数学百大经典例题-绝对值不等式

典型例题一

例1 解不等式x +1>2x -3-2

⎧a (a ≥0)

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a =⎨，将不等式中

-a (a

的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号

的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令x +1=0，∴ x =-1，令2x -3=0，∴x =

3

，如图所示． 2

（1）当x ≤-1时原不等式化为-(x +1) >-(2x -3) -2 ∴x >2与条件矛盾，无解．

3

时，原不等式化为x +1>-(2x -3) -2． 2

3

∴ x >0，故0

2

3

（3）当x >时，原不等式化为

2

3

x +1>2x -3-2．∴x

2

（2）当-1

综上，原不等式的解为x 0

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

{}

典型例题二

例2 求使不等式x -4+x -3

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为(-∞, 3], [3, 4],(4, +∞) 三个区间 当x

7-a 7-a

有解的条件为

22

a >1；

当3≤x ≤4时，得(4-x ) +(x -3) 1；

a +7a +7

，有解的条件为 >4 ∴a >1．22

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a >1．

当x >4时，得(x -4) +(x -

3)

解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA +PB

因为AB =1，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即x -4+x -3≥1，故当a >1时，x -4+x -3

典型例题三

例3 已知x -a

εε

, 0

分析：根据条件凑x -a , y -b ． 证明：xy -ab =xy -ya +ya -ab

=y (x -a ) +a (y -b ) ≤y x -a +a ⋅y -b

εε

+a ⋅=ε． 2M 2a

说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

典型例题四

例4 求证

a 2-b 2

a

≥a -b

分析：使用分析法

22

证明 ∵a >0，∴只需证明a -b ≥a -a b ，两边同除，即只需证明

2

2

a 2-b 2

b

2

≥

a b

22

-

a

，即 b

a a a () 2-≥() 2- b b b

当

a a a a a a

≥1时，() 2-1=() 2-1≥() 2-；当

a -b

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

a 2-b 2

a

a -b b

≥=a -⋅

a a

22

（1）如果

a

≥1，则a -b ≤0，原不等式显然成立． b

b b b

-b ，利用不等式的传递性知a -，b >a -b ，∴a a a

（2）如果

原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证

a +b 1+a +b

≤

a 1+a

+

b 1+b

．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f (x ) =

x 1+x -11

． ==1-

1+x 1+x 1+x

定义域为｛x x ∈R ，且x ≠-1｝，f (x ) 分别在区间(-∞, -1) ，区间(-1, +∞) 上是增函数．

又0≤a +b ≤a +b ， ∴f (a +b ) ≤f (a +b )

即

a +b 1+a +b

≤

a +b 1+a +b

=

a 1+a +b

+

b 1+a +b

≤

a 1+a

+

b 1+b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵a +b ≤a +b ，1+a +b >0，

∴

a +b a b a b a +b ≤=+≤+．

1+a +b 1+a +b 1+a +b 1+a +b 1+a 1+b

错误在不能保证1+a +b ≥1+a ，1+a +b ≥1+b ．绝对值不等式a ±b ≤a +b 在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

典型例题六

(a +1) 2(a -1) 2

例6 关于实数x 的不等式x -与x 2-3(a +1) x +2(3a +1) ≤0(a ∈R ) ≤

22

的解集依次为A 与B ，求使A ⊆B 的a 的取值范围．

分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．

(a +1) 2(a -1) 2

≤解：解不等式x -， 22

(a -1) 2(a +1) 2(a -1) 2

， -≤x -≤

222

∴A =x 2a ≤x ≤a 2+1, a ∈R ．

解不等式x 2-3(a +1) x +2(3a +1) ≤0，[x -(3a +1)](x -2) ≤0． 当a >

{}

⎧1⎫1

时（即3a +1>2时），得B =⎨x 2≤x ≤3a +1, a >⎬．

3⎭3⎩⎧1⎫1

时（即3a +1≤2时），得B =⎨x 3a +1≤x ≤2, a ≤⎬．

3⎭3⎩

当a ≤

⎧2a ≥2, 1

当a >时，要满足A ⊆B ，必须⎨2故1≤a ≤3；

3a +1≤3a +1, ⎩

当a ≤

⎧2a ≥3a +1, ⎧a ≤-1, 1

时，要满足A ⊆B ，必须⎨ ⎨2

-1≤a ≤1, 3⎩⎩2≥a +1;

