对数函数与指数函数
对数函数与指数函数综合练习
1. 若函数y=(2a ﹣1)x 在R 上为单调减函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .a >1
B
.
C .a ≤1
D
.
2. 函数f (x )=(a 2﹣3a+3)a x 是指数函数,则a 的值为( ) A .1 B .3 C .2 D .1或3
3. 函数y=ax 2(a >0,a ≠1)的图象必经过点( )
﹣
A .(0,1) B .(1,1) C .(2,0) D .(2,1) 4. 知a =4, b =8, c =30.75 ,则这三个数的大小关系为( ) A .b <a <c
B .c <a <b
C .a <b <c
D .c <b <a
,则实数a 的值为( )
0.3
14
5. 已知指数函数y=ax 在[0,1]
上的最大值与最小值的差为A
.
B
.
C
.
或
D .4
6. 函数f (x )=
(
)的值域为( )
A .(0,+∞) B .[2,+∞) C .(﹣∞,2] D .(0,2]
7. 要使函数y=2x +m的图象不经过第二象限,则m 的取值范围是( ) A .m ≤﹣1
B .m ≥﹣1
C .m ≤﹣2
D .m ≥﹣2
是奇函数
8. 下列的判断错误的是( ) A .2>2 B .log 23>1
0.6
0.3
C .log a xlog a y=loga xy D
.函数
9. 已知函数f (x )=ax (a >0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a 2),则函数y=f(x )的图象大致是( )
A
.B
.C
.
D
.
10. 函数的图象一定经过( )
A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限 D .第二、三、四象限 11. 函数f (x )=2|x1|的图象是( )
﹣
A
.B
. C
.D
.
12. 函数y=ax 与y=﹣log a x (a >0,且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能是( )
A
.B
.
C
.D
.
13. 设a=lge,b=(lge )2,c=lgA .a >b >c
B .c >a >b
,则( ) C .a >c >b
D .c >b >a
14. 已知y=loga (2﹣ax )是[0,1]上的减函数,则a 的取值范围为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .(2,+∞) 15. 已知集合A={x|0<log 4x <1},B={x|x≤2},则A∩B=( ) A .(0,1) B .(0,2]
C .(1,2) D .(1,2]
16. 已知log a (3a ﹣1)恒为正数,那么实数的取值范围是( ) A .a
<
B
.<a
≤ C .a >1
D
.<a
<或a >1
17. 函数f (x )=loga (x+2)(a >0,a ≠1)的图象必过定点( ) A .(﹣1,1) B .(1,2) C .(﹣1,0) D .(1,1) 18. 函数f (x )=log3x 的定义域为( ) A .(0,3}
B .(0,1) C .(0,+∞) D .(0,3)
﹣
19. 当a >1时,在同一坐标系中,函数y=ax 与y=loga x 的图象为( )
A
.B
.
C
. D
.20. 函数f (x )=ln(x 2+1)的图象大致是( )
A
.B
. D
.21. 已知f (x )=log2x ,则f (8)=( ) A
.
B.8 C .3 D .﹣3
C
.
22.不等式2x 2<1的解集是 .
﹣
23. 已知f (x )
=a(a >0且a ≠1),若f (lga )
=,则a=.
24. 已知函数f (x=x2+2x g (x ) =() +m ,若任意x 1∈,存在x 2∈,使得f (x 1)≥g
12
x
(x 2),则实数m 的取值范围是 25. 函数
y=log26. 函数
.
(x 2﹣4x ﹣5)的递减区间为 . 的定义域为___________.
27. 已知函数f (x )=loga (1+x),g (x )=loga (1﹣x )其中(a >0且a ≠1),设h (x )=f(x )﹣g (x ).
(1)求函数h (x )的定义域,判断h (x )的奇偶性,并说明理由; (2)若f (3)=2,求使h (x )<0成立的x 的集合. 28. 设y 1=loga (3x+1),y 2=loga (﹣3x ),其中a >0且a ≠1. (Ⅰ)若y 1=y2,求x 的值; (Ⅱ)若y 1>y 2,求x 的取值范围.
29. 已知函数f (x )=loga (1﹣2x )﹣log a (1+2x)(a >0,a ≠1). (1)求f (x )的定义域;
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)求使f (x )>0的x 的取值范围.
试卷答案
1. B
【考点】指数型复合函数的性质及应用.
