湘教版八年级数学上册第5章二次根式

鱼市中学八年级数学上册导学案

第5章 二次根式

第1课时

5.1二次根式

课题：5.1二次根式 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人：

备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月3日 学习目标：

A层、了解二次根式概念；B层、理解二次根式有意义的条件；C层、掌握二次根式的性质。 学习重点：二次根式a的有关运算。学习难点：a2与(a)的区别及运用。

2

导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、我们学习了平方根（二次根式）、算术平方根，例如：0的平方根是 ，9的算术平方根是 ，非负数a的算术平方根是 ，其中a叫 . 2、二次根式在现实生活中有很重要的意义。比如意大利物理学家家伽利略在比萨斜塔上做过著名的自由落体实验，在这个实验之前，人们都地认罚为物体下落的速度与物体本身的质量（重量）有关，误以为物体越重下落的速度越快。伽利略通过研究发现，不同质量的物体从同一高度同时下落，其下落速度主要受地球的引力的作用，这两个不同质量的物体应该同时着地。实验结果证明伽利略的研究是正确的。伽利略用h

4.9

t

2

或t

体运动物体下落距离与下落时间之间的关系。t

二、自主学习 探究新知 1、阅读第155“说一说”，填空：（1） 叫二次根式， 叫被开方数； （2）正实数a 平方根，

，

2、只有被开方数a是母 分式才有意义、除数 才除式的意义等等。

3、判断下列实数有无平方根，若有请写出其平方根：8（ ）、0（ ）、－4（ ） 4、要使一个实数有平方根，这个被开方的实数必须是非负实数。同样，只有被开方数是非负实数或被开方式不小于0

5、师生共探例1后填空：下列二次根式在非负实数范围内有意义，求x的取值范围：

则

6、若2x6有意义，化简x4－7x（即.2x6在

三、精讲点拨 精练提升

1、对于非负实数a 一定有：(a)2（0）；a2＝（）. 2、阅读第156面“做一做”，想：

a2与(a)2的区别是

2、师生共探例2、例3后计算：(5)22

2

）210)2=

(3.14) (3.14)＝

2

＝

3、第157面“议一议”。（1）(a)2与a2的意义是不同的；（2）(a)2中的a是非负实数，即a≥0时(a)2=a；a2中的a也是非负实数（a≥0），由于底数a可以为任意实数（负实数、0、正实数），因为任意实数的平方一定是非负实数，即a≥0时a2＝a. 四、达标检测 当堂过关

A层：1、二次根式有意义的条件是2、若a≥0，则a2＝，(a)2＝

（其中 叫算术平方根） 3、当x取什么值时，下列代数式有意义？x+3x2

2x6

x1

2

B层：1.已知 a1+b=0，则 若m>2,化简(2m)2.若2x4有意义，则x的取值范围是

3、若

2x1

有意义，则x的取值范围是 。 x1

2

4.若(a3)=3-a, 则a与3的大小关系是。

C层：若a、b都是任意实数，试计算a+ab的值。

五、布置作业 知识延伸 完成第157面练习。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

2

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第5章 二次根式

第2课时

5.1二次根式

课题：5.1二次根式 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人：

备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月4日 学习目标：

A层、掌握最简二次根式的概念；

B层、学习化简二次根式的方法，能熟练化简二次根式；

C层、理解二次根式最后的化简结果中被开方数不能含分母、不能存在还可以开方的因数。 学习重点：二次根式的化简。

学习难点：把握二次根式最简结果的一般形式。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1

2

、若xy3



m3

2

的解集也是不等式x2的解集，求m的取值范围。

2

m

中x、y的值都不小于1，求m的取值范围。

3、读第157面的“动脑筋”，了解二次根式开方的计算方法。一般地，当a、b为非负实数 即 、 时，

 ＝

2

2

2

二、自主学习 探究新知 1、当a0,b

0，则由



2

4、例5后识记：（1）化简二次根式时，最后的结果要求被

（2）二次根式下的被开方数不能含分母，



三、精讲点拨 精练提升

1、某非负实数a如果等于两个非负实数b与c

如果b

m

2

,c

n



2



mn

2、根据上面的方法化简下列二次根式：

3、化简二次根式时，如果被开方数含有分母，必须将分母开到根式外面来，最简二次根式

被开方数不能含分母。比如当a,b

0

4、根据上面的方法化简下列二次根式：



4、归纳总结。二次根式下的被开方数必须开尽，且不能含有分母。

四、达标检测 当堂过关

A层：1、下列式子，x≥0，y•≥0时，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

11

x>0）

x

x

y

2、当x是多少时，（1

（2

B层：（1）若

C层：

；

2

1

在实数范围内有意义？ x1

，求

x201342014

； （2

，求a+b． y

2222

；

（ ；

；（

；22

4

五、布置作业 知识延伸 完成第159面练习。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

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第5章 二次根式

第3课时

5.2二次根式的乘法和除法

课题：5.2二次根式的乘法和除法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月5日 学习目标：

A层、运用类比的方法，掌握二次根式的乘法法则； B层、能熟练地进行二次根式乘法运算； C层、掌握二次根式乘法的应用。

学习重点：能熟练地进行二次根式乘法运算。 学习难点：熟练运用二次根式乘法解决实际问题。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、填空：若a≥0，则a＝(a)＝

