线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结

第二章矩阵及其运算

第一节 矩阵 定义

由m ⨯n 个数a ij

(i =1,

2 , m , j =;

1, n 2, 的m 行n 列的数表), 排成

a 1n ⎫

⎪

a 2n ⎪

，⎪ ⎪

a mn ⎭

a 11a 21 a m 1a 12 a 1n ⎛a 11a 12

a 21a 22a 22 a 2n

称为m 行n 列矩阵。简称m ⨯n 矩阵，记作A =

a m 2 a mn ⎝a m 1a m 1

简记为A =A m ⨯n =a ij 说明 扩展

()

m ⨯n

=(a ij )，这m ⨯n 个数称为A 的元素, 简称为元。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 几种特殊的矩阵：

方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列) 矩阵：只有一行(列) 的矩阵。也称行(列) 向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型, 且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可

表示为E ) （课本P29—P31）

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算

矩阵的加法 设有两个m ⨯n 矩阵A =a ij 和B =b ij ，那么矩阵A 与B 的和记作A +B ，

()

()

⎛a 11+b 11

a 21+b 21 规定为A +B =

⎝a m 1+b m 1

a 12+b 12a 22+b 22

a m 2+b m 2

a 1n +b 1n ⎫

⎪

a 2n +b 2n ⎪

⎪

⎪

a mn +b mn ⎭

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律

(1)A +B =B +A ；

(2)(A +B )+C =A +(B +C )

(3)设矩阵A =(a ij )

m ⨯n

, 记-A =(-a ij ) m ⨯n

⎛-a 11 -a = 21 ⎝-a m 1

-a 12-a 22 -a m 1

-a 1n ⎫

⎪

-a 2n ⎪

-A 称为矩阵A ，⎪ ⎪

-a mn ⎭

的负矩阵

（课本P33） (4)A +(-A )=0, A -B =A +(-B )。

数与矩阵相乘

数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ, 规定为

λa 1n ⎫

⎪

λa 2n ⎪

⎪

⎪

λa mn ⎭

⎛λa 11λa 12

λa 21λa 22 数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ, 规定为λA =A λ=

⎝λa m 1λa m 1

数乘矩阵的运算规律（设A 、B 为m ⨯n 矩阵，λ, μ为数）

(1)(λμ)A =λ(μA )； (2)(λ+μ)A =λA +μA ；

（课本P33） (3)λ(A +B )=λA +λB 。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设B =(bij ) 是一个m ⨯s 矩阵，B =(bij ) 是一个s ⨯n 矩阵，那么规定矩阵

A

与矩阵

B

的乘积是一个

m ⨯n 矩阵C =(ij c ，) 其中

⎛b 1j ⎫

⎪s b 2j ⎪

(a i 1a i 2 a is ) ⎪=a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a is b sj =∑a ik b kj ，(i =1,2, m ; j =1,2, , n )，

k =1 ⎪ b ⎪⎝sj ⎭

并把此乘积记作C =AB 注意

1。A 与B 能相乘的条件是：2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB ≠BA ，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA，则称A 与B

矩阵乘法的运算规律

(1)(AB )C =A (BC )；

(2)λ(AB )=(λA )B =A (λB )

(3)A (B +C )=AB +AC ，(B +C )A =BA +CA

(4)A m ⨯n E n ⨯n =E m ⨯m A m ⨯n =A m ⨯n

m k m +k k

则称 A k 为A 的k 次幂，即A =A A A ，并且A A =A ，(5)

k 个

(A m )=A mk (m , k 为正整数)0＝E

k

k k

注意 矩阵不满足交换律，即AB ≠BA ，(AB )≠A B （但也有例外）（课本P36）

k

0⎫⎛λ

⎪

λ⎪称为纯量阵，作用是将图形放大λ倍。且有纯量阵 矩阵λE = ⎪ ⎪0λ⎝⎭

，A 为n 阶方阵时，有(λE n ) A n =A n (λE n ) =λA n ，表明纯量阵与(λE ) A =A (λE =) λA 任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36） 转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A ，

T

⎛14⎫

⎛122⎫ ⎪T

如A = ⎪，A = 25⎪。

⎝458⎭ 28⎪

⎝⎭

转置矩阵的运算性质

(1)(A

T T

)

=A ；

T

(2)(A +B )(3)(λA )

T

=A T +B T ；

=λA T ；

=B T A T 。（课本P39）

由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或

(4)(AB )

T

方阵的行列式

记住这个符号）

注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 运算性质

(1)