【分析】指数函数y=ax ,当0<a <1时为定义域上的减函数,故依题意只需0<2a ﹣1<1,即可解得a 的范围
【解答】解:函数y=(2a ﹣1)在R 上为单调减函数, ∴0<2a ﹣1<1
解得故选 B 2. C
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】根据指数函数的定义得到关于a 的不等式组,解出即可.
【解答】解:由题意得:解得:a=2, 故选:C . 3. D
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【分析】根据指数函数y=a过定点(0,1)的性质,即可推导函数y=a象过定点(2,1).
【解答】解:∵指数函数y=a过定点(0,1), ∴将y=a向右平移2个单位,得到y=a
x
x ﹣2
x x
x ﹣2
x
<a <1
,
(0<a ≠1)的图
,
则函数y=ax ﹣2(0<a ≠1)的图象过定点(2,1). 故选:D 4. C
【考点】指数函数的图象与性质.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质,对a 、b 、c 的大小进行比较即可.
【解答】解:a=4=2,b=8且2<2
0.6
0.75
0.30.6
==2
0.75
,
,
∴a <b ; 又c=3且2
0.75
,
0.75
0.75
<3,
∴b <c ;
∴a 、b 、c 的大小关系为:a <b <c . 故选:C .
【点评】本题考查了幂的运算法则与指数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 5. C
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】分类由指数函数的单调性求得最值,作差求解a 值得答案.
【解答】解:当0<a <1时,y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值分别为1,a ,则1﹣
a=
,得
a=
x
;
,得
a=
.
当a >1时,y=a在[0,1]上的最大值与最小值分别为a ,1,则a ﹣
1=∴实数a
的值为
故选:C . 6. D
【考点】函数的值域.
【分析】由题意:函数f (x )=
(
函数f (x )
=
)
或
.
是复合函数,令x 2﹣2x=t可得出
是减函数,由单调性即可求值域.
)
是复合函数,
【解答】解:由题意:函数f (x )=
(
令x 2﹣2x=t 则:函数f (x )
=
是减函数,
∵x 2﹣2x=t的值域为[﹣1,+∞) ∴当t=﹣1时,
函数f (x )
=∴函数f (x )=
(
故选D . 7. A
)
取得最大值为2;
的值域为(0,2].
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】函数y=2x +m是由指数函数y=2x 平移而来的,根据条件作出其图象,由图象来解. 【解答】解:指数函数y=2x 过定点(0,1), 函数y=2+m过定点(0,1+m)如图所示, 图象不过第二象限则,1+m≤0 ∴m ≤﹣1 故选A .
x
8. C
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题;数形结合;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】A .利用函数y=2x 的单调性即可判断出正误; B .利用函数y=log2x 的单调性即可判断出正误; C .利用对数函数的单调性即可判断出正误; D .计算f (﹣x )与﹣f (x )的关系即可判断出正误. 【解答】解:∵A.20.6>20.3,正确; B .log 23>log 22=1,正确;
C .∵loga (xy )=loga x+loga y≠=loga xlog a y ,∴不正确;
D .∵f(﹣x )
=
==﹣f (x ),x≠0,∴函数f (x )是奇函数.
综上可得:只有C 错误. 故选:C .
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性及其运算法则、函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9. B
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】先判断底数a ,由于指数函数是单调函数,则有a >1,再由指数函数的图象特点,即可得到答案.
【解答】解:函数f (x )=a(a >0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a ), 则由于指数函数是单调函数,则有a >1,
由底数大于1指数函数的图象上升,且在x 轴上面,可知B 正确. 故选B . 10. D
【考点】函数的图象.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数
为减函数,且图象经过(﹣2,2)、
x
2
(0,﹣1),可得它的图象经过第二、三、四象限. 【解答】解:函数(0,﹣1),
故它的图象经过第二、三、四象限, 故选:D .
【点评】本题主要考查函数的单调性,函数的图象特征,属于基础题. 11. B
【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.
为减函数,且图象经过(﹣2,2)、
【分析】先化为分段函数,再根据指数函数的单调性即可判断
【解答】解:∵f (x )=2
|x﹣1|
=,
当x≥1时,函数为单调递增函数,当x <1时,函数为单调递减函数, 故选B .
