．证明：由已知得tan x
π
6
及x , y ∈(0,
π
2
)
知，x >
y
，从而x -
y ∈(0,
π
2
)
，要
证x -
y ≤
，只须证明tan(x -
y ) ≤tan
π
6
=
3
tan(x -
y ) =
tan x -tan y 1+tan x tan y
=
2tan y 1+3tan y
2
，于
是问题归结为证
2tan y 1+3tan y
2
≤
3
即1) y -0
2
≥
，而上式显然成立，因此原不等式成立．
3．证法一：当x ∈(0,的大小，由sin x =cos(从而cos(
π
2
π
2
) 时，∵0
π
2
π
2
, ∴sinsin x
π
2
π
2
-x ) ，即比较(-x ) 与cos x ，而cos x =sin(-x ), 因此(
π
2
-x ) ＞cos x ，
-x )
证法二： sinx +cos
x ≤所以cos(cosx )>cos(
π
2
π
2
，即0
π
2
-sin x
π
2
，
-sin x )=sin(sinx ) ．
4．证明：（1）由琴生不等式即得． （2
sin A +sin B +sin C
3
≤sin
A +B +C
3
=
2
，从而得证．
-2⨯
12
5．解：由条件知，是cos x sin y cos z =
x =
π
3
≥x ≥y ≥z ≥
π
12
，x
=
π
2
-(y +z ) ≤
π
2
π
12
=
π
3
，sin(y -z ) ≥0，于
12cos
2
12
cos x [sin(y +z ) +sin(y -z )]≥
18
12
cos x sin(y +z ) =cos x ≥
2
π
3
=
18
，当
π
3
, y =z =
π
12
时取等号，故最小值为（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．
12
cos z [sin(x +y ) -sin(x -y )]≤
12
cos z sin(x +y ) =
12cos z
2
又cos x sin y cos z =
≤12cos
2
8π
12
=
8
2
且当z
=
π
12
, x =y =
5π24
时等号成立，故cos x sin y cos z
．
6．证明：设f (x ) =|sin x +cos x +tan x +cot x +sec x +csc x |，t =sin x +cos x ，则有
s i n x c o x s =
t -12
，f (x ) =|t +
2t -1
2t -1
2
+
2t t -1
2
|=|t +
2t -1
|=|t -1+
2t -1
+1|
当t >
1时，f (x ) =t -1++1≥1； ) -1≥1
当t
1时，f (x ) =-(t -1+
2t -1
因此|sin x +cos x +tan x +cot x +sec x +csc x |≥-1．
7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立． 同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），
12
⨯[(1)+(2)+(3)]即得所要证的不等式．
2tan
α
2
2
2tan +1-tan
α
2
2
4tan =1-tan
α
2
4
8．证明：sin α
+tan α=
1+tan
α
2
α
2
α
2
>4tan
α
2
，
0
π
2
, ∴tan
α
2
>
α
2
, ∴sin α+tan α>4tan
α
2
>2α
，同理得另两个，命题得证．
“习题”解答： 1．证明：cos x 2
号成立，则cos x 2
2
2
2
+cos y -cos xy ≤3显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等
2
=1, cos y =1, cos xy =-1，则x =2k π, y =2n π, k , n ∈N *，则
2
2
2
x y =4nk π, k , n ∈
N *，则xy =, k , n ∈
N *，cos xy ≠-1，因
此等号不成立．
2．证明：锐角三角形可知A+B
π
2
，从而A
π
2
-B ，从而sin A >cos B ，同理
．从而可得
sin B >cos C , sin C >cos A ，三式相乘得sin A sin B sin C >cos A cos B cos C
tan A tan B tan C >1．
3．解：sin A >sin 2A , sin B >sin 2B ，sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B
>cos B cos B +cos A cos A =cos B +cos A
2
2
，三式相加得证．
π
2
-cos x )
4．证明：cos(sinx ) -sin(cosx ) =
=2sin(
2
cos(sinx ) -cos(
π
4≤
-
cos x +sin x
2
) sin(
2
π
4
-
cos x -sin x
2
)
cos x ±sin x
2
≤
又cos x ±sin x
2
≤
，
π
4
-
2
≤
π
4
-
π
4
+
