用几何画板的迭代画循环图
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(2009年第4期・高中版)
数学园地・・
用几何画板的迭代画循环图
437000 湖北省咸宁高中 毛文子
在我校进行的湖北省“十一五”教育技术课题《网络环境下(几何画板) 与高中数学教学的有效整合模式的研究》的研究中, 我们发现运用几何画板中的迭代功能画循环图可以弥补以前某些数学问题的示意图不够贴近题意、不够简捷的缺陷1本文介绍如何运用几何画板中的迭代功能画出一些需要重复操作的循环图的的具体步骤, 供读者参考1
例1 (2004年湖南省高考末题) 直线l 1:y =kx
+1-k (k ≠0, k ≠) 与l 2:y =x +相交于点
222
P 1直线l 1与x 轴交于点P 1, 过点P 1作x 轴的垂线
(3) 选中点Q 1和y 轴, [构造]垂线, 作出垂线
和l 1的交点, 标记为P 2. 选中垂线, 隐藏. 作线段
Q 1P 2, 显示为虚线.
制作度量标签x P :点击[度量]将点P 2的横坐
2
标标记为x P .
2
(4) 制作计算标签:点击[度量]计算, 输入计算
公式:(x P -1) ÷(x P -1) .
2
1
(5) 新建参数n, 值为1, 选中点P 1和参数按钮; 点击[变换]迭代, 出现迭代对话框后, 点击点P 2(P 1的初象框, n , 构造
交直线l 2于点Q 1, 过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2, 过点P 2作x 轴的垂线交直线l 22…, 这样一直作下去, 11, 2, 2…1点P n (n =1, {x n }1
(Ⅰ) 证明:x n +1(Ⅱ) …(略) ;
(Ⅲ) …(略) 1如何用几何画板的迭代功能画
P P 2, . n, x P , x P ,
1
2
x P
n
n +1
-1
.
(6) 右击数据表, 出现对话框, 点击属性, 选择
3-1=(x n -1) , n ∈N ;
2k
迭代, 将迭代次数修改为你所需要的数值(如16) , 确定. 得到更多的点以及16次迭代的数据表.
(7) 制作按钮:点击[度量]计算, 出现对话框,
出充分贴近此题题意的循环图?
画法原理 过两已知点作直线l 2, 过一定点和x 轴上一动点P 1作直线l 1, 自点P 1作x 轴的垂线段P 1Q 1交l 2于点Q 1, 自点Q 1作y 轴的垂线段Q 1P 2交l 1于点
P 21构建从点P 1到点P 2迭代得到点列P n 和Q n , 用迭
输入直线PP 1的斜率计算公式:
, 确定, 出现1-x P
1
=的按钮, 右击这个按钮, 出现对话框, 点1-x P
1
击[属性],在[标签]栏目内输入k, 确定. 按钮
; 类似做出按钮
代数据表产生点P n 的横坐标组成的数列{x n }1
具体步骤:
(1) [图表]绘制两点(0,
0. 5) , (1, 1) , 将点(1,
1)
=的按钮1演示观察
拖动点P 1, 显示变化1迭代数据表中反映出点
P n 的横坐标构成的数列以及
x P
n +1
标记为P, 将两点连成直线, 标记为l 2; 在x 轴上任作一点, 标记为点P 1, 将点P 1和点P 连成直线, 标为l 1.
制作度量标签x P :点击[度量]将点P 1的横坐
1
-1
x P -1
n
的值, 按钮
标标记为x P 1
1
=的中的值也随着点P 1变化, 我们可以看到, (2) 选中点P 1和x 轴, [构造]垂线, 作出垂线和l 2的交点, 标记为Q 1. 选中垂线, 隐藏. 作线段P 1Q 1,
无论点P 1在x 轴上如何变化, 的, 并且这个值总等于
x P
n +1
-1
x P -1
n
的值总是相等
显示为虚线.
的值, 结论成立. 2k
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(
2009年第
4期・高中版)
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例2 (2002年全国高中联赛题第三题(2) ) 如图, 有一列曲线P 0, P 1, P 2, …P n , 已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形, 对P 到P k +1:将P k 线段为边, 去掉(k =0, 1, 2) 1S n 为曲线P n 所围成图形的面积1(1) …
; (2) …如何用几何画板的迭代功能画出此题的充分贴近题意的循环图?
