材料科学基础Chapter2A

第二章 固体结构（Solid Structure）

物质的聚集态: 气态（Gas）、液态（Liquid）、固态（Solid） 固态： 晶体（Crystal）、非晶体（Amorphous）

晶体结构与性能特点

晶体结构的基本特征：原子（或分子、离子）在三维空间 呈周期性重复排列（periodic repeated array） 即存在长程有序（long-range order） 晶体性能上两大特点：固定的熔点（melting point）, 各向异性（anisotropy）

NaCl

Note the regular rows of Pt atoms.

晶体 的宏 微观 几何 特征

※ 1 晶体学基础

（Fundamentals of crystallography）

周期性结构二要素:

(1) 周期性重复的内容结构基元 (2) 周期性重复的大小与方向，即平移矢量

周期性结构的研究方法—点阵理论:

将晶体中的结构基元(重复的内容)抽象为几何学 中的点,这些点按一定的方式在空间重复排列形成点 阵(由阵点组成)

一、晶体的空间点阵（Space lattice）

1. 空间点阵的概念 将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数学上的点来代表, 即可得到一个由无数几何点在三维空间排列成规则的阵列—空间点阵。 特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境(surrounding)

点阵必须具备的三个条件

点

阵点

阵

由点阵点在空间排布形成的图形 由重复单位抽象出的几何学上的点 点阵点所代表的重复单位的具体内容

结构基元

晶体结构 = 点阵 + 结构基元

晶体结构与点阵

lattice 点阵

structural motif 结构基元

Crystal structure 晶体结构

晶体结构 = 点阵 + 结构基元

晶体结构

点 阵

结构基元

+

直线点阵 所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。 所有点阵点分布在三维空间上。

点阵

平面点阵 空间点阵

2．晶胞（Unite cells）

代表性的基本单元（最小平行六面体）small repeat entities

选取晶胞的原则： Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性； Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多； Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。

晶胞几何描述

 c

 b

描述晶胞： • 棱边（点阵常数） • 晶轴间的夹角 • 点阵矢量

 a

晶胞体积

简单晶胞（初级晶胞）：只在平行六面体每个顶角上有一阵点

复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点

简单晶胞

体心晶胞

底心晶胞

面心晶胞

3.晶系与布拉菲点阵（Crystal System and Bravais Lattice）

七个晶系，14个布拉菲点阵

晶系 三斜 Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ 布拉菲点阵 简单三斜 晶系 六方 Hexagonal a1=a2＝a3≠c，α=β＝90º ， γ=120º 布拉菲点 阵 简单六方

单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º ≠β

简

单单斜 底心单斜

四方（正方）Tetragonal a=b≠c, α=β=γ＝90º

菱方 Rhombohedral a=b=c, α=β=γ≠90º

简单四方 体心四方

简单菱方

正交 Orthorhombic a≠b≠c，α=β=γ＝90º

简单正交 底心正交 体心正交 面心正交

立方 Cubic a=b=c， α=β=γ＝90º

简单立方 体心立方 面心立方

三斜 Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ

简单三斜 单斜 Monoclinic a≠b≠c， α=γ=90º≠β

简单单斜

底心单斜

正交 Orthorhombic a≠b≠c，α=β=γ＝90º

简单正交

体心正交

底心正交

面心正交

六方 Hexagonal a1=a2＝a3≠c，α=β＝90º ， γ=120º

菱方 Rhombohedral a=b＝c，α=β＝γ ≠ 90º

简单六方

简单菱方

四方（正方）Tetragonal a=b≠c, α=β=γ＝90º

简单四方

体心四方

立方 Cubic a=b=c， α=β=γ＝90º

简单立方

体心立方

面心立方

4.

晶体结构与空间点阵

具有相同点阵的晶体结构（左：Cu；中：NaCl；右：CaF2

晶体结构相似而点阵不同（左：Cr；右：CsCl）

下列晶体结构如何抽象成点阵？

Mn

(立方简单)

Li Na K Cr Mo W…...

(立方体心)

以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.

