菱形正方形
18.2.2 菱形(1)
一、教学目标
1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关的论证和计算,会计算菱形的面积. 3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高分析能力和观察能力.
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想. 二、重点、难点
1.教学重点:菱形的性质1、2.
2.教学难点:菱形的性质及菱形知识的综合应用.
3.难点的突破方法:
(1)课堂上演示由平行四边形改变成菱形.使学生对平行四边形与菱形的关系形成深刻的印象; (2)讲解这个定义时,要抓住概念的本质,应突出两条:①强调菱形是平行四边形;②一组邻边相等.另外还需指出定义既是判定又是性质.
(3)菱形的性质,可以让学生动手利用折纸、剪切的方法,探究、归纳. 方法一:如图1,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD 就是菱形;
图1 图2
方法二:将一张长方形纸对折,再在折痕上取任意长为底边,剪一个等腰三角形,然后打开即是菱形(如图2).
(3)要让学生知道性质1的已知:如图,菱形ABCD ,和结论:AB=BC=CD=DA.
性质2的已知:如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,和结论:AC ⊥BD ,AC 平分∠BAD 和∠BCD ;BD 平分∠ABC 和∠ADC .并能灵活运用.
(4)指出:菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,这两条对称轴是菱形的对角线,所以两条对称轴互相垂直.
(5)让学生知道:菱形ABCD 被对角线AC 、BD 分成了四个全等的直角三角形,在计算或证明时常用这个结论.
(6)菱形的面积公式是 S =2⨯S ∆ABD =2⨯(⨯BD ⨯AO ) =BD ⨯AO =ab (其中a ,b 是菱形的两
条对角线分别的长).即:“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”.还要指出:当不易求出对角线长时,就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高.
1
212
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,是为了巩固菱形的性质;例2是教科书中的例3,这是
一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题.此题目,除用以巩固菱形性质外,还可
以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积,以促进学生熟练、灵活地运用知识.
四、课堂引入
1.(复习)什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?
2.(引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.
菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【强调】 菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等. 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
五、例习题分析
例1 (补充) 已知:如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB 上一点,DF 交AC 于E . 求证:∠AFD=∠CBE .
证明:∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ CB=CD, CA 平分∠BCD . ∴ ∠BCE=∠DCE .又 CE=CE, ∴ △BCE ≌△COB (SAS ). ∴ ∠CBE=∠CDE .
∵ 在菱形ABCD 中,AB ∥CD , ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE . 例2 (教科书的例3)略.
六、随堂练习
1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为. 2.已知菱形的两条对角线分别是6cm 和8cm ,求菱形的周长和面积.
3.已知菱形ABCD 的周长为20cm ,且相邻两内角之比是1∶2,求菱形的对角线的长和面积.
七、课后练习
1.菱形ABCD 中,∠D ∶∠A=3∶1,菱形的周长为 8cm ,求菱形的高.
2.四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD 长10cm ,求(1)对角线AC 的长度;(2)菱形ABCD 的面积.
18.2.2 菱形(2)
一、教学目标
1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算; 2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力. 二、重点、难点
1.教学重点:菱形的两个判定方法. 2.教学难点:判定方法的证明方法及运用. 3.难点的突破方法:
引入时,可以利用折纸、剪切的方法,让学生动起来,师生共同探究并归纳出菱形的几种判定方法. 在判定一个图形是菱形时,用它的“定义”判定是最基本、最重要的方法,另外两个判定方法都是以定义为基础推导出来的.
应用判定方法1时,要注意其性质包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.为了加深印象,也可以举一些反例提问学生,如对角线互相垂直的四边形是菱形吗?为什么?同时可用图来证实,虽然对角线AC ⊥BD ,但它们都不是菱形.
菱形常用的判定方法归纳为(让学生讨论归纳后,由教师小结并板书):
注意:(2)与(4)的题设也是从四边形出发,和矩形一样它们的题设条件都包含有平行四边形的判定条件.如方法(4)、根据对角线互相平分,就可以首先判定四边形是平行四边形,这样,判定方法(4)就和判定方法(3)等同了.
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题,其中例1是教科书中的例4,例2是一道补充的题目,这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用,主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法,并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.这些题目的推理都比较简单,学生掌握起来不会有什么困难,可以让学生自己去完成.程度好一些的班级,可以选讲例3.
四、课堂引入
1.复习
(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形; (2)菱形的性质1 菱形的四条边都相等;
性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定,应具备几个条件?(判定:2个条件) 2.【问题】要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其它的判定方法吗?
3.【探究】用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过演示,容易得到:
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形.
五、例习题分析
例1 (教科书的例4)略.
例2(补充)已知:如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ,BC 分别交于E ,F .
求证:四边形AFCE 是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AE ∥FC . ∴ ∠1=∠2.
又 ∠AOE=∠COF ,AO=CO, ∴ △AOE ≌△COF . ∴ EO=FO.
∴ 四边形AFCE 是平行四边形. 又 EF ⊥AC , ∴
AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) .
※例3(选讲) 已知:如图,△ABC 中, ∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ,CD ⊥AB 与D ,EH ⊥AB 于H ,CD 交BE 于F . 求证:四边形CEHF 为菱形.
略证:易证CF ∥EH ,CE=EH,在Rt △BCE 中,∠CBE+∠CEB=90°,在Rt △BDF 中,∠DBF+∠DFB=90°,因为∠CBE=∠DBF ,∠CFE=∠DFB ,所以∠CEB=∠CFE ,所以CE=CF. 所以CF=CE=EH,CF ∥EH ,所以四边形CEHF 为菱形.
