振型有效质量与参与质量
1振型有效质量(系数)
对于刚性楼板的高楼模型，可以将楼层的质量集中到楼板处，以形成糖葫芦串结构。并且只关心“糖葫芦”水平向的两个平动自由度和一个扭转自由度。这样一来，当对其进行动力分析而需要设每个“糖葫芦”的质量时，就只需设其这三个方向的质量（两个平动方向均为其质量，扭转为其转动惯量）。并且，质量矩阵不采用一致质量矩阵，而采用集中质量矩阵。则其质量矩阵有如下的对角阵形式：
⎡m 1x
⎢⎢⎢⎢⎢[m ]=⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
m 1y
J 1z
. . .
m nx
m ny
⎤⎥⎥⎥⎥⎥
⎥ …………..(1) ⎥⎥⎥⎥⎥J nz ⎥⎦
式(1)中，m ix 、m iy 、J iz 分别为每个“糖葫芦”在x 、y 向的质量和扭转惯量。一般情况下，两个平动质量是相等的。
若对上述结构进行模态分析，便可以得到振型向量矩阵，并对其关于质量矩阵[m ]进行归一化得到归一化后的振型向量矩阵[Φ]：
[Φ]T [m ][Φ]=[E ]……………………………... …………………(2) ⎡φ11x
⎢φ⎢11y ⎢θ11z ⎢⎢. [Φ]=⎢.
⎢⎢. ⎢φ⎢1nx ⎢φ1ny ⎢θ⎣1nz
φ21x φ31x φ21y φ31y θ21z θ31z
. . .
. . .
. . . .
φ2nx φ3nx φ2ny φ3ny θ2nz θ3nz
. . . .
. φn 1x ⎤φn 1y ⎥⎥θn 1z ⎥
⎥. ⎥
. ⎥…………………….(3) ⎥. ⎥φnnx ⎥
⎥φnny ⎥. θnnz ⎥⎦
式(3)中φijx 、φijy 、θijz 分别为第i 振型第j 个“糖葫芦”在x 、y 方向上的位移和扭转角。
对于上述的“糖葫芦”串结构，每个节点处有三个方向的自由度，并且三个方向上的振型是相互独立的——也就是说，对于其任一振型，每个节点都最多只存在一个方向上的位移。因此，下面将仅讨论这种结构的一个方向上的振型有效质量：
可以将式(1)和式(3)表达成为如下形式：
⎡m 1
⎢⎢[m ]=⎢
⎢⎢⎢⎣
m 2
. 0
.
⎤
⎥0⎥
⎥…………………………. …………(4) ⎥. ⎥m n ⎥⎦.
⎡φ11φ21
⎢φ
⎢12φ22
[Φ]=⎢φ13φ23
⎢
. ⎢. ⎢⎣φ1n φ2n
.
⎥
. ⎥. φnn ⎥⎦
φn 1⎤φn 2⎥⎥
φn 3⎥…………………………………….(5)
由式(2)有：
[Φ]T [m ][Φ]=[E ]
两边同时右乘[Φ]-1后有：
[Φ]T [m ]=[Φ]-1
再边再同时左乘[Φ]有：
[Φ][Φ]T [m ]=[E ]
通过同样的方法(等式两边同时左乘或右乘一矩阵) 可以得到如下式：
{1}T [m ][Φ][Φ]T [m ]{1}={1}T [m ]{1}
将上式写成这样的形式：
([Φ]T [m ]{1})T ([Φ]T [m ]{1})={1}T [m ]{1}………….……(6)
于是，容易得到如下的非矩阵表达式：
∑(∑(m φ
i =1
j =1
n n
j ij
)) =∑m i ………………….. …………(7)
2
i =1
n
n
于是，有一天，Wilson 教授就将式(7)表达式中的(∑(m j φij )) 2定义为第i 阶
j =1
振型的有效质量，并且将(∑(m j φij )) /∑m i 定义为第i 阶振型的质量系数。并
2
j =1
i =1
n n
且，还将这个东东用于SAP2000和ETABS 程序中。
显然，所有振型的有效质量之和为结构的总质量（有自由度的质量之和），而所有振型的有效质量系数之和为1。并且，一般情况下，低阶振型的有效质量系数大，高阶振型的有效质量系数小。所有振型的有效质量系数之和等于1是非常重要的，这使得从不同模型中提出的不同振型数的有效质量系数之和具有可比性。
最后再强调一下振型有效质量的适用条件： 1) 只能针对“糖葫芦”串结构使用；
2) 计算得出的振型向量应该进行对于质量矩阵的归一化； 3) 质量矩阵为集中质量矩阵(对角矩阵) ； 4) 只有三个方向上的有效质量(系数) 。
2振型的参与质量(系数)
由于振型有效质量系数有诸多的限制条件，其并不适用于一般的结构(或任意的有限元模型) 。因此，需要进一步研究得到适用于任意结构的“广义质量(系数) ”，这就是接下来要介绍的振型参与质量(系数) 。
事实上，可以将式(6)中的{1}改为任意的表示方向的向量{d }，可以更大胆的将质量矩阵改为一致质量矩阵(当然，集中质量矩阵也是适用的) ，要知道，一致质量矩阵虽然不是对角矩阵，但却也是对称矩阵。这样，就可以得到如下的表达式：
([Φ]T [m ]{d })T ([Φ]T [m ]{d })={d }T [m ]{d }…….. ……….. ……(8)
由于这里有可能采用了一致质量矩阵，因此仍然采用矩阵形式来定义第i 阶振型参与质量：
([Φi ]T [m ]{d })2………………….. ……………….(9)
显然，式(9)所表达的振型参与质量的大小仍然要求振型是关于质量矩阵归一化的，为了使其适用任意的振型，可以将其写成如下的形式：
([Φi ]T [m ]{d })2
……………………………….(10) T
[Φi ][m ][Φi ]
因此，得到了式(10)所表达的振型参与质量，这个式子不要求持振型进行任意的归一化。另外，需要说明式(10)所表达的振型参与质量是{d }向量表示的方向上的参与质量。如果方向确定了，{d }也可以是乘以任意系数的方向，也就是说振型参与质量随{d }的改变(不改变方向，只改变大小) 而改变，不具有可比性。其此需要定义振型参与质量系数：
([Φi ]T [m ]{d })21
…………………………..(11) ⨯T T
[Φi ][m ][Φi ]{d }[m ]{d }
式(11)所表达的是第i 阶振型在方向{d }上的参与质量系数。从式(8)中可以看出，所有振型在方向{d }上的参与质量系数之和为1。
由于振型参与质量(系数) 是振型有效质量(系数) 的推广，因此我国的《抗规》和《高规》都对进行反应谱分析时的振型参与质量系数进行了规定——其和大于90%。
最后，需要强调一点，当要计算结构的“转动方向”方向的振型参与质量系数时，如果不采用一致质量矩阵，就需要手动输入关键结点上的转动惯量。所以，建议最好采用一致质量矩阵。目前，我还没有查看SAP2000的质量矩阵用的是哪一类质量矩阵，最好对其计算出的振型参与质量系数进行核实，以确保上述推导的正确性。
参考文献：
暂无