下列晶体结构如何抽象成点阵？

结点位置的表示

点阵的结点位置是以它们的坐标值来表示的。

000,010,001,100,101,110,011,111

000,010,001,100,101,110,011,111 ½½½

结点位置的表示

点阵的结点位置是以它们的坐标值来表示的。

000,010,001,100,101,110,011,111 000,010,001,100,101,110,011,111 ½½½ ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½ ½ ½ 1, ½ 1 ½, 1 ½ ½

二、晶向指数和晶面指数 （Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes）

1．阵点坐标 2. 晶向指数（Orientation index）

求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z）， 若某一坐标值为负，则在其上加一负号。 4） 将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）

晶向举例

晶向指数的确定 2

1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若平移晶 向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方 。

晶向族：具有等同性能的晶向归并而成；

* 指数看特征，正负看走向

3.晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）

在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多样的. 不同的划法划出的晶面(点阵面)的阵点密度是 不相同的. 意味着不同面上的作用力不相同. 所以给不同面以相应的指标(hkl)

。

为什么区分晶面？

(A) 确定晶体结构 (B) 塑性变形

(C) 传输特性

• 石墨: sp2 面上热传导能力强

(D) 表述晶体学特征

Example 1

如何确定晶面指数？

Planes intersects axes at: • a axis at r= 2 • b axis at s= 4/3 • c axis at t= 1/2

如何标记这个面？

可能性1: 用括号（）标记 (r s t)

优点： • r, s, t 特指晶体中的某晶面 • （）代表晶面指数，和[...]区分 缺点: • 当晶面与坐标轴平行时，截距为∞！ • 上述标记不方便.

如何确定晶面指数？(2)

坐标轴上的截距: • a axis at r= 2 • b axis at s= 4/3 • c axis at t= 1/2 : 1/r = 1/2 , 1/s = ¾ ，1/r = 2 (238)

当晶面与某坐标轴平行时，0

晶面指数的求法

1）

在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三

棱边为三坐标轴x，y，z

2） 以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐 标轴上的截距。 若某一截距为负，则在其上加一负号。 3） 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并 加以圆括号（h k l）即是。

（代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行）

晶面指数的标记例1

（1）截距r、s、t分别为3，3，5

（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 （3）最小公倍数15，

z

（4）于是，1/r，1/s，1/t分别 乘15得到5，5，3，

因此，晶面指标为（553）。

c a

b

y

x

我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。

晶面指数的标记例2

1

晶面族

 晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互 平行的晶面。  在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是 空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族， 以{h k l}表示

 晶面族代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。

 晶面族一经划定，所有接点都全部包含在晶面族中。  在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相互垂

直的。

晶面族

在立方晶系中，{100}晶面族 （100）、（010）、（001）、 （ 1 00）、（0 1 0）、（00 1 ）

晶面族

在立方晶系中，{111}晶面族

111

（ 111）

（ 111） （1 1 1）

（1 11） （ 1 1 1 ）

（11 1 ）（ 1 1 1）

晶面族 {110}？ 晶面族 {123}？

晶面族{h k l}：晶体学等价的晶面总合。

晶面族{h k l}中的晶面数： a）h k l三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有 3 ！  4＝24组，如{1 2 3} b）h k l有两个数字相等 且都≠0，则有， 3 如{1 1 2} ！  4＝12 2 ！ c) h k l三个数相等，则有， 3!  4  4组，如{111} 3!

d）h k l 有一个为0，应除以2，则有

有二个为0，应除以22，则有

3!  4  12组，如{1 2 0} 2

3!  4  3组，如{1 0 0} 2 2!2

例如：立方晶系中{100}晶面族包括六个晶面 （100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）

