逆向思维在数学中的培养与运用论文

逆向思维在数学中的培养与运用 勐腊县勐捧镇勐润小学 姓名:杜金花

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摘 要

逆向思维能力是创造型人才必须具备的基本能力，是进行思维训练的载体，加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生的思维能力和创新意识。同时逆向思维思维是数学中的一种重要的解题思想，它在公式、定理、定义都有体现，它是学生解题的新思路，这种思路改变传统的思维，从另一个角度解决问题，使问题大大的简化，加强学生逆向思维能将学生的学习效率、解题效率进一步提高，所以逆向思维是数学思维中必不可缺少的一部分。本文主要论述如何培养学生的逆向思维能力，以及数学教学中如何运用逆向思维分析和解决问题。

关键词：逆向思维 数学 培养 应用

ABSTRACT

Reverse thinking ability is the creative talent must have the basic ability, is the carrier of thinking training, strengthen the cultivation of from positive thinking to reverse thinking, can effectively improve the students' thinking ability and innovation consciousness. And reverse thinking, thinking is a kind of important ideas in solving problems in mathematics, it has an embodied in the formula, theorem, definitions, and it is the new way of thinking that the

students' problem solving, this line of thinking to change the traditional thinking, and solve the problem from another Angle, making the problem greatly simplified, strengthen students reverse thinking to the students' learning efficiency, to further improve the problem solving efficiency, so the reverse thinking is the essential part of the less mathematical thinking. This paper mainly discusses how to develop the students' ability of reverse thinking, and how to use reverse thinking in mathematics teaching analysis and solve the problem.

Key words:Reverse thinking； Mathematical ； Develop

application

引言

敢于“反其道而思之”，让思维向相对相反的方向发展，当我们遇到问题时，从它的对立面进行探索，有与众不同的思想，寻找新的方法。当每一个人都朝着通一个方向前进思考问题时，而你却与众不同向相反的方向思考问题，这样的思维方式就叫逆向思维。人们习惯于沿着事物正面发展的方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊或者复杂的问题，从结果倒推回去，反过来思考问题，从结果回到最初的条件，反过来倒着寻找答案，结果或者会比你原来的更加简便。

1.

逆向思维定义

2.1正向思维与逆向思维区别

逆向思维是数学中的一种常规思维，是数学中不可缺少的一种的重要的思维方式逆思维和正向思维最大区别就在于一个“反”，就是求异思维，它是对常规的，司空见惯的定论的事物或观点、想法反过来思考的一种思维方式。从思维的反面的看待问题，从新的角度看待问题，树立新的思想，从固定思维的反面思考，这样就是逆向思维。

数学教学中，对正向思维训练和能力的培养是经常的、大量的，也是必要的，但容易成“思维定式”，可见对逆向思维的训练、能力的培养，显然不可忽视。有些数学问题，尤其是一些特殊问题，从结论入手，逆向思考，从求解回到已知条件，反过去会把问题简单化，就会使问题简单化，是问题易得到解。逆向思维是一种发散的思维，逆向思维是思想上的一种创新，与正向思维相辅相成，缺一不可，都应该学习。

在一般的数学教材中，运用逆向思维来处理的内容很少，学生逆向思维的能力很差遇到问题不会灵活处理问题。他们的思维活动长期处于正向定势思维活动之中，因此，给出一个数学问题以后，他们总是想方设法通过正向思维去思考问题的解决。但是，有很多数学问题在这种情况很难获得解决，如果改变一下思维方式，逆向思考就会使问题很容易得到解决，甚至可以得出一些新的方法。由此可见，在数学学习的过程中，教师应该注意学生逆向思维的培养，这样就能使得学生能够更加灵活地去解决数学问

题。

2.2逆向思维在生活中优越性

在大力倡导素质教育的今天，逆向思维能力的培养对于提高学生的思维能力，养素质人才也有十分重要的意义，这种思维方式在生活中也有很大的帮助。例如我从所周知司马光砸缸的故意，就是生活中一个大家所熟知的例子。生活中无处不体现出逆向思维的应用价值与好吃，我们应该在传统的思维方式上，还具有一些逆向思维方式，认真思考事物的本质特征，适当的运用一些逆向思维观察，培养自己的多想思维能力。