A T =A ；

(2)λA =λn

A ；

(3)AB =A B =B A =BA （课本P40）

对称阵 设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T ，即a j i =i a j 说明

ij 2, 1, n (, =)那么A 称为对称阵。

对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果A T =-A 则称矩阵A 为反对称

的。即反对称矩阵A =（a ij ）中的元素满足a ij ＝－a ji ，i ，j =1，2，…n 伴随矩阵

行列式A 的各个元素的代数余子式A ij 所构成的如下矩阵

⎛A 11

A 12

* A = ⎝A 1n

性质

总结

A 21 A 22 A 2n

A n 1⎫⎪

A n 2⎪

称为矩阵A 的伴随矩阵。

⎪

⎪

A nn ⎭

（课本P ？） 易忘知识点）

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘, 且矩

阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B , 使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的，

-1

第三节 逆矩阵

定义

并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。A 的逆矩阵记作A -1，即A =B 。 说明

1 A ，B 互为逆阵， A = B -1 2 只对方阵定义逆阵。

3. 若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。 定理1

矩阵A 可逆的充分必要条件是A ≠0，并且当A

重要）（证明见课本P ？） 奇异矩阵与非奇异矩阵

当A =0时，A 称为奇异矩阵，当A ≠0时，A 称为非奇异矩

阵。即A 可逆⇔A 为非奇异矩阵⇔A ≠0。 推论

若AB =E (或B A=E)，则B =A （证明见课本P ？）

-1

(1)先求|A |并判断当|A |≠0时逆阵存在；

求逆矩阵方法

（2）求A *；

1*

(3)求A =A -1。

|A |

更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法（A,E) 逆矩阵的运算性质

(1)若A 可逆, 则A -1亦可逆, 且(A -1)=A

-1

(2)若A 可逆, 数λ≠0, 则λA 可逆, 且(λA )

-1

=

1

A -1。

（以上证明(3)若A , B 为同阶方阵且均可逆, 则AB 亦可逆, 且(AB ) -1=B -1A -1。

见课本P43）

(4)若A 可逆, 则A T 亦可逆, 且(A T )=(A -1)。

-1

T

(5)若A 可逆, 则有A -1

总结

逆矩阵的计算方法

=A 。

-1

A *

(1)待定系数法；(2)利用公式A =；(3)初等变换法(下一章介绍)

A

-1

第四节 矩阵分块法

矩阵分块 将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。 分块矩阵的运算规则 加法 A 与B 同型，且A 、B 的分块方法相同，则A 与B 的和定义为对应子块相加。 数乘

λA =(λA ij ) 。

⎛A

设A = 11

⎝A 21

A 12A 22

T ⎛A 11

A 13⎫ T T

, 则A =A 12⎪ A 23⎭T A 13

⎝

T ⎫A 21T ⎪A 22

⎪。(先外转再内转) T ⎪A 23⎭

转置

乘法 首先AB 有意义，其次A 的列的分法与B 的行的分法相同。

设A 为m ⨯l 矩阵, B 为l ⨯n 矩阵, 分块成

⎛B 1⎫ ⎪B

A =(A 1, A 2, A t )(即列向量组), B = 2⎪(即行向量组)

⎪ ⎪⎝B n ⎭

，

⎛C 11 C 1r ⎫ ⎪

⎪，其中A i 1, A i 2, , A it 的列数分别等于B 1j , B 2j , , B tj 的行数, 那么AB =

C C ⎪

sr ⎭⎝s 1其中C ij =∑A ik B kj

k =1t

(i =1, , s ; j =1, , r )。

结论

分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。

分块对角阵（准对角矩阵）

设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，

⎛A 1

且非零子块都是方阵，即A =

⎝

有：

A 2

⎫⎪

⎪，其中A (i =1,2, s )都是方阵，则

i

⎪

⎪A s ⎭

1) A =A 1A 2 A s 。

⎛A 1

2) 若每个A i ≠0, 则A 可逆, 且有A =

⎝

A 2

⎫⎪⎪⎪

⎪A s ⎪⎭

，

-1

A 可逆⇔A i 可逆i =1, 2, , s 且A -1=diag (A 1-1, A 2, , A s -1)（）

（课本P ？）

有用的结论设A A =O, 则A =O （证明见课本P?

线性方程组的分块表示

T

）

⎧a 11x 1+a 12x 2+... +a 1n x n =b 1

⎪a x +a x +... +a x =b ⎪2112222n n 2

线性方程组⎨，

..................................... ⎪⎪⎩a m1x 1+a m2x 2+... +a m n x n =b n ⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎛a 11 ⎪ ⎪ x b a

记A =(a ij ), x = 2⎪, b = 2⎪, B = 21

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x b ⎝n ⎭⎝m ⎭⎝a m 1

分块表示为：B =(A , b ) 或B =(a 1, a 2,..., a n , b )

a 12a 22

... a 1n ... a 2n

a m 2... a mn

b 1⎫

⎪b 2⎪

， ⎪⎪b m ⎭

其中A 为系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。增广矩阵可以