高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦

指导教师：任宝安

参加学生：路 栋 胡思敏

李 梅 张大山

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。

⎧ x >0⎧ x + y >0⎧ x >1⎧ x + y >3⎨⎨⎨⎨ ⇔ ，但 与 不等价。 ⎩ y >0⎩ xy >0⎩ y >2⎩ xy >2

x

【例1】已知f(x) = a x + ，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。

b

①⎧-3≤a +b ≤0

⎪

错误解法 由条件得⎨ b

3≤2a +≤6⎪②2⎩

②×2－① 6≤a ≤15 ③ ①×2－②得 -

8b 2

≤≤- ④ 33310b 431043≤3a +≤, 即≤f (3) ≤. ③+④得 33333

x

，其b

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +

值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

⎧f (1) =a +b ⎪

正确解法 由题意有⎨b , 解得：

f (2) =2a +⎪2⎩

12

a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)],

33

b 1651637

∴f (3) =3a +=f (2) -f (1). 把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤.

39933

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固

地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题

(1) 设α、β是方程x 2-2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是

(A ) -

494

(B ) 8(C ) 18(D ) 不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,

∴

(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1

=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349

=4(k -) 2-.

44

有的学生一看到-

49

，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的4

体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根α、β

∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0 ⇒

k ≤-2或k ≥3.

当k ≥3时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8； 当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。

y 22

(2) 已知(x+2)+ =1, 求x 2+y2的取值范围。

4

错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y2=－3x 2－16x －12=－3(x+82828

∴当x=－3时，x 2+y2有最大值3 ，即x 2+y2的取值范围是(－∞, 3]。 分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

y 2y 222

事实上，由于(x+2)+ =1 ⇒ (x+2)=1－ ≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，

44从而当x=－1时x 2+y2有最小值1

28

∴ x 2+y2的取值范围是[1, ]。

3

注意有界性：偶次方x 2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

11

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ a ) 2+(b+ b ) 2的最小值。 错解 (a+

8228) + 33

121222112

) +(b+) =a+b+2+2+4≥2ab++4≥4a b ab a b

ab ∙

1

+4=8, ab

∴(a+

121

) +(b+) 2的最小值是8. a b

1

, 2

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=第二次等号成立的条件是ab=小值。

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最ab

[1**********]

++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+) －]+4

a b ab a 2b 2a 2b 2

1

= (1－2ab)(1+22)+4，

a b

a +b 211111

由ab ≤() = 得：1－2ab ≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，

2422a b a b 1251

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立) ，

2221125

∴(a + ) 2 + (b + ) 2。

2a b

原式= a2+b2+

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .

错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1.

1-1

错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠2=1。

错误原因：没有注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是。

因此在运用a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：a n =⎨

⎧S 1(n =1)

。

⎩S n (n ≥2, n ∈N )

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列{a n }的全n 项和为S n . 若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q .

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)

+=2⋅错误解法 S 3+S 6=2S 9, ∴，

1-q 1-q 1-q 整理得

q 3(2q 6-q 3-1）＝0.

6

3

3

3

由q ≠0得方程2q -q -1=0. ∴(2q +1)(q -1) =0, ∴q =-

4

2

或q =1。

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)

错误分析 在错解中，由， +=2⋅

1-q 1-q 1-q 整理得q 3(2q 6-q 3-1）＝0时，应有a 1≠0和q ≠1。

在等比数列中，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q =1a 1≠0是显然的，的情况，再在q ≠1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若q =1，则有S 3=3a 1, S 6=6a 1, S 9=9a 1. 但a 1≠0，即得S 3+S 6≠2S 9, 与题设矛盾，故q ≠1.

a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)

又依题意 S 3+S 6=2S 9 ⇒ ⇒ +=2⋅

1-q 1-q 1-q q 3(2q 6-q 3-1）＝0, 即(2q 3+1)(q 3-1) =0, 因为q ≠1，所以q 3-1≠0, 所以2q +1=0. 解得 q =-