2. 逆向思维的培养

3.1影响学生思维定势的原因

不管是小学初中还是高中，逆向思维都是我们学生应该掌握的一个解题的思想和方法大多数学生都不知道什么时候转化为逆向思维解题，它是从一个方面其作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化有一定的困难性，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向不能代替逆向思维的训练，需要我们从某些特定方面多做引导。

多数的老师以“建立定理——证明定理——运用定理”这三部曲或采用“类型+方法的传统教学模式进行教学，忽视了逆向思维的培养与训练，使得学生不能迅速的而准确地正向思维转向逆向思维，简化作题步骤，这样，学生往往也就形成了一种思维定势，无法进行有效的逆向思考。

3.2如何在教学中培养学生的逆向思维

逆向思维的特点有双向性和可逆性，逆向思考是人们思想进步的一种体现，它人类进步的一种的体现，与自己习惯恰恰相反。

从数学角度来看，互为对称关系、正逆运算、正逆定理、正逆概念 ,正向或逆应用公式、 法则、 综合性与分析法、 反证法等，每一种情祝都要重新调整心理过程的方向，从正面思维建立逆向思维。初中学生(尤其初一学生) 思维发展中所表 现的思维方向水平是不同的，最初只能是单向的，没有相反的思维 , 以后才逐渐形成思维的可逆性和反复性 。一些教学能力强的学生，在推理过程中往往表现出自如的可逆思维品质。对于能力差的学生来说，要形成这种可逆的心理过程是非常困难。

3.2.1小学阶段

小学阶段，学生的思维已经有了一定的逆向性，学生是思维已达到了抽象推的水平，因此，在教学的课堂中，小学老师应该采取适当的教学方法来激发学生逆向思维的兴趣。比如：引入故事，调动学生的积极性，引发学生的兴趣，司马光砸缸的故事，是“人离开水”变成“水离开人”，由此引发学生的逆向思维兴趣。从互为关系中加强学生的逆向思维能力，互为倒数、乘除法，加减法中引导学生。

3.2.2初中、高中阶段

1、 从数学最基础中定义、概念中运用

数学概念的学习对学生来说理解难度大。如果教师在教学之

初，仅注重对概念的一个方面进行教学，学生在今后的应用中也会只单一的重视从这一方面进行思考。学生没有完整掌握概念的内容， 就容易导致理解的偏差，从而影响数学学习。这就要求教师在对于数学概念的教学中， 注重从正反两方面进行教学，使学生同时理解概念的正、逆两种形式。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的，当学习一个新概念时，如果能让学生学从正逆两个方面去理解、运用定义，这不仅会加深概念的理解，而且能培养学生双向考虑问题的良好习惯。

一个数学概念的正确理解，一个运算法则的熟练运用，仅靠正向思维是远远不能解决的，在教学中往往要通过逆向思维方面的练习来加深理解。

例如（1）：53的绝对值（ ），-53的绝对值（ ）。（正向思维） 44

（2）：一个的绝对值是5，这样的数有（ ）是（ ）。（逆向思维）

2、定理、公式的逆运用

同数学概念的教学一样，老师在教学过程中对数学公式、定理也要应有意识地引导和培养学生逆向思维的意识和习惯，帮助学生不仅能想到正向思维，也要在如何时候都做到正、逆双向思维转化，克服长期思维习惯导致的一成不变的思维，从而提高学生的多面数学思维的能力。

例如：化简：3⨯5⨯17⨯⋅⋅⋅⋅⋅(22+1)

解：原式= (2+1)(22+1)(22+1) ⋅⋅⋅(22+1)

