固体物理答案
第一章 晶体结构
1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）
43
πr ，Vc=a3，n=1 3
4343πr πr
π∴x ====0. 52 33
6a 8r
a=2r， V=
（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a =4r ⇒a =n=2, Vc=a3
43
x 3
2⨯
∴x =
434πr 2⨯πr 3
==π≈0. 68 3
8a 43
(r ) 3
（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a =4r , ⇒a =22r n=4，Vc=a3
444⨯πr 34⨯πr 3
233x ===π≈0. 74 33
6a (22r )
（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6⨯S ∆ABO =6⨯晶胞的体积：V=S ⨯C =
a ⨯a sin 60332
a =22
3328
a ⨯a =32a 3=242r 3 23
n=1212⨯
11
+2⨯+3=6个 62
46⨯πr 3
2x ==π≈0. 74 3
6242r
（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=a =4⨯2r ⇒a =
8r n=8, Vc=a3
44
8⨯πr 38⨯πr 3
3πx ===≈0. 34 33
6a 8r 3
33
a ⎧a =⎪12(j +k ) ⎪
a ⎪
1.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：⎨a 2=(i +k )
2⎪
a ⎪a =⎪32(i +j ) ⎩
由倒格子基矢的定义：b 1=
2π
(a 2⨯a 3) Ω
0,
Ω=a 1⋅(a 2⨯a 3) =
a , 2a , 2
a , 20, a , 2a
i , 2
a a 3a =，a 2⨯a 3=, 242
a
0,
2
j , 0, a , 2
k
a a 2
=(-i +j +k ) 240
4a 22π
∴b 1=2π⨯3⨯(-i +j +k ) =(-i +j +k )
a 4a
2π
(i -j +k ) a
同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
2πb 3=(i +j -k )
a
b 2=
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
a ⎧a =⎪12(-i +j +k ) ⎪
a ⎪
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：⎨a 2=(i -j +k )
2⎪
a ⎪a =⎪32(i +j -k ) ⎩
由倒格子基矢的定义：b 1=
2π
(a 2⨯a 3) Ω
a a a -, ,
i , j , k 222
a a a a 3a a a a 2
Ω=a 1⋅(a 2⨯a 3) =, -, =，a 2⨯a 3=, -, =(j +k )
22222222a a a a a a , , -, , -222222
2a 22π
∴b 1=2π⨯3⨯(j +k ) =(j +k )
a 2a
2π
(i +k ) a
同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
2πb 3=(i +j )
a
b 2=
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.4、
1.5、证明倒格子矢量G =hb 1h 2h 3) 的晶面系。 11+h 2b 2+h 3b 3垂直于密勒指数为(h
证明：因为CA =
a 1a 3a a
-, CB =2-3，G =hb 11+h 2b 2+h 3b 3 h 1h 3h 2h 3
利用a i ⋅b j =2πδij ，容易证明
G h 1h 2h 3⋅CA =0G h 1h 2h 3⋅CB =0
所以，倒格子矢量G =hb 1h 2h 3) 的晶面系。 11+h 2b 2+h 3b 3垂直于密勒指数为(h
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h , k , l ) 的晶面系，面间距d 满足：
d 2=a 2(h 2+k 2+l 2) ，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，
容易解理。解：简单立方晶格：a 1⊥a 2⊥a 3，a 1=ai , a 2=aj , a 3=ak
由倒格子基矢的定义：b 1=2π倒格子基矢：b 1=
a 2⨯a 3a 3⨯a 1a 1⨯a 2
，b 2=2π，b 3=2π
a 1⋅a 2⨯a 3a 1⋅a 2⨯a 3a 1⋅a 2⨯a 3
2π2π2π
i , b 2=j , b 3=k a a a
2π2π2πi +k j +l k 倒格子矢量：G =hb 1+kb 2+lb 3，G =h a a a
晶面族(hkl ) 的面间距：d =
2π
=G
1
h 2k 2l 2() +() +() a a a
a 2
d =2
22
(h +k +l )
2
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
第二章 固体结合
2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（α=2ln 2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有
α
r
=∑'
j
(±1) 1111
]=2-+-+...
r ij r 2r 3r 4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离r i 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111
α=2[1-+-+...]2342
x x 3x 4
+-+... n (1+x ) =x -
x 34
111
+-+... =234
n
当X=1时，有1-
2 ∴α=2n 2
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 u (r ) =-试求：（1）平衡间距r 0；
（2）结合能W （单个原子的）；
（3）体弹性模量；
α
r
m
+
β
r
n
（4）若取m =2, n =10, r 0=3A , W =4eV ，计算α及β的值。 解：（1）求平衡间距r 0
由
du (r )
=0，有：
dr r =r 0
-n
⎛m α⎫m αn β
⎪-=0⇒r =0 ⎪m +1n +1
r 0r 0. ⎝n β⎭
⎛n β⎫
= ⎪⎝m α⎭
-m
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示） （2）求结合能w （单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min
即：W =-U (r 0) =+（3）体弹性模量
α
r
m 0
-
β
r
n 0
（可代入r 0值，也可不代入）
r 02
由体弹性模量公式：k =
9V 0
⎛∂2U ⎫ ∂r 2⎪⎪ ⎝⎭r 0
（4）m = 2，n = 10，r 0=3A ， w = 4eV，求α、β
⎛10β⎫
r 0= ⎪
⎝2α⎭
U (r 0) =-
⎛5β⎫= ⎪ ① ⎝α⎭
+
α
r
20
β
r .
