弹性力学习题提示和答案

《弹性力学简明教程》

习题提示和参考答案

第二章………………………………………………2 第三章………………………………………………3 第四章………………………………………………5 第五章………………………………………………6 第六章………………………………………………8 第七章………………………………………………9 第八章………………………………………………10 第九章………………………………………………12

2－1 是 2－2 是

2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在

M0的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互

等定理完全相同。

2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量σx, σy, xy必须满足

（1）平衡微分方程， （2）相容方程，

（3）应力边界条件（假设SSσ)。

2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取

M12F

y3xy, Ih

QS6Fh2

xy3(y2).

bIh4σy0, σx

它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和y题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量u和v，及转动量，再令xy0,便可得出。

h

的应力边界条件，因此，它们是该问2

3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力，

（3）推求出每一边上的面力fx,fy,从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3-2 用逆解法求解。由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上

的面力化为主矢量和主矩表示。 3-3 见3-1例题。

3-4 本题也属于逆解法的问题。首先校核Φ是否满足相容方程。再由Φ求出应力后，并求

对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是： 主要边界：

(yx)yh/20,(y)yh/20,

所以在 yh/2边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；(y)yh/2q, 上边界有向下的法向面力q。 次要边界：

yy2(xy)x00, x=0面上无剪切面力作用；(x)x0q(42), 但其主矢量和主

hh5

矩在 x=0 面上均为零。

因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。 3-5 按半逆解法步骤求解。 （1）可假设x0。

（2）可推出 Φyf(x)f1(x)。

（3）代入相容方程可解出f、f1，得到 Φy(Ax3Bx2Cx)(Ex3Fx2)。 （4）由 Φ 求应力。

（5）主要边界x=0,b上的条件为 (x)x0,b0, (xy)x00, (xy)xbq。 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为

0

b

(y)y0dx0,(y)y0xdx0,(yx)y0dx0。

bb

读者也可以按xy或y的假设进行计算。

3-6 本题已给出了应力函数Φ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在xb/2各有两个应精确满足的边界条件，即

(x)x20, (xy)x2q.

而在次要边界 y=0 上，(y)y00已满足，而(yx)y00的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：

2(yx)y00.

2

3-7 见例题2。

3-8 同样，在ytan的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。

3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。

3-10 应力函数Φ中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。

3-11 见例题3。

3-12 见圣维南原理。

3-13 m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。 3-14 见教科书。

3-15 严格地说，不成立。

第四章 习题的提示和答案

4-1 参见§4-1，§4-2。 4-2 参见图4-3。

4-3 采用按位移求解的方法，可设uu(),uφ0,代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求u的基本方程。

4-4 按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下，只有,0，为基本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足)，(2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得

d



,再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。 d

4-5 参见§4-3。 4-6 参见§4-3。 4-7 参见§4-7。 4-8 见例题1。 4-9 见例题2。 4-10 见答案。

4-11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。 4-12 见提示。

4-13 内外半径的改变分别为(u)r,(u)R,两者之差为圆筒厚度的改变。 4-14 R为位移边界条件。

4-15 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4-16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4-17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4-18 见例题3。 4-19 见例题4。

第五章 习题提示和答案

5-1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。 5-2 参见书中的方程。

5-3 注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。 5-4 注意对称性的利用,并相应选取基点A。答案见书中。 5-5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。 5-6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。

5-7 按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1) su上的位移边界条件，(2) sσ上的应力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。 5-8 在拉伸和弯曲情况下，引用U扭转和弯曲情况下，引用U

1

σxxdxdy的表达式，再代入书中的公式。在 2A

1

xyxydxdy的表达式，再代入书中的公式。 A2

5-9 对于书中图5-15的问题，可假设ux(xa)y(yb)[A1A2xA3y],

vx(xa)y(yb)[B1B2xB3y].对于书中图5-16的问题中，y 轴是其对称轴，

x 轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子

(x2a2)(y2b2)。此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y的奇函数，v应为x和

y的偶函数。

5-10 答案见书中。

5-11 在u,v 中各取一项,并设u0时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是

UU

0, fyv1dxdy. A1B1A

代入U和fy后,上两式方程是

1815ρga2

A1B10, A16B1. 752E

解出

175ρga2225ρga2A1, B1.

2533E533E

位移分量的解答为

233

应力分量为

u175ga2533E(xaxyya3)(aa

3),

v225ga222

533E(1xya2)(1a

2).