六、随堂练习
1.(1)对角线互相平分的四边形是
(2)对角线互相垂直平分的四边形是________; (3)对角线相等且互相平分的四边形是________;
(4)两组对边分别平行,且对角线 2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm 、8cm .
3.如图,O 是矩形ABCD 的对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD , DE 和CE 相交于E ,求证:四边形OCED 是菱形.
七、课后练习
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( ) A .两条对角线相等 B .两条对角线互相垂直 C .两条对角线相等且互相垂直 D .两条对角线互相垂直平分 2.已知:如图,M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点,DM ⊥AB , EF ⊥AB ,ME ⊥AC ,DG ⊥AC .求证:四边形MEND 是菱形. 3.做一做:
设计一个由菱形组成的花边图案.花边的长为15 cm,宽为4 cm,由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成,前一个菱形对角线的交点,是后一个菱形 的一个顶点.画出花边图形.
18.2.3 正方形
一、教学目标
1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力. 二、重点、难点
1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 3.难点的突破方法:
本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法.重点是正方形定义.
正方形学生在小学阶段已有初步了解,生活中应用很广,其时正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,和特殊的菱形,学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定.
学生在小学学过了正方形,他们知道正方形的四个角都是直角,四条边相等,正方形的面积等于它的边长的平方,本节课的教学是加深学生的理论认识,拓宽学生的知识面,如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角,四条边相等,拓宽了正方形对角线性质的知识.在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形,培养学生实践能力.另外,通过对正方形定义和性质的讲解,培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法.
(1)掌握正方形定义是学好本节的关键.正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) ②有一个角是直角的平行四边形 (矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.教学时要结合教科书中的图18.2-11,具体说明正方形与矩形、菱形的关系.这些关系是教学的一个难点,也是教学内容的重点和关键,要结合图形或者教具,或用简单的集合关系图,使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚.这些概念重叠交错,不易搞清楚,在教学这些内容时进度可稍放慢些.
(2)因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,不仅有平行四边形的所有性质,也有矩形和菱形的特殊性质,所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结.可以将正方形的性质总结如下:
边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角;
对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
还要让学生注意到:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.要使学生熟悉这些最基本的内容.
(3)对于怎样判定一个四边形是正方形,因为层次比较多,不必分析的太具体,只要强调能判定一个四边形是矩形,又能判定这个矩形也是菱形,或者先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形,就可以判定这个四边形是正方形,实际上就是根据正方形定义来判定.
(4)正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合.可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容.还可以通过本节的教学,澄清学生存在的一些模糊概念.
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题,例1是教科书的例5,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:
①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件? ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么? ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?
四、课堂引入
1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的什么样的四边形是正方形?
正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形..................
指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意: (1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) (2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形)
叫做正方形. 关系.问题:
2.【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
五、例习题分析
例1(教科书的例5) 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个腰直角三角形.
已知:四边形ABCD 是正方形,对角线AC 、BD 相交于点O (如图). 求证:△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ AC=BD, AC ⊥BD ,AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分). ∴ △ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 都是等腰直角三角形,并且 △ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO .
例2 (补充)已知:如图,正方形ABCD 中,对角线的交点上的一点,DG ⊥AE 于G ,DG 交OA 于F . 求证:OE=OF.
分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO ≌△DFO ,由于正方垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO ,根据“ASA ”可以得到这两
全等的等
为O ,E 是OB
形的对角线同角或等角个三角形
全
等,故结论可得.
证明:∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ ∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等). 又 DG ⊥AE , ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°. ∴ ∠EAO=∠FDO . ∴ △AEO ≌△DFO . ∴ OE=OF.
例3 (补充)已知:如图,四边形ABCD 是正方形,分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2,作BM ⊥l 1于M ,DN ⊥l 1于N ,直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点.
求证:四边形PQMN 是正方形.
分析:由已知可以证出四边形PQMN 是矩形,再证△ABM ≌△DAN ,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:∵ PN ⊥l 1,QM ⊥l 1, ∴ PN ∥QM ,∠PNM=90°. ∵ PQ ∥NM ,
∴ 四边形PQMN 是矩形. ∵ 四边形ABCD 是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角). ∴ ∠1+∠2=90°.
又 ∠3+∠2=90°, ∴ ∠1=∠3.
∴ △ABM ≌△DAN .
∴ AM=DN. 同理AN=DP. ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN.
∴ 四边形PQMN 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形). 六、随堂练习
1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线________. 2.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;( ) ②对角线互相垂直的矩形是正方形;( ) ③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( ) ④四条边都相等的四边形是正方形;( )
⑤四个角相等的四边形是正方形.( )
3. 已知:如图,四边形ABCD 为正方形,E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点,且DE =BF .
求证:∠AFE =∠AEF .
F
B C
4.如图,E 为正方形ABCD 内一点,且△EBC 是等边三角形,求∠EAD 与∠ECD 的度数.
七、课后练习
1.已知:如图,点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且DE=BF. 求证:EA ⊥AF .
2.已知:如图,△ABC 中,∠C=90°,CD 平分∠ACB ,DE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F .求证:四边形CFDE 是正方形.
3.已知:如图,正方形ABCD 中,E 为BC 上一点,AF 平分∠DAE 交CD 于F ,求证:AE=BE+DF.