相似图形提高
相似图形提高
线段的比、黄金分割及形状相同的图形
◆要点1 线段的比
(1)
(2) 成比例线段:四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即
那么这四条线段成比例线段,当b =c 时,有
(3) 比例尺:比例尺=图上距离:实际距离
◆要点2 比例的性质
a . 比例的基本性质: a c =,b d a b =,称b 为a 与d 的比例中项。 b d
a c a b =⇔ad =bc (a 、b 、c 、d ≠0), =⇔b 2=ac (a 、b 、c 、d ≠0)b d b c
b . 合比性质:(两边都加1或减1)
a c a ±b c ±d =⇒= 图1 图2 b d b d
a c m a +c + +m a =。 c . 等比性质:如果== =(b +d + +m ≠0),那么b +d + +n b b d n
◆要点3 黄金分割
概念:若点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC (AC>BC) ,若AC BC =,我们称线段AB AC
AB 被点C 黄金分割,C 点为该条线段的黄金分割点,较短线段与较长线段(或较长线段与
⎛-1⎫ ⎪原线段)的比叫做黄金比 2≈0. 618⎪。
⎝⎭
说明:(1)一条线段有两个黄金分割点;(2) 原线段、较长线段、较短线段有其固定关系:若AB =1,则AC =-13-5, BC =. (3)作一条线的黄金分割点的方法,如右图1、2: 22
◆要点4 形状相同的图形
(1) 所谓形状相同的图形,实际上就是形状相同,大小、位置不一定相同的图形。
(2) 将图形放大或缩小,只需将每个点的坐标都扩大或缩小相同的倍数。
★说明:将图形放大或缩小一般有两种方法:一是橡皮筋法,二是直角坐标系法.
相似多边形\相似三角形及三角形相似的条件
相似多边形
◆要点1 各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。
★说明:(1) 相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质,又可以看作相似多边形的判定;(2)判定相似的两个条件,一是各角对应相等,另一是各边对应成比例;缺一不可。 相似三角形
◆要点2 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
★说明:(1) 相似三角形的各角对应相等,各边对应成比例;(2) △ABC 与△A /B /C /相似和 △ABC ∽△A /B /C /的含义有所不同,前者没有指明对应关系,而后者表明了对应关系。
◆要点3 三角形相似的判别方法
(1) 判别方法1
(2) 判别方法2
(3) 判别方法3
●引申 直角三角形除了具有以上3种判别方法,还有以下方法:①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似;②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 ★说明:要找准对应边,一般对应角所对的边是对应边,共边一般不是对应边。在找对应角时,公共角、对顶角一般是对应角。
相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小
◆要点1 测量旗杆高度的三种方法:
(1) 方法1:利用阳光下的影子 (如图XS —27)
XS —
27
(还可利用结论:同一时刻:XS —
28 XS —
29 某物体的实际高度被测物体的实际高度 ); 它的影长被测物体的影长
(2)方法2:利用标杆,如图XS —28 (3)方法3:利用镜子反射,如图XS —29, ◆要点2 相似三角形与相似多边形的性质
相似三角形的性质:
(1) 相似三角形对应高的比等于相似比;(2) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比;
(3) 相似三角形对应中线的比等于相似比;(4) 相似三角形周长的比等于相似比;
(5) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质:
(1) 相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;
(2) 相似多边形中,对应的三角形相似,相似比等于原多边形的相似比。
◆要点3 位似图形定义:
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中,只有一个位似中心,两位似图形可在位似中心的同侧,也可在位似中心的两侧。两个位
XS —30
似图形的相似比又称为位似比。如图XS —30(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。
位似图形的性质: (1) 对应边的比等于位似比;(2) 周长的比等于位似比,面积的比等于位 例题精讲:
3m -n 1m =,则=________。 n n 4
a b c a +b +c a +b +c 变形1:已知==,求及的值。 a -b +c 345c 例1 若
例2 已知x :y :z =1:3:5,求x +3y -z 的值。 x -3y +z
变形1:若4x =7y +5z ,2x +y =z ,那么x :y :z =( )
A. 2:1:(-3) B. 2:1:3 C. 2:(-1) :3 D. 3:2:1
变形2:若x +3y -1z -2==,且x +y +z =18,求x ,y ,z 。 234
例3 若点C 是线段AB 的分割点(AC >BC ),AB =16,则AC =______,BC =_______;如果D 是线段AB 的另一个黄金分割点,则CD =_______。
变形:如果线段上一点P 把线段分割为两条线段PA ,PB. 当
PA 2=PB ·AB 时,则称点P 是线段AB 的黄金分割点,现
已知线段AB =10,点P 是线段AB 的黄金分割点,如图XS XS —03
—03所示,那么线段PB 的长约为( )
A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82
例4、如图,D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 上一点,△ADE ∽△ABC ,F 为AD 上一点,△AEF ∽△ACD ,(1) AD2=AF ·AB 吗?说明理由。(2) 若AF =4,AB =9,求AD 。
XS —09
XS —09.1 XS —
10
变形:如图XS —09.1所示,已知梯形ABCD ,AD ∥BC ,若EF ∥BC ,且所分成的梯形AEFD 和梯形EBCF 相似,AD =4,BC =9,求EF 的长。
例5、如图XS —11所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,试证AE ·AB =AF ·AC 。
变形1:如图XS —11-1,△ABC 中,