若a≥0，b

0 ·

2

2

2

＝

＝

＝

＝

二、自主学习 探究新知 1、阅读第161面“说一说”，引入二次根式的乘法。若a≥0，b0，则可以进行二次根式



 2、师生共探例1

3、归纳：两个二次根式相乘，就等于二次根式下的两个因数相乘，然后再开方。

4、探究例2.二次根式乘法还可以这样计算：根号外的数字在根号外相乘，根号内的数字在根号内相乘，根号内开方出来的数再与外面的数字相乘。比如：

3225 8

2131

2 20()48 43223

三、精讲点拨 精练提升

1、师生共探例3后计算：已知长方形的长与宽分别是 和4，求它的面积。

19x231

a0.25a2 2、23 2a xy

2452

3、已知三角形的一条边为cm，这条边上的高为22cm，求该三角形的面积。

四、达标检测 当堂过关

A层：计算。6  3326 52



 2(3)4 24 34 432

8



B层：1、0.270.03 2aa（≥0）的结果是 2、若a是一个整数，那么最小的正整数a为（ ） 3、计算：

21

22

322=

3= 22=

21=



C层：1、若一个长方体的长为26cm，宽为3cm，高为2cm、求它的体积。

2、我们赋予“※”一个实际意义，规定a※b=a

五、布置作业 知识延伸 完成第162面练习。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

a

，试求3※5的值。 b

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第5章 二次根式

第4课时

5.2二次根式的乘法和除法

课题：5. 2二次根式的乘法和除法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月8日 学习目标：

A层、进一步掌握二次根式的乘法法则，运用法则化简二次根式； B层、在熟练掌握二次根式乘法运算法则基础上进行计算； C层、运用二次根式的乘法法则解决简单问题。

学习重点：利用二次根式乘法解决实际问题。学习难点：二次根式乘法运算。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1

2

x的取值范围是

二、自主学习 探究新知

1、

计算：((

中x的取值范围是

2



2、探究第162面“动脑筋”，

a＞0，b0）



3、探究例4归纳：二次根式分母不能含有根号，



7 5



为错，





对吗？） 4

a＞0，b

0a＞0，b0）吗？探究例5 

5

三、精讲点拨 精练提升 1

、后计算：

(

(

(( 2、当a≥0,b≥0时，化简：

(2) ；(3)



3、归纳总结。能先算的要先算；还要尽可能地将二次根号里面的数开到根号外面来。

四、达标检测 当堂过关

=________．

2

=_______

．

A层：1、计算。

（

=_________

2、长方形长

________；若x>0，

y>0

＝

3

1

B层：计算： 2a

2

1

（- ×

2m

）33

×（-2

）×3

C层：1

=

，求x的取值范围。

2、若把根号外的因式移到根号内，则

五、布置作业 知识延伸 完成第164面练习。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

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第5章 二次根式

第5课时

5.2二次根式的乘法和除法

课题：5. 2二次根式的乘法和除法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月9日 学习目标：

A层、利用算术平方根互逆的性质进行二次根式的乘法运算； B层、通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算； C层、培养逆向思维能力。

学习重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 学习难点：二次根式乘法结果的化简。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1

a元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（你认为下列哪一种算法较为合理？）

≈7.3×2.4=17.52a

18a (元)

2、根号外面的数能够算的要先算，二次根式号下的被开方数要尽可能地开到根号外面来。

二、自主学习 探究新知 1

＝

（2

2、化简。

(

5

5

3、求使等式x1x1

x21成立的x取值范围。

三、精讲点拨 精练提升

1、如图，AD是△ABC底边BC的中线，已知BC=

AD=

试求△ABD的周长和面积。 分析：根据三角形中线的性质可得BD DC，即BD＝ BC＝ A AD与BD的位置关系是 ，即∠ADB＝ 那么，△ABD的面积就等于

B D C 现在已知AD、BD的长，要求△ABD的周长，还得先求AB的长。 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边平方之和。即

