第10章 稳恒电流的磁场 khdaw
第十章 稳恒电流的磁场
1、四条相互平行的无限长直载流导线，电流强度均为I，如图放置，若正方形每边长为2a，求正方形中心O点的磁感应强度的大小和方向。
rrrrr解：B0=B1+B2+B3+B4
无限长载流直导线产生的磁感应强度 B=
μ0I
2πr
1
4
2、把一根无限长直导线弯成图 (a)、(b) 所示形状，通以电流I，分别求出O点的磁感应强度B的大小和方向。
I
（a） （b）
（b）均可看成由两个半无限长载流直导线1、3和圆弧2组成，且磁感应强度在O解：（a）
点的方向相同
μ0IμIμI3πμI
=0(8+3π)方向垂直纸面向外。 + 0 +0⋅
4πR4πR4πR416πR
rr
（b）由于O点在电流1、3的延长线上，所以B1=B3=0
（a）B0=
B0=B2=
18
μ0I3π3μ0I
⋅=4πR28R
w
ww
.k
hd
aw
由图中的矢量分析可得 μμ
II
=0 B2+B4=20
2π2aπ2aμIμI
B0=20⋅cos450=0 方向水平向左
πaπ2a
.c
方向垂直纸面向外。
om
3、真空中有一边长为l的正三角形导体框架，另有互相平行并与三角形的bc边平行的长直导线1和2分别在a点和b点与三角形导体框架相连 (如图) 。已知直导线中的电流为I，求正三角形中心点O处的磁感应强度B。
解：三角形高为 .h=l
sin600= l
4
课
它在 μI
dBx=dBsinθ=0sinθdθ 2
2πR
后
2
dBy=−dBcosθ=−
μ0I
μ0I2π2R
cosθdθ
μ0IπR
2
π
Bx=∫dBx=∫0
2πR
sinθdθ=
π
By=∫dBy=∫0−
μ0I2π2R
=
cosθdθ=0
∴ BP=Bx=
μ0IπR
2
4π×10−7×5.0π×1.0×10
2
−2
=6.37×10−5(T)
方向为x轴正方向。
19
课
a+b
B0=∫a
后
答
6、如图所示，均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为λ，绕通过O点垂直于纸平面的轴以ω角速度匀速转动，(O点在细杆AB延长线上)，求O点的磁感应强度。
rrμ0q vˆ×r
解：方法一：运动电荷的叠加，根据公式B=2
4πr
μdq vμλdr rω
dB0=02=02
4πr4πr
ww
.k
rμ0Ia+b
ˆ) 或 B=(−ˆj−kln
a4πa
hd
aw
2
+B2Bp=B12=2B1=
2μ0Ia+b
ln4πaa 方向yz平面内与y方向成2250角
.c
om
。
ω
ω
λdr 2π
μ0Ia+bμ0Idx B=∫a
=ln10
4πa(a+b−x)4πaa
同理 B2 = B1 方向 −z
μ0dIμ0Idx
dB1==
4π(a+b−x)4πa(a+b−x)
方向−y
μ0λωμλωa+b
dr=0ln
4πr4πa
方法二：等效载流圆环在圆心的叠加，等效电流 dI=
dB0=
μ0dIμ0ωλ
dr =
2r4πr
μ0ωλμωλa+b
dr=0ln
4πr4πa
a+b
B0=∫a
20
案
网
w
7、一塑料圆盘，半径为R，可通过中心垂直于盘面的轴转动，设角速度为ω ，
(1) 当有电量为+q的电荷均匀分布于圆盘表面时，求圆盘中心O点的磁感应强度B； (2) 此时圆盘的磁距；
(3) 若圆盘表面一半带电+q/2，另一半带电-q/2，求此时O点的磁感应强度B。
q
解：（1）盘的电荷密度为
σ=，取半径为r、宽
B
解（2πx2π(d−x)
（2）取面积元dS = ldx
rrμ0I2μIdΦ=B⋅dS=BdS=[01+ ldx
2πx2π(d−x)
r+r2
(2)
8、
I1 = I2 (1) （3
（2I2
Φ=∫dΦ=∫r11
μ0I1μ0I2μIlr+rμIld−r1r+r
ldx+∫r112ldx=01ln12+02ln2πx2π(d−x)d−r1−r2 r12π2π