∴a =-1．

所以a 的取值范围是a ∈R a =-1或1≤a ≤3．

说明：在求满足条件A ⊆B 的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．

{}

典型例题七

例6 已知数列通项公式a n =

sin a sin 2a sin 3a sin na

对于正整数m 、n ，当+++ +23n

2222

m >n 时，求证：a m -a n

1． 2n

分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再

利用不等式a 1+a 2+ +a n ≤a 1+a 2+ +a n ，问题便可解决．

证明：∵m >n ∴a m -a n =

sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma

++ +

2n +12n +22m

≤

sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma

++ +

2n +12n +22m

1

12n +1

12n +2

1

+ +m =2

(1-n +1

)

m -n 1-2

1

≤+

1111(1-)

11111

说明：n +1+n +2+ +m 是以n +1为首项，以为公比，共有m -n 项的等比数列

22222

的和，误认为共有m -n -1项是常见错误．

=

正余弦函数的值域，即sin α≤1，cos α≤1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f (x ) =x 2-x +13，x -a

分析：本题中给定函数f (x ) 和条件x -a 证明：∵f (x ) =x 2-x +13，∴f (a ) =a 2-a +13， ∵x -a

∴x

∴f (x ) -f (a ) =x 2-a 2+a -x

=(x -a )(x +a ) -(x -a ) =(x -a )(x +a -1) =x -a ⋅x +a -

即f (x ) -f (a )

说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件x -a

典型例题九

⎧x >0

⎪

例9 不等式组⎨3-x 2-x 的解集是（ ）．

>⎪3+x 2+x ⎩

A ．{x 0

{}

3-x 2-x 3-x

，知>>0，∴

3+x 2+x 3+x

3-x 2-x

（0

3+x 2+x

-30，∴0

解法一：不等式两边平方得：(3-x ) 2(2+x ) 2>(3+x ) 2(2-x ) 2．

∴(x 2-x -6) 2>(x 2+x -6) 2，即(x 2-x -6+x 2+x -6)(x 2-x -6-x 2-x +6) >0， ∴x (6-x 2) >0，又0

⎧x 2-6

解法二：∵x >0，∴可分成两种情况讨论： (1)当0

(2)当x >2时，不等式组可化为解得2

综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0

说明：本题是在x >0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．

3-x 2-x

（0

3+x 2+x

3-x x -2

（x >2）， >

3+x 2+x

典型例题十

例10 设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a >0，且b ≠0) ，已知b ≤a ，f (0) ≤1，

f (-1) ≤1，f (1) ≤1，当x ≤1时，证明f (x ) ≤

5． 4

分析：从a >0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x ≤1且f (-1) ≤1f (1) ≤1

5

，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴4

上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．

知，要求证的是f (x ) ≤

证明：∵2b =(a +b +c ) -(a -b +c ) ≤a +b +c +a -b +c =f (1) +f (-1) ≤1+1 =2， ∴b ≤1．

又∵b ≤a ，∴

b

≤1． a

∴-

b 1

≤

b 4ac -b 2b 2

又c =f (0) ≤1，f (-) =， =c -

2a 4a 4a

b b 2b 2

≤c +∴f (-) =c -

2a 4a 4a

=c +

1b 15

⋅⋅b ≤1+⋅1⋅1=． 4a 44

而f (x ) 的图像为开口向上的抛物线，且x ≤1，-1≤x ≤1， ∴f (x ) 的最大值应在x =1，x =-1或x =-

b

处取得． 2a

∵f (1) ≤1，f (-1) ≤1，f (-

b 5) ≤， 2a 4

5

． 4

说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a ，b ，c 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较

∴f (x ) ≤

求出函数在x ≤1范围内的最大值．

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