∽△BAC ,则AB AC AB 5=, =,D 为AB 上一点,若△BDE BE EC AC 3AB =______。 BD
变形2:如图XS —11-2,△AOB ∽△COD ,∠A =∠C ,下列各式正确的有( )个 ①AB CD AB CD OB AD AO BO ====;②;③;④。 BO CO AO OD OC OD CO OD
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例6、如图,兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,
一名同学测得一根长为1m 的竹竿的影长为0.4m ,同时
另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地
面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影
子长为0.2m ,一级台阶高为0.3m ,如图所示,若此时落
在地面上的影长为4.4m ,则树高为( )
A. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m D. 12.25m
一、选择题
XS —XS —
11-1 11-2 1.梯形两底分别为m 、n ,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线
段长为( ) XS —
11
m +n 2mn mn m +n (B ) (C ) (D ) mn m +n m +n 2mn
AD 12.如图,在正三角形ABC 中,D ,E 在AC ,AB 上,且=,AE =BE ,则( ) AC 3(A )
(A )△AED ∽△BED (B )△AED ∽△CBD
(C )△AED ∽△ABD (D )△BAD ∽△
BCD
3.P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有( )
(A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条
4.如图,∠ABD =∠ACD ,图中相似三角形的对数是( )
(A )2 (B )3 (C )4 (D )5
5.如图,ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )
(A )∠APB =∠EPC (B )∠APE =90° (C )P 是BC 的中点 (D )BP ︰BC =2︰3
6.如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,且有下列条件:
(1)∠B +∠DAC =90°;(2)∠B =∠DAC ;(3)CD AC =; (4)AB 2=BD ·BC AD AB
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )
(A )3个 (B )2个 (C )1个 (D )0个
7.如图,将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°,得△ABF ,连结EF 交AB 于H ,则下列结论中错误的是( )
(A )AE ⊥AF (B )EF ︰AF =2︰1
(C )AF 2=FH ·FE (D )FB ︰FC =HB ︰EC
8.如图,在矩形ABCD 中,点E 是AD 上任意一点,则有( )
(A )△ABE 的周长+△CDE 的周长=△BCE 的周长
(B )△ABE 的面积+△CDE 的面积=△BCE 的面积
(C )△ABE ∽△DEC (D )△ABE ∽△EBC
9.如图,直线a ∥b ,AF ︰FB =3︰5,BC ︰CD =3︰1,则AE ︰EC 为( ).
(A )5︰12 (B )9︰5 (C )12︰5 (D )3︰
2
10.如图,在△ABC 中,M 是AC 边中点,E 是AB 上一点,且AE =1AB ,连结EM 并延4
长,交BC 的延长线于D ,此时BC ︰CD 为( )
(A )2︰1 (B )3︰2 (C )3︰1 (D )5︰2
11.如图,矩形纸片ABCD 的长AD =9 cm,宽AB =3 cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为( )
(A )4 cm、 cm (B )5 cm、 cm (C )4 cm、2 cm (D )5 cm、2 cm
二、填空题
12.已知线段a =6 cm,b =2 cm,则a 、b 、a +b 的第四比例项是_____cm,a +b 与 a -b 的比例中项是_____cm.
13.若a +b b +c a +c ===-m 2,则m =______. c a b
14.如图,在△ABC 中,AB =AC =27,D 在AC 上,且BD =BC =18,DE ∥BC 交AB 于E ,则DE =_______.
15.如图,□ABCD 中,E 是AB 中点,F 在AD 上,且AF =1FD ,EF 交AC 于G ,则AG 2
︰AC =______.
16.如图,AB ∥CD ,图中共有____对相似三角形.
17.如图,已知△ABC ,P 是AB 上一点,连结CP ,要使△ACP ∽△ABC ,只需添加条件______(只要写出一种合适的条件).
18.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ∥AC ,EF ∥BC ,AB =15,AF =4,则DE 的长等于________.
19.如图,△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,AE =EC ,AD =18,BE =15,则△ABC 的面积是______.
20.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥AB ,AD =8,BC =10,则梯形ABCD 面积是_________.
三、证明题
1、如图,在△ABC 中,AB =AC ,延长BC 至D ,使得CD =BC ,CE ⊥BD 交AD 于E ,连结BE 交AC 于F ,求证AF =FC .
2、如图,∠ABC =∠CDB =90°,AC =a ,BC =b .
(1)当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时,△ABC ∽△CDB ?
(2)过A 作BD 的垂线,与DB 的延长线交于点E ,若△ABC ∽△CDB .
求证四边形AEDC 为矩形(自己完成图形).
3、如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F ,连结FC (AB >AE ).
(1)△AEF 与△EFC 是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设AB =k ,是否存在这样的k 值,使得△AEF ∽△BFC ,若存在,证明你的结论并求BC
出k 的值;若不存在,说明理由.