−6
=
μ0I1ld−r1
=2.2×10ln
πr1
韦伯
21
9、一根很长的铜线均匀通以电流I = 10A，在导线内部作一平面，如图所示。求通过平面S单位长度上的磁通量。
解： 由安培环路定律可求得圆柱内任意一点的B
vv
B⋅dl=μ0∑I
B2πr=μ
B
=
μ02π
IπR
2
⋅πr2
I rR2
在距圆柱轴线为r与r+dr处取一面积元dS，通量为
rr
dΦ=B⋅dS=BdS
10、一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱 (半径为R1) 和同一轴的导体圆管 (内、外半径分别为R2和R3) 构成，使用时使电流I从导体圆柱流出，从导体圆管流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求磁感应强度的分布。
解：由于电流分布具有轴对称性，可用安培环路定律求解
Iπr2μ0Ir2μ0Ir
r
πR12R12πR12
μ0I
R
后
r2−R2
2
R2
2
答
案
网
rr
r>R3B4)⋅dl=μ0∑I=μ0(I−I)=0
课
μ0IR32−r2
B3=(2
2πrR3−R22
22
w
ww
B4=0
.k
hd
aw
.c
Φ=∫BdS=∫0
R
μ0Irμ0I
dr==10
2πR24π
−6
(Wb)
om
11、一无限大均匀载流平面置于外场中，左侧磁感应强度量值为B1，右侧磁感应强度量值为3B1，方向如图所示。试求:
y
B1 3B1
(1) 载流平面上的面电流密度i； (2) 外场的磁感应强度B。 解： B1=B0−μ0i
3B1=B0+
iμ02
2B1μ0
→
12
2B1=μ0i⇒i=
V=
电子在磁场中受洛仑兹力的作用而作圆周运动，向心加速度为
FBeV5.5×10−5×1.6×10−19×6.48×1072
an====6.2×1014ms −31
mm9.11×10
（3）电子运动的轨迹为圆，半径为R
由图可知当电子在南北方向前进y时，它将偏转Δx
mV9.11×10−31×6.48×107R===6.4(m) −19−3
eB1.6×10×5.5×10
Δx=R−R2−y2=6.4−(6.4)2−(0.2)2=2.98mm
课
2E
=m
后
答
12 设电视显像管射出的电子束沿水平方向由南向北运动，电子能量为12 000eV，地球磁场的垂直分量向下，大小为B =5.5×10-5Wb/m2，问: (1) 电子束将偏向什么方向? (2) 电子的加速度为多少?
(3) 电子束在显象管内在南北方向上通过20cm时将偏转多远? 解：(1) 由洛仑兹力的方向判断电子束向东偏转 （2）由电子的动能可求其速度
2×12000×1.6×10−19
=6.48×107m −31
9.11×10
案
网
w
ww
.k
hd
aw
.c
om
1
B1=B0−μ0i=B0−B1⇒B0=2B1
2
23
13、无限长直导线通过电流I1，在其旁边放一导线AB，长为l，与I1共面并相互垂直，通以电流I2，试求: (1) AB导线受到的力的大小与方向；
(2) 当棒A端固定，则导线AB对A点的磁力距等于多少? 解：（1）在I2上取I2dx，其受力方向垂直AB向上
dF=I2dxB1=
μ0I1I2
dx2πx，
I1
B
（2）I2dx受到的磁力矩为
F=∫dF=∫d
d+l
μIId+lμ0I1I2
dx=012ln
d 2π2πx
μ0I1I2
dx 2πx
dM=(x−d) dF=(x−d)M=∫dM=∫d(x−d)
l+d
=
课
14、有一无限长载流直导线，通以电流I1。另有一半径为R的圆形电流I2，其直径AB与电流I1重合，在相交处绝缘，求:
(1) 半圆ACB受力大小和方向
(2) 整个圆形电流I2所受合力大小和方向
(3) 线圈所受磁力矩。
解：（1）在半圆上取一圆弧dl，受力为
πμ0I1
dF=I2dlB1sin=I2dl 22πx