【点评】本题考查了绝对值函数和指数函数的图象,属于基础题
12. A
【考点】指数函数的图象与性质;对数函数的图象与性质.
【分析】本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数图象的特征进行判定.
【解答】解:根据y=﹣log a x 的定义域为(0,+∞)可排除选项B ,
选项C ,根据y=ax 的图象可知0<a <1,y=﹣log a x 的图象应该为单调增函数,故不正确
选项D ,根据y=ax 的图象可知a >1,y=﹣log a x 的图象应该为单调减函数,故不正确 故选A 13. C
【考点】对数函数的单调性与特殊点;对数值大小的比较.
【分析】因为10>1,所以y=lgx单调递增,又因为1<e <10,所以0<lge <1,即可得到答案.
【解答】解:∵1<e <3<∴0<lge <1,∴lge >∴a >c >b . 故选:C .
【点评】本题主要考查对数的单调性.即底数大于1时单调递增,底数大于0小于1时单调递减. 14. B
【考点】对数函数的单调区间.
【分析】本题必须保证:①使log a (2﹣ax )有意义,即a >0且a ≠1,2﹣ax >0.②使log a (2﹣ax )在[0,1]上是x 的减函数.由于所给函数可分解为y=loga u ,u=2﹣ax ,其中
,
lge >(lge )2.
u=2﹣ax 在a >0时为减函数,所以必须a >1;③[0,1]必须是y=loga (2﹣ax )定义域的子集.
【解答】解:∵f (x )=loga (2﹣ax )在[0,1]上是x 的减函数, ∴f (0)>f (1), 即log a 2>log a (2﹣a ).
∴
∴1<a <2. 故答案为:B . 15. D
【考点】交集及其运算;其他不等式的解法.
【分析】求出集合A 中其他不等式的解集,确定出A ,找出A 与B 的公共部分即可求出交集.
【解答】解:由A 中的不等式变形得:log 41<log 4x <log 44, 解得:1<x <4,即A=(1,4), ∵B=(﹣∞,2], ∴A∩B=(1,2]. 故选D 16. D
【考点】对数值大小的比较.
【分析】由log a (3a ﹣1
)恒为正数,可得
等式组的解集,再把这两个解集取并集. 【解答】解:∵log a (3a ﹣1
)恒为正数,∴
解得 a>1
,或<a
<, 故选 D. 17. C
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【分析】本题研究对数型函数的图象过定点问题,由对数定义知,函数y=loga x 图象过定点(1,0),故可令x+2=1求此对数型函数图象过的定点.
,或
,
,或
,解出每个不
,
【解答】解:由对数函数的定义, 令x+2=1,此时y=0, 解得x=﹣1,
故函数y=loga (x+2)的图象恒过定点(﹣1,0) 故选:C . 18. C
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得:x >0, 故函数的定义域是(0,+∞), 故选:C . 19. C
【考点】函数的图象.
【分析】当a >1时,根据函数y=a﹣x 在R 上是减函数,而y=loga x 的在(0,+∞)上是增函数,结合所给的选项可得结论.
【解答】解:当a >1时,根据函数y=a在R 上是减函数,故排除A 、B ; 而y=loga x 的在(0,+∞)上是增函数,故排除D , 故选:C . 20. A
【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.
2
﹣x
2
【分析】∵x+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x +1)≥ln1=0,函数的图象应在x 轴的上方, 在令x 取特殊值,选出答案.
2
2
【解答】解:∵x+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x +1)≥ln1=0, ∴函数的图象应在x 轴的上方,又f (0)=ln(0+1)=ln1=0,∴图象过原点, 综上只有A 符合. 故选:A
【点评】对于函数的选择题,从特殊值、函数的性质入手,往往事半功倍,本题属于低档题. 21. C
【考点】对数的运算性质.
【分析】利用对数的运算性质 即可得出. 【解答】解:∵f(x )=log2x ,∴f(8)
=故选C . 22. {x|x<2}
【考点】指、对数不等式的解法.
【分析】根据指数函数的单调性,把不等式化为x ﹣2<0,求出解集即可. 【解答】解:由不等式2得x ﹣2<0, 解得x <2,
所以不等式的解集是{x|x<2}. 故答案为:{x|x<2}.
x ﹣2
=3.