3

4

. 2

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0, 1) 的直线，使它与抛物线y =2x 仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1，则它与抛物线的交点为

2

⎧y =kx +1222

，消去y 得(kx +1) -2x =0. 整理得 k x +(2k -2) x +1=0. ⎨2

⎩y =2x

直线与抛物线仅有一个交点，∴∆=0, 解得k =

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y =kx +1时，没有考虑k =0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k ≠0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0, 1) ，所以x =0, 即y

11

. ∴所求直线为y =x +1. 22

轴，它正好与抛物线y 2=2x 相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线y 2=2x 只有一个交点。

⎧y =kx +1③一般地，设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1(k ≠0) , 则⎨2，

y =2x ⎩∴k 2x 2+(2k -2) x +1=0. 令∆=0, 解得k = 2, ∴ 所求直线为y =

综上，满足条件的直线为：y =1,

1

1

x +1. 2

x =0, y =

1

x +1. 2

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2

2、已知A = {x | x 2 + tx + 1 = 0} ，若A ∩R * = Φ ，则实数t 集合T = ___。t t >-2(空集)

3、如果kx 2+2kx－(k+2)

4、命题A :x -＜3，命题B :(x +2)(x +a ) ＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是C(等号)

（A ）(4,+∞) （B ）[4, +∞) （C ）(-∞, -4) （D ）(-∞, -4] 1

5、若不等式x 2－log a x

2(A) [

111

,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1) (D) ( ,1) ∪(1,2) 16162

n

{}

(－1) n + 1

6、若不等式(－1) a

3333(A) [－2) (B) (－2， ) (C) [－3，) (D) (－3， )

2222

7、已知定义在实数集R 上的函数f (x ) 满足：f (1)=1；当x

的实数x 、y 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 。证明：f (x ) 为奇函数。(特殊与一般关系) 1－2x

8、已知函数f(x) = x + 1，则函数f (x ) 的单调区间是_____。递减区间(－∞，－1) 和(－1， +∞)

（单调性、单调区间）

9、函数y = log 0. 5(x －1) 的单调递增区间是________。[－2 ，－1）（定义域）

⎧⎪log 2(x+2) x>0－

10、已知函数f (x )= ⎨x x ≤0， f (x ) 的反函数f 1(x

⎪x －1⎩

⎧⎪ 2－2 x >1

⎨x 0≤x

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、函数 f (x ) = log 1 (x 2 + a x + 2) 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥

20和△

(A) (－2 ,22 ) (B) [－2 ,22 ]

(C) (－∞, －22 ) ∪(22 ,+∞) (D) (－∞, －2 ]∪[22 ,+∞)

12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为B(隐含条件)

32

（A ）2 （B （C （D ）0

43

x

x 2+4x +322

13、函数y=2的值域是________。(－∞, ) ∪(,1) ∪(1,+∞) （定义域）

55x +x -6

x

14、函数y = sin x (1 + tan x tan ) 的最小正周期是C （定义域）

2(A) (B) π

2

π

(C) 2π (D) 3

15、已知 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当 x ∈ [0,1) 时，f (x ) = 2 x ，则 f (log 1 23) = D(对

2数运算)

231616(A) (B) (C) －

162323

23

(D) －

16

32

16、已知函数f (x ) =ax +bx -3x 在x =±1处取得极值。

（1）讨论f (1) 和f (-1) 是函数f (x ) 的极大值还是极小值；

（2）过点A (0, 16) 作曲线y =f (x ) 的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表) ；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

3 3 3 sin α cos α π

17、已知tan (α3)= － 5则tan α （化233cos α －2sin α 齐次式）

14

18、若 3 sin 2α + 2 sin 2β －2 sin α = 0，则cos 2α + cos 2β 的最小值是 。(隐

9含条件)

31

19、已知sin θ + cosθ = 5 ，θ ∈ (0，π) ，则cot θ = _______。－(隐含条件)