μ0I1I2μII
⋅Rdθ=012dθ
2πRsinθ2πsinθ
dFx=dFsinθ=dFy=dFcosθ
π
所以 FACB=∫dFx=∫0
后
μ0I1I2μII
dθsinθ=012dθ 2πsinθ2πθ由于对称性分析 ∫dFy=0
μ0I1I21
dθ=μ0I1I2
22π
答
案
网
（2）同理可求BDA半圆受力
24
FBDA=
1
μ0I1I22
方向沿x正方向。
F=FACB+FBDA=2Fx=μ0I1I2
w
ww
方向沿x轴的正方向。
.k
hd
aw
μIId+lμ0I1I2
dx=0121−dlnd2π2πx
.c
om
(3) dMm=x dFy
由对称性分析可知 M=0
15、氢原子中，电子绕原子核沿半径为r的圆作圆周运动，它等效于一个圆形电流，如果外加一个磁感应强度为B的磁场，其磁力线与轨道平面平行，那么这个圆电流所受的磁力矩的大小为多少? ( 设电子质量为m e ，电子电量的绝对值为e )。 解：电子绕核运动
mv2e2r=e2
e4πε2⇒v=πε
0r40r me 等效电流
I=
eT=eev2πr=2πr
v
Mr=rP×Br⇒M=P2
e2BrmB=IπrB=4πε
m
0me
oc
. w
a d
hk
.
w
w16、水平桌面上放置一个绕有N匝的圆线圈，其半径为w
R，质量为m，通有电流I，由上往下看，电流为顺时针方向。网
若已知该处地磁场的磁感应强度为案
B，其方向为向北且偏向下，与水平方向成一倾角答
θ （如图所示）。问当电流I超过多大时，线圈可从桌面上翘起？翘起的是哪一侧？ 解：通电线圈受到的磁力矩后
M=P课
⎛π⎞2
m
Bsin⎜⎝2−θ⎟⎠
=NIπRcosθB 此力矩使线圈绕A点转动
线圈对A点的重力矩 M'=mgR 线圈能翘起，应满足 M≥M' 所以 Img
min=BNπRcosθ
25
17、边长为 l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的均匀磁场中，如图所示。使线圈通以电流I=10A，求: (1) 每边所受的力 (2) 磁力矩大小
(3) 从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功。
rrr
解：（1）根据安培力公式dF=Idl×B
ac:Fac=IlBsin60=10×0.1×1×0.866=0.866(N) 方向垂直纸面向外
.k
π
rrrrr1(2) M=P×B M=ISBsin(n,B)=10××0.1×0.1×0−222
0 （3）A=IΔΦ=I(Φ−Φ0)=I(BScos0−BScos)=IBl⋅lsin22 1−2
=10×1××0.1×0.1×0.866=4.33×10(J)
2
半径由r绕至R，18、总匝数为N的均匀密绕平面螺旋线圈，
通有电流I，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。试求： （1）平面线圈的磁矩；
（2）线圈在该位置所受到的磁力矩；
（3）线圈在磁力矩作用下转到平衡位置过程中，磁力矩所做的功。
课
后
答
案
网
w
ww
hd
1
aw
N
dρ R−r
cb:Fcb=IlBsinπ=0
解：（1）在距中心距离 ρ 处，取宽度为dρ的细圆环线圈的匝数 dN= 其磁矩为 dPm=IdNπρ2=
N
Iπρ2dρ R−r
R
整个线圈的磁矩 Pm=∫dPm=∫
N1
Iπρ2dρ=NIπ(R2+Rr+r2) rR−r3
13
（3）任何位置的磁力矩 M=PmBsinϕ
022
（2）磁力矩 M=PmBsin90=NIπB(R+Rr+r)
26
.c
ba:Fba=IlBsin600=0.866(N) 方向垂直纸面向里
om
ππ22
A=∫Mdθ=∫P⎛πmBsin⎜
⎝2−θ⎞
⎟⎠
dθ=10
3πNIB(R2+Rr+r2)
m
oc
.w
ad
hk
.w
ww
网
案
答
后
课
27