2、不求值比较的大小 （1

） （2

解：（1）方法1

由于

ABADBD



222



2

22

2

45

20，

2

32

2

9

2

9218，即

（2）

3、比较（1

）（2

）（3

）-的大小

四、达标检测 当堂过关

A层：1、不求值，比较大小：



2

、一个矩形的长和宽分别为

,则这个矩形的面积为cm2

（

, (2) B层：计算：（1

）



((

( C层：等腰梯形ABCD

底角为60

cm,求等腰梯形的面积。

五、布置作业 知识延伸 完成第165面习题A. 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

AB

C

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第5章 二次根式

第6课时

5.2二次根式的乘法和除法

课题：5.2二次根式的乘法和除法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月10日 学习目标：

A层、运用类比的方法，掌握二次根式的除法法则； B层、能熟练地进行二次根式乘除法运算； C层、掌握二次根式除法的应用。

学习重点：二次根式乘除法运算。学习难点：熟练运用二次根式除法解决简单问题。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1

2

二、自主学习 探究新知 1

（导入课题） 3其实就是运用了二次根式除法的法则。

＝

＝ 2、师生共探例5

＝

3、乘除法的法则适用于二次根式，比、分式的性质也适用于二次根式。师生共探例6. 4、化简：

564

164329

6 5244

5

三、精讲点拨 精练提升

1、有理数乘除法的运算法则同样适用于二次根式的乘除法混合运算。除以一个数2、从左至右依次运算： 32

13682 2

322 212

3

(

) )

4、已知实数a，b满足4ab11

2

11b4a30，求aab 3a

5

、已知方程xy，且x,y都不大于1，求m的取值范围。

3x2ym

6、归纳总结：二次根式乘除法是按照有理数乘除法的法则来计算的。

四、达标检测 当堂过关 A层：1、填空。

aa b0）

2

9

， 25 3

5

642＝

2、计算。2＝ 

2515＝ ＝ ＝ 163169

B层： 82

3

y

y

＝

2426

＝

1

20

6xy

2

3x 32x 5y



262181212

24()(2)() 2 3721512335

2x4xmC层：1

、方程m的值。



xm5xm

2、当a3，b4时，求下列各式的值：五、布置作业 知识延伸

完成第166面习题B. 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

a3bab

2

20ab5a

5

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第5章 二次根式

第7课时

5.2二次根式的乘法和除法

课题：5.2二次根式的乘法和除法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月11日 学习目标：

A层、运用二次根式乘除法的法则进行计算； B层、熟练地进行二次根式乘除混合运算；

C层、掌握利用二次根式乘除法解决简单问题的方法。 学习重点：利用法则进行二次根式乘除法混合运算。 学习难点：熟练运用二次根式乘除法解决简单问题。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1

的关系：当a＞0时，

互为倒数。

2、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。这个法则也适用于实数，例如

3 × ＝

＝

二、自主学习 探究新知 1、当a0，

b0

 b2

 



3

(

(



(

三、精讲点拨 精练提升

(1、

快速计算。



2、如图，E、F、H、M分别是菱形ABCD的四边中点，连结EF、FH、HM、ME，（1）求证四边形EFHM是矩形。 （2）已知菱形ABCD

DMA

HC

E

BF

对角线AC

的长为。

试问：菱形ABCD的对角线BD的长是多少？矩形EFHM的面积是多少？

1解：∵AC·

∴

DB=

AC2∵E、F、H、M分别是菱形ABCD的四边中点 ∴MH=

1111

AC= ·

DB=·

2222

MHME

3、归纳总结。（1）法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”适用实数的乘除法。

（2）二次根式有如下两个特点：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

四、达标检测 当堂过关 A层：直接写成最简二次根式：

∴S矩形

=

= ＝

B

层：计算。(＝

a



3

C

(

+

）

）的值

五、布置作业 知识延伸

a

2时， 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

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第5章 二次根式

第8课时

5.3二次根式的加法和减法

课题：5.3二次根式的加法和减法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月12日 学习目标：

A层、在理解有理数加减法运算的基础上掌握二次根式的加法和减法的计算法则； B层、能熟练地进行二次根式加减法运算； C层、运用根式加减法解决简单问题。

学习重点：能熟练地进行二次根式加减法运算。 学习难点：运用二次根式加减法解决实际问题。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、已知任意实数x,y

2、区别根式运算的或只取正不取负：开平方有正负（平方根有正负），如：4的平方根为 若

(x8)