4

20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、

b =、A =

（A ）

π

4

，则∠B = B(隐含条件) （B ）

π

12ππ5ππ11π （C ）或 （D ）或

6612126

2511

21、已知a >0 , b>0 , a +b=1，则(a + a ) 2 + (b + b ) 2的最小值是_______ (三相等)

24

22、已知x ≠ k π (k ∈ Z)，函数y = sin2x + sin x 的最小值是______。5（三相等） 23、求y =

28

+的最小值。 22

sin x cos x

错解1 y =

28288

+≥2⋅⋅=2222

x |s i n x c o s x s i n x c o s x |s i n x c o s

16

≥16,. ∴y min =16.

|sin 2x |

=错解2

282

+sin x ) +(+cos 2x ) -1≥22+2-1=-1+62. 22

sin x cos x

28

=且|sin 2x |=1. 错误分析 在解法1中，y =16的充要条件是22

sin x cos x

1

即|tan x |=且|sin x |=1. 这是自相矛盾的。∴y min ≠16.

2y =(

在解法2中，y =-1+62的充要条件是

282222

=sin x 且=cos x ，即sin x =2，cos x =22, 这是不可能的。 22

sin x cos x

正确解法1 y =2csc x +8sec x

2

2

=2(1+cot 2x ) +8(1+tan 2x )

=10+2(cot2x +4tan 2x ) ≥10+2⋅2cot 2x ⋅4tan 2x

=18.

222

其中，当cot x =4tan x ，即cot x =2时，y =18. ∴y min =18.

正 确 解 法2 取正常数k ，易得

y =(

282

+k sin x ) +(+k cos 2x ) -k ≥2⋅2k +2⋅k -k =6⋅2k -k . 22

sin x cos x

其中“≥”取“＝”的充要条件是

281222=k sin x 且=k cos x ，即tan x =且k =18. 22

2sin x cos x

12

因此，当tan x =时，y =6⋅2k -k =18, ∴y min =18.

2

24、已知a 1 = 1，a n = an －1 + 2n 1(n≥2) ，则a n = ________。2n －1(认清项数)

25、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1 五个实数成等比数列，

则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号)

－

(A) －8 (B) 8

9(C) －

89(D)

8

26、已知 {an } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？ 当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。 （忽视公比q = －1）

27、已知定义在R 上的函数f (x ) 和数列{a n }满足下列条件：

a 1=a , a n =f (a n -1)(n =2, 3, 4, ... ), a 2≠a 1，f(an ) －f(an －1) = k(an －a n －1)(n = 2,3,┄) ，其中a 为常数，k 为非零常数。（1）令b n =a n +1-a n (n ∈N *)，证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）当|k |

n →∞

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m 2－(m2－3m) i

(－1+i )(2+i )

29、i 是虚数单位， ）C(概念不清) i (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i

30、实数m ，使方程x 2+(m +4i ) x +1+2mi =0至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根，

∴∆=(m +4i ) 2-4(1+2mi ) =m 2-20≥0 ⇒ m ≥25, 或m ≤-2.

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设a 是方程的实数根，则

a 2+(m +4i ) a +1+2mi =0, ∴a 2+ma +1+(4a +2m ) i =0.

由于a 、m 都是实数，∴

⎧a 2+ma +1=0

, 解得 m =±2. ⎨

4a +2m =0⎩

31、和a = (3,－4) 平行的单位向量是_________；和a = (3,－4) 垂直的单位向量是

_________。 34344343

(，－ ) 或(－ ) ；，) 或(－ ，－ )(漏解) 5555555532、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =______。

a = (h，4h+8) (其中h ∈ R)(漏解) 33、已知 |a |＝1，|b |＝2，若a //b ，求a ·b 。 ①若a ，b 共向，则 a ·b ＝|a |•|b |＝2，

②若a ，b 异向，则a ·b ＝－|a |•|b |＝－2。(漏解)

34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________2 3

a (隐含条件) 24

35、在直二面角 α－AB －β 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为D(漏解) (A) 45︒ (B) 60︒ (C) 120︒ (D) 60︒ 或 120︒ 36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；