175x2y2

σx2533(13a2)(1a2)gy,

450x2

σy533(1a2)gy,225y2175x2533(1y2

xy[a2)4533(1a2)(13a

2)]gx.

6-1 提示：分别代入Ni(i,j,m)的公式进行运算。

6-2 （3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书中答案。 6-3 求i结点的连杆反力时，可应用公式

Fi(

e

ni,j,m



kinδn),



e

为对围绕i结点的单元求和。

6-4 求支座反力的方法同上题。

6-5 单元的劲度矩阵k，可采用书中P.124式（g）的结果，并应用公式Kij体劲度矩阵的子矩阵。

6-6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。 6-7 求劲度矩阵元素可参见P.124式（g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素Kij

答k。

ije

k

e

ij

,求出整

案见书中。

6-8 当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时，可采用P.124式（g）的单元劲度矩阵。

答案：中心线上的上结点位移v1

6F4F

,下结点位移v2。 5E5E

6-9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的

边界上，保持了相邻单元的位移连续性。

7-1

答案：σn

1Θ, n 37-2 提示：

原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。 7-3 见本书的叙述。

7-4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。

7-5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为 的函数。在列方程时,,z应考虑它们的贡献。

8-1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设ssσ)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。 8-2 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设ssσ 若为多连体，还应满足位移单值条件。

由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为 l,m,n ，边界面为任意斜面，受到法向压力q 作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。 8-3 见§8-2的讨论。

8-4 从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。 8-5 为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的uz，并作如下代换

zh,R

FdFq2πd，

然后从o→a 对积分。

8-6 引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是

(uz)z0

12F

。

E

dFqdxdy

（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）

的坐标系，代入并积分，

0

b/2

b/2a/

a/2

2

a/2(12)qb/2dy

Eb/2a/

再应用部分积分得到，

(1)q

Eb/2

b/2

2

dy,

2(12)qab0(barsinhaarsinh)。

Eba

2



(1)qab

(barsinhaarsinh)。Eba

8-7 题中Φ已满足边界条件(Φ)s0,再由

2Φ2GK及2ΦdxdyM,

A

便可求出切应力及扭角等。

8-8 题中Φ能满足两个圆弧处的边界条件(Φ)s0.然后，相似于上题进行求式解A为B的两倍。

8-9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由ar，得出r8-10 参见§8-8的讨论。

2

2

代入后进行比较即可得出。

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第九章 习题提示和答案

9－1 挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x =0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件，(w,

w

)s0。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。 n

求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。

9－2 在重三角级数中只取一项wmsin

x

a

sin

y

b

可以满足qqosin

x

a

sin

y

b

的弹性

曲面微分方程，并可以求出系数m。而四个简支边的条件已经满足。 关于角点反力的方向、符号的规定，可参见§9－4中的图9－5。

9－3 本题中无横向荷载，q = 0，只有在角点B有集中力F的作用。注意w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件, x =a和y =b的自由边条件，以及角点的条件FRBF（见图9－5中关于角点反力的符号规定）。

在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考§9－6中图9-9的例题。

9-4 本题中也无横向荷载，q = 0，但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a 是广义的简支边，其边界条件是

x0,a , w0 , MxM.

而y= 0,b为广义的自由边，其边界条件是

t

y0,b , MyM, Fsy0.

将w=f (x)代入弹性曲面微分方程，求出f (x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。

9-5 参见§9－7及例题1，2。

9-6 应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数Amn中，其中对荷载的积分



ab

qsin

mxny

sindxdy ab

只有在0xa/2, 0yb/2的区域有均布荷载qo作用，应进行积分；而其余区域

q0，积分必然为零。

9-7 对于无孔圆板，由0的挠度和内力的有限值条件，得出书中§9－9 式(d)的解中，

C1C20，然后再校核简支边的条件，求出C3 , C4。

求最大值时，应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。 9-8 本题也是无孔圆板，由有限值条件，取C1C20。相应于荷载qq1根据书中§9－9 的式(c) 求出。然后再校核a的固定边的条件。



a

的特解，可

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求最大值时，应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。 9-9 由Mx表达式。



/2

/2

σxzdz，代入Mx及σx的公式，两边相比便可得出M等用σ等表示的

2w2w

由MxD2，将w对x,y的导数转换为对 , φ的导数。然后再与式2xy

(a)相比， 便可得出M等用挠度w表示的公式。 9-10 参见上题，可以用类似的方法出。

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