2n n 34

22-124+128-122-12n +1= ⨯2⨯4⋅⋅⋅2n =2-1 2-12-12-12-1n +1

此题的解法在于巧妙的利用平方差公式：(a +b )(a -b ) =a 2-b 2的变a 2-b 2型a +b =a -b 。

3、 运用运算与变换的可逆性进行逆向思维培养

数学中的各种变换与运算是正、逆交替的，如映射与逆映射、函数与反数、指数函数与对数函数等, 它们都可以相互转化。

比较l og 20032004与log 20042005的大小

2004⨯2003 2003

=1+log 20032004例 解：因为l og 20032004=log 2003

2005⨯20042005=1+l og [1**********]4 [1**********]4令x =l og 2003, y =l og 2004, 则2003x =, [1**********]3log 20042005=log 2004

2004y =[1**********]5, 又>, 所以2003x >2004y . 若[1**********]4

x

论矛盾，所以x>y.即l og 20032004>log 20042005

4、 逆向思维能力在法则教学的运用

在遇到计算题或证明题时，经常需要公式或法则的变形后运用各种运算则换算问题，如分裂 项变形、加减项变形、乘除项变形等。

解：∴1+1+3=(

3)

逆用公式加减法的运算定法则ad ±bc =a ±c bd b d

∴易得出原式=1

5、 从等与不等中相互转化中培养逆向思维

“相等”与“不等”在某种情况下，它们可以相互转化，这种转化能使许难题得以化解。

例 设x 1, x 2, x 3, x 4, x 5为自然数，已知x 1

x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=132，求x 1+x 2+x 3的最大值。

分析: 显然一个一个地凑是不现实的，若把132 与5个变量联系起来，根据5个变量的大小关系，可考虑把相等向不等转化。 解：

x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≥x 1+(x 1+1)+(x 1+2)+(x 1+3)

122+(x 1+4)=5x 1+10，即132≥5x 1+10, ∴x 1≤5

又∵x 1是自然数，∴x 1取最大值24，24+x 2+

(x 2+1)+(x 2+2)+(x 2+13)=4x 2+30, 即132 51≥4x 2+30，∴x 2≤，∴x 2=25，同理x 3=262

∴x 1+x 2+x 3=75

老师在数学教学中要根据问题的实际情况，在强调常规数学思维的同时也要注意逆向思维的讲解，往往能使很多问题简单化，对培养和加强学生的数学思维能力，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的解答实际题能力和创新能力更有重要的意义。这样就能进一步的提高学生逆向思维的能力。

3.

逆向思维在数学中的应用

4.1小学中的应用

小学数学中的难点就在于应用题，我们应该从反方向进行推理来解答应用题。

例：国庆期间，小刚要用3天的时间做完老师布置的作业，第一天做了1，第二天做余下的1多3题，第三天上午又做了余32

下的3，这时还剩下1题没有做，一共有多少道数学题？ 4

分析：这道题中的单位“1”比较多，而且难以统一，我们可以运用逆向思维的解法根据“第三天上午又做了余下的3，这4

3（1-）=4时还剩下1题没有做”，可以求出第二天做的数学题：1÷4

题，再由“第二天做了余下的1多3题”可以求出第一天做好后2

1（4+3）÷（1-）=14，最后由“第一天做了还剩14”就剩下的题：213

可以求出又几道题。

4.2中学中的应用

例1：已知奇函数f (x )在定义域(-1,1)内单调天递减，

且f (1-a )+f (1+a 2)

解：由f (x )的定义域

{-1

-1

1 ⇒0

又已知不等式得：f (1-a )≤f (1-a 2)

f (1-a )

∴1-a>a2-1

解得：-2

故值集为{0

例2：已知正数 a、b 、c 成等差数列，求证：a 2-bc 、b 2-ac 、c 2-ab 也是成等差数列。

分析：要证明原结论正确，只需证2(b2-ac) =a 2-bc +c 2-ab ，即证明 2b 2+(a+c)b =(a+c) 2。又2b =a +c ，所以上式成立，于是原结论成立。

5．结束语

总之，数学逆向思维能力的培养要靠教师有意识地长期不懈的努力。引导学生从多方面、多角度去思考问题，跳出思维的封闭状态，培养学生思维的广阔性、灵活性、目的性、创造性，要从数学教学中不断的指导学生，这是一个积累的过程，不是一朝一夕能实习，要从小就开始逐渐培养。

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