<1,
23. 10
或
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【分析】把lga 整体代入解析式,再解关于a 的方程即可. 【解答】解:因为函数f (x )=ax
﹣(a >0且a ≠1), 所以f (lga )=alga
﹣
=
,
两边取以10为底的对数,得:(lga
﹣)
lga=, 解得:lga=1或lga=
﹣, ∴a=10或
a=故答案为:10
或
.
24.
m≤
【考点】指数函数的图象与性质;二次函数的性质.
【分析】对∀x 1∈,∃x 2∈,使得f (x 1)≥g(x 2),等价于f (x )min ≥g(x )min ,利用导数可判断f (x )的单调性,由单调性可求得f (x )的最小值;根据g (x )的单调性可求得g (x )的最小值.
【解答】解:对∀x 1∈,∃x 2∈,使得f (x 1)≥g(x 2),等价于f (x )min ≥g(x )min , f′(x )=2x+2≥0, ∴f(x )在上递增, ∴f(x )min =f(1)=3;
由=g(1)
=
+m,
,解得
m≤.
,
在上递减,得g (x )
min
∴3≥m故答案为:m≤25. (5,+∞)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】求出函数的定义域,确定内外函数的单调性,即可得到结论. 【解答】解:由x 2﹣4x ﹣5>0,可得x <﹣1或x >5
令t=x﹣4x ﹣5=(x ﹣2)﹣9,则函数在(5,+∞)上单调递增
∵∴函数
故答案为:(5,+∞)
在定义域内为单调递减
的递减区间为(5,+∞)
2
2
26. (0,1
考点:函数的定义域与值域
试题解析:要使函数有意义,需满足:故函数的定义域为(0,1 故答案为:(0,1 27.
【考点】函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断;对数函数的单调性与特殊点.
解得:
【分析】(1)求函数h (x )的定义域,即是使得函数f (x ),g (x )都有意义的条件,从而可得,利用函数奇偶函数的定义检验h (﹣x )与h (x )的关系可判断函数的奇偶性 (2)由f (3)=2得a=2,根据对数的运算性质可得h (x ),代入解不等式即可 【解答】解:(1
)由题意,得解得﹣1<x <1
故h (x )的定义域为(﹣1,1).
h (x )的定义域为(﹣1,1),关于数0对称,
且h (﹣x )=f(﹣x )﹣g (﹣x )=loga (1﹣x )﹣log a (1+x)=﹣h (x ) 故h (x )为奇函数. (2)由f (3)=2得
a=2
即
解得﹣1<x <0
,
∴所求的x 的集合{x|﹣1<x <0} 28.
【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)由y 1=y2,即log a (3x+1)=loga (﹣3x ),可得3x+1=﹣3x ,由此求得x 的值,检验可得结论.
(2)分当0<a <1时、和当a >1时两种情况,分别利用对数函数的定义域及单调性,化为与之等价的不等式组,从而求得原不等式的解集.
【解答】解:(1)∵y 1=y2,即log a (3x+1)=loga (﹣3x ),∴3x+1=﹣3x , 解得
,
是所求的值.
经检验3x+1>0,﹣3x >0,所以,x=﹣
(2)当0<a <1时,∵y 1>y 2,即log a (3x+1)>log a (﹣3x ),
∴解得.
当a >1时,∵y 1>y 2,即log a (3x+1)>log a (﹣3x ),
∴解得.
综上,当0<a <1时,
.
;当a >1
时,
【点评】本题主要考查对数方程、对数不等式的解法,体现了转化及分类讨论的数学思想,属于中档题. 29.
【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明. 【分析】(1)根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域. (2)根据函数奇偶性的定义进行判断和证明. (3)根据对数函数的性质解不等式即可. 【解答】解:(1
)要使函数有意义,则
,
∴f (x
)的定义域为(2
)定义域为
.… ,关于原点对称
又∵f (﹣x )=loga (1﹣2x )﹣log a (1+2x)=﹣f (x ), ∴f (x )为奇函数..…
(3)f (x )>0⇒log a (1﹣2x )﹣log a (1+2x)>0⇒log a (1﹣2x )>log a (1+2x).… 当a >1时,原不等式等价为:1+2x<1﹣2x ⇒x <0.… 当0<a <1时,原不等式等价为:1+2x>1﹣2x ⇒x >0.… 又∵f (x
)的定义域为
∴使f (x )>0的x 的取值范围,当a >1
时为当0<a <1
时为
;.…
;