10
=-
4α5r 02
(r 08=
5β
α
代入)
⇒W =-U (r 0) =
4α
=4eV ② 2
5r 0
-19
将r 0=3A ，1eV =1. 602⨯10
J 代入①②
α=7. 209⨯10-38N ⋅m 2
⇒
β=9. 459⨯10-115N ⋅m 2
详解：（1）平衡间距r 0的计算 晶体内能U (r ) =
N αβ
(-m +n ) 2r r
1
n βn -m αn β
) m =0，-m +1+n +1=0，r 0=(m αr 0r 0
dU
平衡条件
dr
r =r 0
（2）单个原子的结合能
1
1n βn -αβW =-u (r 0) ，u (r 0) =(-m +n ) ) m ，r 0=(
2m αr r r =r 0
1m n βn --m
W =α(1-)() m
2n m α
∂2U
) ⋅V 0 （3）体弹性模量K =(2V 0
∂V
晶体的体积V =NAr ，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能U (r ) =
3
N αβ(-m +n ) 2r r
∂U ∂U ∂r N m αn β1
==(m +1-n +1) 2∂V ∂r ∂V 2r r 3NAr
∂2U N ∂r ∂m αn β1
=[(-) ] 2m +1n +12
∂V 2∂V ∂r r r 3NAr ∂2U ∂V 2
N 1m 2αn 2βm αn β=[-m +n -m +n ] 29V 02r 0r 0r 0r 0
V =V 0
由平衡条件
∂U ∂V
=
V =V 0
m αn βN m αn β1
，得=n (m +1-n +1) =0m 2
r 0r 02r 0r 03NAr 0
∂2U
∂V 2∂2U ∂V 2
V =V 0
N 1m 2αn 2β=[-m +n ] 29V 02r 0r 0=
N 1m αn βN nm αβ
[-m +n ]=-[-+n ] 2m n 2m
29V 0r 0r 029V 0r 0r 0
V =V 0
U 0=∂2U
∂V 2
N αβ(-m +n ) 2r 0r 0
=
V =V 0
mn mn
(-U ) 体弹性模量 K =00
9V 029V 0
（4）若取m =2, n =10, r 0=3A , W =4eV
1
n βn -1m n βn --m
m
r 0=() ，W =α(1-)() m
m α2n m α
β=
W 10β
r 0，α=r 02[10+2W ] 2r 0
β=1.2⨯10-95eV ⋅m 10，α=9.0⨯10-19eV ⋅m 2
第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.2、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。
解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程
m μ2n =-β(2μ2n -μ2n +1-μ2n -1) M μ2n +1=-β(2μ2n +1-μ2n +2-μ2n )
N 个原胞，有2N 个独立的方程
设方程的解
μ2n =Ae i [ωt -(2na ) q ]μ2n +1=Be
i [ωt -(2n +1) aq ]
，代回方程中得到
2
⎧⎪(2β-m ω) A -(2βcos aq ) B =0
⎨2
⎪⎩-(2βcos aq ) A +(2β-M ω) B =0
A 、B 有非零解，
2β-m ω2-2βcos aq
2
-2βcos aq 2β-M ω
2
=0，则
1
(m +M ) 4mM 2
ω=β{1±[1-sin aq ]2} 2
mM (m +
M )
两种不同的格波的色散关系
1
(m +M ) 4mM 2
ω=β{1+[1-sin aq ]2}2
mM (m +M ) 2
+2ω-=β
(m +M ) 4mM 2
{1-[1-sin aq ]}2
mM (m +M )
1
2
一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波. 总的格波数目为2N.
ω+=
当M =
m 时
aq 2aq 2
，
ω-=
两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q →0，sin(
qa qa
) ≈，
22
ω-=q 与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a 2。试求在q =0, q =πa 处的ω(q ) ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H 2这样的双原子分子晶体。
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：
m μ2n =-(β1+β2) μ2n +β2μ2n +1+β1μ2n -1m μ2n +1=-(β1+β2) μ2n +1+β1μ2n +2+β2μ2n
体系N 个原胞，有2N 个独立的方程
1
i [ωt -(2n ) aq ]
21
i [ωt -(2n +1) aq ]
21i aq 2
方程的解：
μ2n =Ae
，令ω12=β1/m , 2ω2=β2/m ，将解代入上述方程得：
μ2n +1=Be
2
1
22
2
(ω+ω-ω) A -(ωe (ωe
1-i aq 221
21
+ωe
22
1-i aq 2
) B =0
+ωe
1i aq 222
2
) A -(ω12+ω2-ω2) B =
A 、B 有非零的解，系数行列式满足：
(ω+ω-ω), (ωe
21211-i aq 221
2122
2
-(ωe
21
1i aq 2
+ωe
22
1-i aq 2
)
+ωe
1i aq 222
=0
1-i aq 21-i aq 2
1i aq 21i aq 2
2
), -(ω12+ω2-ω2)
(ω+ω-ω) -(ωe (ω+ω-ω) -(ωe
2
2
22
21
22
22
21
1i aq 21i aq 2
+ωe +ωe
2
2222
1-i aq 21-i aq 2
)(ωe )(ωe
21
21
+ωe +ωe
22
22
) =0 ) =0
因为β1=β、β2=10β，令ω0=ω1=
24
(11ω0-ω2) 2-(101+20cos aq ) ω0=0
2
c 10c 22
, ω2==10ω0得到 m m
22
两种色散关系：ω=ω0(11±20cos qa +101)
22
当q =0时，ω=ω0(11±121) ，
ω+=22ω0ω-=0
当q =
π
a
时，ω=ω(11±81) ，
2
20
ω+=20ω0ω-=2ω0
（2）色散关系图：