注意，在其他晶系中，通

有极点。  如果投影面与赤道面重合则 称为极射赤面投影。其它方 式称为称为极射平面投影，

投影面

N

S

(3)乌尔夫网（Wulff Net） 为了解决极射投影的测量工具，创造了乌尔夫网。

 经线：参考球空间每隔2O等分且以NS轴为直径的一组大圆投影

 纬线：垂直于NS轴且按2O等分球面空间的一组一组大圆投影

N

S

应用：测两个任意极点之间的夹角 （将基圆直径一样的乌尔夫网与投影中心钉在一起，转动乌尔夫网， 使两个极点落在同一经线上，读出纬度差即可。

只有两极点位于乌尔夫网经线或赤道上才能正确度量晶面、晶向间夹角

（4）标准投影： 以晶体的某个晶面//投影面作出全部主要晶面的极射投影,称为标准投影。 如立方晶系（001）标准投影图。

立方晶体（001）标准投影图

立方晶体（001）标准投影图

 标准投影图中的点既代表晶面，又 代表晶向。  同一晶带各晶面的法线位于同一平 面上，各晶面的极点一定位于参考 球的同一大圆上，投影图上各个投 影点也位于同一大圆上  由于晶带轴与其晶面的法线是相互 垂直的，所以可以根据晶面所在的 大圆求出该晶带的晶带轴。

（100），（111）， （011），（111）， （100）等同于位于经线上的圆 ，属于同一晶带，应用乌尔夫网在赤道线上向右量出90o，晶带轴为[011]。

思考题：晶向指数[123]的极射投影点在图中 那个区域？

立方晶体（001）标准投影图

※2 金属的晶体结构 （Crystal Structure of Metals）

金属键：金属中自由电子与金属正离子之间构成键合称为金属键 特 点：无饱和性又无方向性，形成低能量密堆结构，构成高度对称性的简单晶体。

面心立方结构（FCC）face - centred cubic lattice（A1）  常见金属晶体结构 体心立方结构（BCC）body - centred cubic lattice (A2) 密排立方结构（HCP）hexagonal close - packed lattice (A3) 

面心立方结构 Cu, Al, Ni, Au, Ag, Pt

体心立方结构 Cr, V, Mo, Ta, Nb, W

密排六方结构 Mg, Zn, Cd, α-Ti

晶胞中的原子数（Number of atoms in unit cell）

Nc N=Ni   2 8

点阵常数（lattice parameters）a，c 原子半径（atomic radius） R 配位数（coordination number） N 致密度（Efficiency of space filling）

Nf

4 n  R3 nv K  3 V V

轴比（axial ratio） c/a

面心立方 A1

晶胞中的原子数：6X1/2+8x1/8 = 4 原子半径：

配位数：12 致密度：0.74

体心立方 A2

晶胞中的原子数：1+8x1/8 = 2 原子半径：

配位数：8 致密度：0.68

密排立方 A3

晶胞中的原子数：12x1/6+2x1/2+3 = 6

原子半径：

配位数：12 致密度：0.74

思考题：镍（Ni）原子半径为r=0.1243 nm， 试问镍的晶格常数和密度。

提示：

1）晶体类型

2）Ni的原子量58

.69

密排六方晶面原子排列

z

a2

a3 a1

(1 1 0 0)

plane  (0001)



a2

a3 a1

z

(1 1 1) plane of FCC

y

x z (0 0 0 1) plane of HCP

a2 a3

a1

堆垛（Stacking）

密排结构（close-packed crystal structure） 最密排面(close-packed plane of atoms)

结构

FCC

HCP

FCC {1 1 1} ABCABCABC· · · · · · HCP{0 0 0 1} ABABABAB· · · · · ·

85

间隙（Interstice）

四、八面体间隙

tetrahedral octahedral

interstice

fcc，hcp 间隙为正多面体，且八面体和四面体间隙相互独立 bcc 间隙不是正多面体，四面体间隙包含于八面体间隙之中

面心立方结构的间隙

Octahedral (Oh) sites Tetrahedral (Td) sites

1 at the center

12 edge sites

(each shared by 4 cells)

Net 4 Oh sites/unit cell

Net 8 Td sites/unit cell

87

4

8

体心立方结构的间隙

3+3

12

密排六方结构的间隙

6

12

思考题：试计算推导面心立方晶体中四面体 间隙和八面体间隙的大小？

表2.5三种典型金属结构的晶体学特点

多晶型转变（allotropic transformation） 同素异构转变 α-Fe 1394 OC