2
，
又
π
4
-
2
>
π
4
+
2
π
2
，
由正弦函数在[0,
π
2
]上的单调性可知，原不等式成立．
5．证法一：sin α
|sin α-sin β|=2cos
+sin β=2sin
α+β
2
cos
α-β
2sin
>2sin
α+β
2
cos
α+β
2
=sin(α+β)
α+β
2
|sin
α-β
2
|
α+β
2
α+β
2
=sin(α+β)
=β
，因此可以构成三角形．
证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使∠A =α, ∠B
BC =sin α, AC =sin β, AB =sin(α+β)
，∴∠C =π-(α+β) 则
，因此可构成三角形．
6．解： 左=
1cos α
2
+
4
sin αsin 2β
2
2
≥
1cos α
2
+
4sin α
2
=5+tan α+4cot α≥9
22
．
7．证：左≥
=tan
A 2A 2tan
B 2B 2+tan
tan C 2
A 2
tan B 2tan
B 2
+tan
A 2
B 2)
tan
C 2
+tan
C 2
tan
A 2
(tan+tan
A 2tan
B 2) =1
≥tan tan +cot
A +B 2
A +B 2
(1-tan
8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC ) ≥(a +b +c ) π, 即证3(aA +bB +cC ) ≥(a +b +c ) （A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A ) ≥0，由大边对大角得上式成立．
9．证明：设x
32
n
n
n
=tan A , y =tan B , z =tan C
，则x , y , z
n +1
>0
，x +
y +z =xyz
，
而x +y +z ≥，
代入得xyz ≥
3，故x +y +z ≥≥32．
10．证明：要证原不等式，即证(
a
22
a sin θ
+
b cos θ
2
2
3
23
3
) ≥(a +
b )
，即
sin θ
+
b
22
cos θ
+
2ab sin θcos θ
≥a +b +22
上式中将θ看作变量，a , b 看作常数，考虑从左边向右边转化
即证a
2
cot θ+
b tan θ+2ab
222
sin θ+cos θsin θcos θ
22
≥即a 2cot 2θ因
2
+b tan θ+
2ab tan θ+2ab cot θ≥2
2
2
2
22为
2
a c o θ+t
a
b 2θ=t a a n θ+a c θb +o 4
，θa ≥b t 同a
2
理n a 可b t 得a
n 3
b tan θ+2ab cot θ
≥
11．证明：如图，PA sin θ1=PB sinθ5，PB sin θ2=PC sinθ6，PC sin θ3=PA sinθ4， 三式相乘得sin θ1sin θ2 sinθ3= sinθ4 sinθ5 sinθ6，因此有(sinθ1sin θ2 sinθ3) 2=
sin θ1sin θ2 sinθ3 sinθ4 sinθ5 sinθ6
⎛sin θ1+sin θ2+sin θ3+sin θ4+sin θ5+sin θ6⎫≤ ⎪
6⎝⎭
6
θ+θ2+θ3+θ4+θ5+θ6⎫16⎛
≤ sin 1=() ⎪
62⎝⎭
1
6
C
，从而
sin θ1sin θ
2
1
12
sin θ3≤() 3，因此sin θ1、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于，不妨设sin θ1
2
2
≤
，
则θ1≤30°或θ1≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．
12．解：考虑周期性，只要先解决x ∈[0,2π) 的解的情况，而当x ∈[π, 2π) 时，左边为正，右边非正，因此方程无解． 由于
x ∈[0π
2
]时有c o s c o x s >s i n s x i ，n 将x 换成
c o s c o x s
得（换成sinsin x 也可以）：
π
2]
cos cos cos cos x >sin sin cos cos x sin sin cos cos x >sin sin sin sin x
，又由于y =s i n s i x n 在
x ∈[0,
时为增函数，因此有
，因此原方程无解．
，综上可得：cos cos cos cos x
π
2) ，
>sin sin sin sin x
当x ∈(
π
2
, π)
时，令y
=x -
π
2
，则y ∈(0,
π
2
在cos cos x
>sin sin x
，x ∈[0,]中，将x 换成cos sin y 得，
π
2
cos cos(cossin y ) >sin sin(cossin y ) >sin sin(sincos y ) ，将y =x -cos cos cos cos x >sin sin sin sin x
代入得，
，原方程也无解．
>sin sin sin sin x
综上所述，对x ∈R ，恒有cos cos cos cos x ，原方程无解．
用心 爱心 专心 11