高等几何作业

一、 填空题

1、斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标是(1, k , 0)

2、绝对几何学的公理体系是由四组，条公理构成的。

3、两个射影点列成透视对应的充要条件是 。

4、几何学公理法从开始到形成，大体经历了 3 阶段。

5、笛沙格定理叙述为 两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一

直线上.

。

6、平面内两点I (1, i , 0), J (1, -i , 0) 称为平面内的 圆点

。

7、《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 欧几里得 .

8、两共轭虚直线的交点为 实点 ，两共轭虚点的连线为 实直

线 。

9、过一点作一直线”和“在直线上取一点”

叫做对偶运算。

10、对偶原理叙述为 在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立

11、二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 .

12、《 几何原本 》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里

得。

二、计算题

1．求直线(2, i , 3-4i ) 上的实点。

实点为(3, -8, -2)

2．求4点（AB ，CD ）的交比，其中A (2, 1, -1),

交比=-B (1, -1, 1), C (1, 0, 0), D (1, 5, -5) 。 2 3

223x -x +6x =0X +X 232-2X 1X 2+2X 1X 3-6X 2X 3=0 3、求直线1关于二阶曲线1

的极点。

实直线为x 3=0

4、求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点

2u 1+3u 2+u 3=0 的直线的坐标。

(1, -2, 4)

22(6, 4) 2x +6y +6x -2y =0的极线方程。 5、求点关于二阶曲线

15X 1+11X 2+14X 3=0

6、求直线x 1+x 2-4x 3=0上无穷远点的齐次坐标。

(1, -1, 0)

7．设直线L 1:2x -y +1=0, L 2:3x +y -2=0, L 3:7x -y =0, L 4:5x -1=0，

求交比(L 1L 2, L 3L 4) 。

1 2

8．求重叠一维基本形的射影变换λλ'-6λ+λ'+6=0自对应元素的参数。

2，3

三、证明题

1、给定直线p 上四个不同点A , B , C , D ，建立一个射影对应使得

p (A , B , C , D ) p (C , D , A , B )

取不在p 上的点P ，通过B 的不同于p 的直线q 与PA , PC , PD 分别交于A ', C ', D '。 记PD 为r ，A 'C 与r 交于D ''，则有

P C A '

p (A , B , C , D ) ∧q (A ', B ', C ', D ') ∧r (D '', D , P , D ') ∧p (C , D , A , B )

所以 p (A , B , C , D ) p (C , D , A , B ) .

2、设四点P 1(3, 1), P 2(7, 5), Q 1(6, 4), Q 2(9, 7) ，求证：(P 1P 2, Q 1Q 2) =-1。

3、已知共面三点形ABC 与A 'B 'C '是透视的，求证六直线A B ', A C ', B C ', B A ', C A ', C B '属于同一个二级曲线。

考虑以A , B ', C , A ', B , C '为顶的简单六线形。三对对顶连线是B B ', C C ', A A '，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。

24、求直线3x 1-x 2+6x 3=0关于二阶曲线X 1+X 2-2X 1X 2+2X 1X 3-6X 2X 3=0 2

的极点。

(-3, 1, 1)

5、8．在欧氏平面内，设∆ABC 的高为AD 、BE 、CF ，又BC 与EF 交于X ，CA 与FD 交于Y ，AB 与DE 交于Z 。证明：三点X 、Y 、Z 共线。

考虑三点形ABC 与DEF ，由笛沙格定理即得结论.

6、给定直线p 上四个不同点A , B , C , D ，建立一个射影对应使得

p (A , B , C , D ) p (B , A , D , C )

取不在p 上的点P ，通过B 的不同于p 的直线q 与PA , PC , PD 分别交于A ', C ', D '。 记PD 为r ，A 'C 与r 交于D ''，则有

P C A '

p (A , B , C , D ) ∧q (A ', B ', C ', D ') ∧r (D '', D , P , D ') ∧p (C , D , A , B )

所以 p (A , B , C , D ) p (C , D , A , B )

7、求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点2u 1+3u 2+u 3=0 的直线的坐标。 (1, -2, 4)

8、设三点形ABC 与A ' B ' C ' 是透视的，BC ' 与B ' C ，CA ' 与C ' A ，AB ' 与A ' B 分别交于L , M , N 。证明BC , B ' C ' , MN 三线共点。

考虑三点形B ' C ' A , BCA ' ，令BC 与B ' C ' 的交点为T ，根据笛沙格定理可以证明 C ' A 与CA ' 的交点M ，BA ' 与B ' A 的交点N ，点T 三点共线，因此BC , B ' C ' , MN 三直线共点T .

四、综合题

1、作已知点P 关于二阶曲线C 的极线。

过P 作C 的二割线、P CD. 连AC ，BD 交于E ，连AD ，BC 交于F ，则EF 为P 点关于曲线C 的极线。

2、作已知直线p 关于二阶曲线c 的极点。

p

根据配极原则，在p 上任取两点A ，B ，作A ，B 关于曲线c 的极线a ，b ，则a 与b 的交点为所求。

3、作图证明：给定直线p 上四个不同点A , B , C , D ，建立一个射影对应使得

. 如图，取不在p 上的点P ，通过B 的不同于p 的直线q 与PA , PC , PD 分别交于A ', C ', D '。

记PD 为r ，A 'C 与r 交于D ''，则有

P C A '

p (A , B , C , D ) ∧q (A ', B ', C ', D ') ∧r (D '', D , P , D ') ∧p (C , D , A , B )

所以 p (A , B , C , D ) p (C , D , A , B ) .

P ’’ A A ’ C D r D ” p (A , B , C , D ) p (C , D , A ,

B )

4、已知P 点在二阶曲线上，求作点P 的极线。

过P 任一直线PQ ，作出直线PQ 的极点R ，则PR 就是所求的点P 的极线

5、已知P 点在二阶曲线上，求作点P 的极线。

过P 任一直线PQ ，作出直线PQ 的极点R ，则PR 就是所求的点P 的极线

6、给定二阶曲线上5点，求作曲线上另外一些点。

将5点编号为1，2，3，4，5，设12交34于L ，过L 作直线p ，p 交23于M ，p 交34于N ，5M 交1N 于6. 则6为二阶曲线上的点，变动直线p ，可以得到其它点。