) , 将点B 按1∶3和2∶3进行缩放, 得到线段AB 的两个三等分点, 标记为C 、D; 以点
C 为中心, 将点D 旋转-60°, 标记为点E 1
(3) 构造柯克曲线
按序选中点A 、B 和参数n, 按下[Shift ]键, [变换]・带参数的迭代, 出现迭代对话框后, 构造由点
A 到点A 、点B 到点C 的迭代, 点击[构造]下拉菜单
中“添加新的映射”, 再构造由点A 到点C 、点B 到点
E 的迭代, 同样再次构造由点A 到点E 、点B 到点D
的迭代及由点A 到点D 、点B 到点B 的迭代, 将其中
图1 图2 图3
改为“仅没有点的象”, [显示]下拉菜单中选择“最终迭代”, 确定1得到的就是柯克曲线, 试着改变参数n, 观察曲线的变化1
(4) 构建柯克曲线工具
画法原理 所画的图形即柯克雪花曲线1先作两点, 由其中两个三等分点向一个方向作正三角形得到第五个点, 连成线段构成基本图形即柯克曲线1运用多重迭代, 将基本图形迭代到其余四个线段, 得到三角形一边所成的柯克雪花曲线的一部分1构建工具, 画出正三角形的第三个点, 运用工具画出另两边的柯克雪花曲线的其余部分, 从而得到完整的曲线1
具体步骤:
(1) 准备
将线段AB 隐藏, 再选择所有点、线及参数n, 点击工具栏, 在下拉菜单中选择[创建新工具],取名为“柯克曲线”, 确定.
(5) 构造柯克雪花曲线
以点A 为中心, 将点B 旋转60°, 标记为点F, 选择工具中“柯克曲线”, 按序点击点B 、F 和参数n 画出B F 边上的柯克曲线, 同样再画出FA 边上的柯克曲线1将不需要点的标记隐藏, 完成柯克雪花曲线1
(下转第49
页)
新建参数, 标记为n, 值为1, 确定柯克雪花曲线的层数; 标记为“雪花层数n ”, 画两点A 、B , 连成线段
试题选登・ ・
(Ⅱ) 由a n +1≥a n , 而a 1=1, ∴a n >0,
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2a n +3a n +m ≥a n , ∴m ≥-a 2n -2a n ,
a n +1
2
(Ⅱ) b n 2
n
, S n =b 1+b 2+…+b n
∴m ≥-(a n +1) 2+1恒成立,
∵a n ≥1, ∴m ≥-22+1, 即m ≥-31(Ⅲ) 由(Ⅱ) 得当-3≤m 0,
设数列C n =,
a n +1∴C n +1=,
a n +1+1
a n +1∴C n +1=2=, 2
2a +3a +m 2(a n +1) +m -1
+1
a n +1
∵m
a +1故C n +1・=C n , 2=2a n +122(a n +1)
∴C 1, C 2>C 1=,
a 1+1224
C 3>C 2>, …, C n >C n -1n (n ≥2时) 1
2822∴C 1+C 2+…+C n >23+…+n
2222(1-n ) n =11-2
2+3+…+n , 则2222
S n =23+…+n -n +1222222
=1-n -n +1, 222
n -1
∴S n =2--
2
n
1
++…+
a n +1a n +2a n +n
(Ⅲ) ∵f (n ) =
+…+++…+1, n +
1n +22n n 项
即f (n )
a n +1a n +2a n +n (n ≥2) , ++…+
n +
1n +22n
①
则f (n +1) +, n +2n 2n +12n +2
+-2n +12n +2n +1
f (n +1-n -=0,
n +22n +2n +1
即
n
…>1-) 1a 1+1a 2+1a n +12
(文) (Ⅰ) a n =n 1
∴f (n +1) >f (n ) , ∴f (n ) 当n ≥2且n ∈N 3时是增函数,
∴f (n ) 的最小值是f (2) , ②
12
由①②得:≤f (n )
12
(上接第45页)
(6) 制作按钮“-”键改变n 的值(如n =1、2、3) , 观察柯克雪花曲线的及面积的变化1(如下图)
n
n
①点击[度量]计算, 出现对话框, 输入柯克雪花曲线边数的计算公式:3×4, 确定, 出现的按钮, 右击这个按钮, 出现对话框, 点击[属性],在[标签]栏目内输入“边数”, 确定. 按钮边数完成;
②点击[度量]计算, 出现对话框, 输入柯克雪花曲线面积的计算公式:
n
-・() , 确定, 出现
539
n
-・() 的按钮, 右击这个按钮, 出现对话框, 点击[属性],在[标签]栏目内输入“面积”, 确定. 按钮完成1
(7) 制作数据表
综上两例知, 对于会用几何画板的基本操作指
令的读者来说, 运用其中的迭代功能画循环图的关键之处是选择迭代点和选参数并同时用[变换]中的“迭代”、“构造”等一系列指令; 这样来画循环图, 具有动态、快捷、准确的优势.
参考文献
1 甘大旺. 运用几何画板画圆锥曲线的三类方法. 中学数
依次选中雪花层数边数面积, 用[图表]制表, 出现关于雪花曲线的边数、面积的数据表1
演示观察
同时选中雪花层数n 和数据表, 用键盘的“+”、
学, 2007, 8
2 毛文子. 活用几何画板优化课堂教学. 信息化教育通
讯, 2004, 3
(收稿日期:20090317)