2

求x0，

y

x

2

a，（a＞0）

，则x，比如x1，则x，x2，则x

22

绝对值：若xa，则xa（a0）如：若x3，则x

，若xx

6 2



 ＝4

实数a

5的算术平方根为





3

二、自主学习 探究新知

1、自主学习第167面“说一说”和“动脑筋”，了解二次根式加减法的运算法则。 2、师生共探例1后计算：63 36=

322

27

4911

 2 3

3228

2372 5227 32420

3、师生共探2

111112 53 2248833332

三、精讲点拨 精练提升

1

、长方形的长是

周长： 面积： 长宽比：

2、先求（1）2－1+3－2+4－3+5－4„„+97－96+98－97+99－98+100－99的值， 再求（2

）1)

„„的值。

3、二次根式的加减法运算法则与有理数加减法的运算法则一样，即同类项相加减。

四、达标检测 当堂过关 A层：计算。2 492 34 B层：

9827 227 20

752



5748  32440274

C层：当a,b

为非负实数时，4)

五、布置作业 知识延伸 完成第169面练习。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：



14)

2

0

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第5章 二次根式

第9课时

5.3二次根式的加法和减法

课题：5.3二次根式的加法和减法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月15日 学习目标：

A层、进一步理解和掌握二次根式加减的方法； B层、二次根式的计算和化简；

C层、利用二次根式加减法的运算规律简单问题。 学习重点：二次根式化简为最简根式。 学习难点：会判定是否是最简二次根式。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、、探究例2后计算：

2、二次根式相加减，先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类的二次根式进行合并。

二、自主学习 探究新知 1

 + ＝ 2

、计算：

3

、以下二次根式：①

；③

是同类二次根式的是

（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 4、下列各式：①

1

7

其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5、探究第169面“动脑筋”，进行比较复杂的根式运算：

（6-27）÷3



三、精讲点拨 精练提升

1、最简二次根式分母里不能含有根式，探究例3

后计算：

2

2.236

3、归纳总结。

四、达标检测 当堂过关 A层：1

、在

）的值．（结果精确到0.01）

、

、

是

同类二次根式的有__ ___． 2、计算二次根式

B层：1、计算。

2

xy50，求

C

层：先化简，再求值。

五、布置作业 知识延伸 完成第171面练习第1题。 六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

+

的值．

15． ，其中x,y

228

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第5章 二次根式

第10课时

5.3二次根式的加法和减法

课题：5.3二次根式的加法和减法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月16日 学习目标： A层、； B层、； C层、。 学习重点：。 学习难点：。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、 2、

二、自主学习 探究新知 1、（2+1）（2-1） （4-5）

2

如（3-2）＝

2

2、

三、精讲点拨 精练提升 1、 2、

3、归纳总结。

四、达标检测 当堂过关 A层： B层：

C层：

五、布置作业 知识延伸 完成第面练习。

六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

鱼市中学八年级数学上册导学案

第5章 二次根式

第11课时

5.3二次根式的加法和减法

课题：5.3二次根式的加法和减法 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月16日 学习目标： A层、； B层、； C层、。 学习重点：。 学习难点：。 导学过程:

一、回顾已知 引入新课 1、 2、

二、自主学习 探究新知 1、 2、

三、精讲点拨 精练提升 1、 2、

3、归纳总结。

四、达标检测 当堂过关 A层： B层：

C层：

五、布置作业 知识延伸 完成第面练习。

六、课后反思 教学相长 我的收获：

存在疑惑：

鱼市中学八年级数学上册导学案

第5章 二次根式

第12课时

5.3二次根式混合运算

课题：5.3二次根式混合运算 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月16日 学习目标：

A层、；

B层、；

C层、。

学习重点：。

学习难点：。

导学过程:

一、回顾已知 引入新课

1、

2、

二、自主学习 探究新知

1、

2、

三、精讲点拨 精练提升

1、

2、

3、归纳总结。

四、达标检测 当堂过关

A层：

B层：

C层：

五、布置作业 知识延伸

完成第面练习。

六、课后反思 教学相长

我的收获：

存在疑惑：

鱼市中学八年级数学上册导学案

第5章 二次根式

第10课时

5.3二次根式混合运算

课题：5.3二次根式混合运算 课型：新授 授课班级：142、143、144班 审核人： 备课人：唐思梁、吴沅林 参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波 2014年12月16日 学习目标：

A层、；

B层、；

C层、。

学习重点：。

学习难点：。

导学过程:

一、回顾已知 引入新课

1、

2、

二、自主学习 探究新知

1、

2、

三、精讲点拨 精练提升

1、

2、

3、归纳总结。

四、达标检测 当堂过关

A层：

B层：

C层：

五、布置作业 知识延伸

完成第面练习。

六、课后反思 教学相长

我的收获：

存在疑惑：