常用的反三角函数
第二节 反三角函数
一、反三角函数值
1、若角x ∈[−ππ, ],sinx =a , 则角x 叫做实数a 的反正弦函数，记作arcsin a =x 22
2、若角x ∈[0,π],cosx =a , 则角x 叫做实数a 的反余弦函数，记作arccos a =x
3、若角x ∈(−ππ, ), tan x =a , 则角x 叫做实数a 的反正切函数，记作arctan a =x 22
4、若角x ∈(0,π),cot x =a , 则角x 叫做实数a 的反余弦函数，记作arccos a =x 例1、求反三角函数值
1111（2）arcsin(−) （3）arccos （4）arccos(− 2222
（5
） （6
）arctan( （7
）arc cot （8
）arc cot(
ππππ11π解：（1）因为∈[−, =，于是arcsin = 6226226
ππππ11π（2）因为−∈[−, −=−，于是arcsin(−=− 6226226
ππ11π（3）Q ∈[0,π],cos=, ∴arccos = 33223
2π2π112π (4)Q ∈[0,π],cos=−, ∴arccos(−= 33223
πππππ（5
）Q ∈(−, tan =∴= 32233
πππππ（6
）Q −∈(−, ), tan(−) =∴arctan(=− 32233
πππ（7
）Q ∈(0,π),cot =∴arc = 666
5π5π5π（8
）Q ∈(0,π),cot =∴arccot(= 666
二、反三角arcsin a 的四个特性
ππ1、表示[−, 上的一个角x , 并且角x 的正弦等于a 22（1）arcsin
2、表示正弦运算的逆运算
3、表示方程sin x =a 在[−ππ, ]上的解 22
4、表示y =sin x 与y =a 的交点的横坐标
反三角函数arccos a ，arctan a ，arccot a 也有类似的四个特征。
三、公式
arcsin(−a ) =−arcsin a ，arccos(−a ) =π−arccos a
arctan(−a ) =−arctan a ，arc cot(−a ) =π−arc cot a
四、反三角函数
1、y =sinx 在区间[−ππ, ]上反函数为y =arcsin x ，它的定义域是[−1,1]，值域是22
ππ, ]，是增函数，奇函数。图象如图 22
[−
2、y =cos x 在区间[0,π]上反函数为y =arccos x ，它的定义域是[−1,1]，值域是[0,π]，是减函数。图象如图
3、y =tan x 在区间(−ππππ, ) 上反函数为y =arctan x 它的定义域是R ，值域是(−, ，2222
是增函数，奇函数。图象如图
4、上反函数为y =arccot x 它的定义域是R
，值域是(0,π) ，是减函数。