第三节平面与平面所成的角
第三节 平面与平面所成的角
备课时间:
一、知识点梳理
1.定义:
二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角:过棱上同一点分别位于二面角的两个面内,且与棱同时垂直的两条射线所成的角
叫做二面角的平面角,二面角的取值范围是 .
注:二面角是空间图形,平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”,而应写成”AOB为二面角l的平面角”。 2.求法:几何法 向量法 公式法
(2)向量法:
①分别求出和的法向量m,n,则二面角l的大小为m,n或—m,n 用此法须知:
〈1〉需建空间直角坐标系,定准相应点的坐标
〈2〉通常容易找到一个面的法向量,只需通过二次垂直,求另一个平面的法向量 〈3〉当l为锐角时 (m为锐角)
或
—(m为钝角)
在平面内,BDEF,且BEF分别求出,,则
AEF
②在平面内
AC
即为二面角EF的大小
(3)公式法:
①设二面角
l
的大小为
,AB,CD,ABl,CDl,
令
ABm,CDn,BDd,则
注意:BA与DC所成的角一定与二面角的平面角大小相等,但不一定是异面直线BA和
CD所成角的大小。
②面积法: 设二面角l的平面内某一图形(一般取三角形)面积为S,该图形在平面上射影面积为S,二面角
l
的大小为
,则
SS
cos(为锐角)或cos(为钝角)
SS
二、典型例题
例1、如图,已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AA1面ABCD,
DAB60,ADAA1,F为棱AA1的中点, 1的中点,M为线段BD(1)求证:MF面BDD1B1; D(2)求面BFD1与面ABCD所成二面角的大小.
C1
A1 B1
M
F
C
E
例2、如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE。
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B—AC—E的大小;
例3、如图所示的几何体ABCD中,DA平面EAB,
CB//DA,EADAAB2CB,EAAB,M是EC的中点. (Ⅰ)求证:DMEB;
(Ⅱ)求二面角MBDA的余弦值.
例4、 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,AB//DC,DAB90,PA底面
1
,AB1,M是PB的中点 2
(Ⅰ)证明:面PAD面PCD;
(Ⅱ)求面AMC与面BMC ABCD,且PAADDC
例5、如图,三棱锥P—ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2, AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB. (I) 求证:AB平面PCB; (II) 求二面角C-PA-B的大小.
三、配套练习
P
D
EB
CA
F
1、如图:三棱锥A-BCD中,AC=AB=BD=DA=2,BC=CD=
。二面角B-AC-D大小为
C
线a与l所成角为1(090),与所成角为2,线a
,,直2、已知直
l大小为3则恒成立的是( )
A. cos2cos1cos3 B. sin2sin1sin3 C. sin3sin1sin2 D. cos3cos1cos2
3、如图,四边形BCEF、AFED都是矩形,且平面AFED平面BCEF,
ACF,
ABF,BACA.coscoscos B.sinsincos C.coscoscos
D.sinsincos
4、如图,四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求: ①二面角C-PD-B大小 ②设M、N分别为AD、PC中点,
试求MN与底面AC
及平面BDP所成的角 ③平面PAB与平面PCD所成二面角的大小
B
5、如图,四边形ABCD为直角梯形,AD//BC BAD=90˚,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点 ①求证:PBDM
②求BD与平面ADMN所成角的大小 ③求二面角A-PB-C
6、如图所示多面体是由底面为ABCDAB=4,
BC=2,C C1=3,BE=1 (补形成正方体)
①求BF
②求二面角A-EF-B
7、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱CC1上
①求证:AEBD
②当A1E与面BED所成角为多大时,面A1BD面EBD ③在(2)的结论下,求此时二面角A-A1D-E的大小
8.如图,在棱长AB=AD=2,AA1=3的长方体AC1中点E是平面BCC1B1上动点,点F是CD
的中点
①试确定E的位置,使D1E平面AB1F ②求二面角B1-AF-B的大小
9、 如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,
平面VAD底面ABCD (Ⅰ)证明:AB平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面DB
证明:以D
10、(2008年高考天津卷)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB3,
AD2,PA
2,PD∠PAB60
. (Ⅰ)证明AD平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角PBDA的大小. 11、(2008高考山东卷)如图,已知四棱锥P-ABCD, 底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,ABC60, E,F分别是BC, PC的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正
E—AF—C的余弦值.
P
A
D
B