盐水的混合问题
数学实验教材的58页
假设与建模：
问题描述：
一个圆柱形的容器，内装350L 的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以14L/s的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以10.5L/s的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7kg 。求经过时间ts 后容器内盐的含量。
问题分析：
考虑到盐在不同浓度的水内的扩散情况，由于容器体积为350L 而纯水进入和混合盐水流出的速度都不足15L/s所以可以忽略盐在不同浓度的水内的扩散至均匀的时间。
计算每个微小时间变化后的盐的含量与变化前盐的含量之间的关系，建立方程，然后利用MATLAB 进行求解。
假设与建模：
不考虑盐水混合纯水时盐在不同浓度的水内的扩散速度，所以假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的。
用y （t ）表示容器内t 时刻的盐的含量，用T （t ）表示容器内t 时刻的水的总量，用Y 表示盐水流出的速度，用C 代表纯水流入的速度，时间变化∆t 后容器内盐的含量为y （t+∆t ）。考虑在∆t 内流出的盐水的为Y ∆t 则其流出的盐为
y (t )
T (t ) Y ∆t 则可以建立模型为：
y (t +∆t ) =y (t ) -y (t )
T (t ) Y ∆t ，
y (t ) +dy =y (t ) -
dy
化简：y (t ) Y d t T (t 0) +(C -Y ) t y (t ) Y ， dt =-T (t o ) +(C -Y ) t
Y 。 使用MATLAB 工具求解该微分方程： ：y (t ) =7
Y (T (t 0) +(C -Y ) ⨯t ) Y -C
T (t 0) Y -C
根据问题的描述可以得到T （t 0）=350，Y=10.5，C=14，代入数值可以得
到：y (t ) =300125000
(350+3. 5t ) 3
模型检验：
将t=0代入y （t ）可以得到y=7，与初始状态的含盐量为7相符。显然可以得到y （t ）在区间[0，∞) 上函数是连续的。使用MATLAB 求函数的导数可以看出，y （t ）在区间[0，∞) 上导数恒小于0，所以y （t ）在[0，∞) 为减函数。使用MATLAB 求函数右极限，可以得出t 越大时y 是接近于0的，但是不等于0，与真实情况相符。
模型评估：
该模型在水流速度较小的情况下能较为真实的反应容器内的含盐量，但是水流速度如果较大的时，达到盐在不同浓度的水中的扩散至均匀的时间不能忽略的时候将不能很好的反应容器内的含盐量。