（3）求二面角C —PB —D 的大小。(2004天津)

(条件不充分(漏PA ⊄ 平面EDB ，DE ⊂平面PDC ，DE ∩EF = E等) ；运算错误，锐角钝角不分。)

x 2

37、若方程 m + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1) ∪(1，+ ∞) (漏解) 1x 23

38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 ，则 m 的值为 。4 或 (漏解)

m 2439、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1、F 2 组成

x 22π

的三角形的周长为 4 + 23 且∠F 1BF 2 = 3 。 + y 2 = 1或

4y 2

x + = 1(漏解)

4

2

40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（c >0）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若⋅=0，求直线PQ 的方程；

（3）设=λ（λ>1），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM =-λFQ 。(2004天津)

(设方程时漏条件a 2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ 斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、 已知双曲线的右准线为x =4，右焦点F (10, 0) , 离心率e =2, 求双曲线方程。

a 2

=4, c =10, ∴a 2=40, ∴b 2=c 2-a 2=60. 故所求的双曲线方程为错解1 x =c

x 2y 2

-=1. 4060

错解2 由焦点F (10, 0) 知c =10, e =

c

=2, ∴a =5, b 2=c 2-a 2=75. a

x 2y 2

-=1. 故所求的双曲线方程为

2575

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解1 设P (x , y ) 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x =4，右焦点F (10, 0) ，

(x -10) 2+y 2(x -2) 2y 2

=2. 整理得 -=1. 离心率e =2，由双曲线的定义知

|x -4|1648

正解2 依题意，设双曲线的中心为(m , 0) ,

⎧a 2

⎪+m =4c ⎪⎪

则 ⎨c +m =10 解得

⎪c ⎪=2. ⎪⎩a

故所求双曲线方程为

⎧a =4

⎪222

⎨c =8, 所以 b =c -a =64-16=48, ⎪m =2. ⎩

2

2

(x -2) y

-=1. 1648

2

2

42、求与y 轴相切于右侧，并与⊙C :x +y -6x =0也相切的圆的圆心 的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为(x -3) +y =9. 设点P (x , y )(x >0) 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M 点， 与⊙C 相切于N 点。根据已知条件得

2

2

|CP |=|PM |+3，即(x -3) +y =x +3，化简得y =12x

222

(x >0).

1

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考

虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y =0(x >0且x ≠3) 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2 = 12x(x>0)和y =0(x >0且x ≠3) 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

43、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率e =

3，已知点P (0, ) 到这个椭

22

圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。

x 2y 2

错误解法 依题意可设椭圆方程为2+2=1(a >b >0) a b

c 2a 2-b 2b 23=1-2=， 则 e =2=24a a a 2

b 21所以 2=，即 a =2b . 4a

设椭圆上的点(x , y ) 到点P 的距离为d ，

222则 d =x +(y -) 3

2

y 29=a (1-2) +y 2-3y +4 b 1=-3(y +) 2+4b 2+3. 22

所以当y =-1时，d 2有最大值，从而d 也有最大值。 2

所以 4b 2+3=(7) 2，由此解得：b 2=1, a 2=4. x 2

+y 2=1. 于是所求椭圆的方程为4

错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y =-1时，d 2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围。事2

2实上，由于点(x , y ) 在椭圆上，所以有-b ≤y ≤b ，因此在求d 的最大值时，应分类讨论。

即： 1，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值。 2

323112于是(7) =(b +) , 从而解得b =7->, 与b

112所以必有b ≥，此时当y =-时，d （从而d ）有最大值， 22若b

所以4b 2+3=(7) 2，解得b =1, a =4. 22

x 2

+y 2=1. 于是所求椭圆的方程为4

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

注：参考资料

1，《北大学吧》

2，《优化设计》

3，《名校之约》

4，《创新设计》

5，《教与学》

主题：研究性学习材料总结 时间： 2009年07月01日