平方和数列求和
平方和数列求和
S=12 + 22 + 32 + 42 + ∙∙∙∙∙ + n2 =?
利用立方差公式:
n 3-(n-1)3 = 1∙[n2+(n-1)2+n(n-1)]
=2n2+(n-1)2-n
则n=2时,23 - 13 =2∙22 + 12 - 2
n=3时,33 - 23 =2∙32 + 22 - 3
n=4时,43 - 33 =2∙42 + 32 - 4
∙∙∙∙∙
n 3-(n-1)3=2∙n 2+(n-1)2-n
将上式累加,
n 3-13=2∙ (22+32+...+n2)+[12+22+...+(n-1)2]-(2+3+4+...+n)
=3∙ (12+22+32+...+n2)-2-n 2-(1+2+3+...+n)+1
∴3S =n3+n2
+n(n+1) = n(2n+1) (n+1)
∴S= n(2n+1) (n+1)
由n 2=n(n+1)-n,
S=(1x2-1)+(2x3-2)+....+[n(n+1)-n]
=[1x2+2x3+...+n(n+1)]-(1+2+...+n)
设S’=1x2+2x3+...+n(n+1),则S=S’-n (n+1)
∵
n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
∴S’= [1x2x3-0+2x3x4-1x2x3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2)
∴S=
n(n+1)(n+2)-n (n+1)
=n(n+1)(
n+)
=n(2n+1) (n+1)
图像法
○1
○2○2
○3 ○3 ○3
○4 ○4 ○4 ○4
... ... ...
n ○n ○n ○n ○n ○n ○n ○n ○n ○
S=圆圈内所有数字和
将这个正三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形 再将第二个正三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,所有圈内的数字都变成了2n+1
∴S=(2n+1)(1+2+3+...+n) =n(2n+1) (n+1)
待定系数法
求和之后的表达式会升一次幂,所以求和的函数最高是三次项。 设f (n)=an3+bn2+cn+d(n是正整数)
n=1, f(1)=1
n=2. f(2) =12 + 22 =5
n=3. f(3) =12 + 22 + 32=14
n=4. f(4) =12 + 22 + 32 + 42 =30
∴ a+b+c+d=1
8a+4b+2c+d=5
27a+9b+3c+d=14
64a+16a+4c+d=30
解得 a=
b=
c=
d=0
∴f (n)= n 3+n 2+n
延伸:13+ 23+ 33+ 43 + ∙∙∙∙∙ + n3=n 2(n+1)2
14+ 24+ 34+ 44 + ∙∙∙∙∙ + n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)