高一数学两角和与差的正切公式2
5.4 (3)两角和与差的正切公式
上海市杨浦高级中学 曹丽琼
一、教学内容分析
推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用. 推导的难度并不大，学生可以独立完成. 对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的相互联系，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下基础.
要使学生能够正确、熟练、较灵活的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可提高学生的观察以及发散思维能力.
二、教学目标设计
（1）熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征.
（2）初步了解公式的作用，能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证明.
（3）在公式的推导过程中, 进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的能力.
三、教学重点及难点
两角和与差的正切公式的推导和应用；
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、讲授新课
1、复习引入
（1）两角和与差的余弦公式
cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β ①
cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β ②
其中，①式可在②式中用-β替换β而得.
（2）两角和与差的正弦公式
sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β
正弦公式可以通过诱导公式，将sin(α+β) 转化为cos[π
2继而应用余弦公式推得. -(α+β)]，
α+β) ？ 问题：如何用tan α以及tan β表示tan(
2、公式推导
学生思考、独立完成.
tan(α+β) =sin(α+β) sin αcos β+cos αsin β= cos(α+β) cos αcos β-sin αsin β
分子、分母分别除以cos αcos β（cos α⋅cos β≠0），并化简得
tan(α+β) =tan α+tan β ③ 1-tan αtan β
思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？
思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由.
学生回答
α-β) =1、同理可得tan(tan α-tan β ④； 1+tan αtan β
或由变量替换的思想，用-β替换两角和公式中的β即可.
2、不是，使用③式前需要先保证tan α、tan β都有意义，且tan αtan β≠1. 即α、β、
ππα-β也不能取k π+k ∈Z ）α+β都不能取k π+k ∈Z ）β、. 同理，④式中的α、. 22
这是使用两角和与差正切公式的条件. 如果α、β中有取到k π+π
2（k ∈Z ）的角，
α+β) 或tan(α-β) 呢？ 又如何求tan(
学生回答
[说明] 明确公式成立的条件，使学生的认识完整化.
3、强调特征
（1）等号的左边是复角的正切. 右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.
（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.
[说明]学生掌握公式的特征，不仅从简单的对比而得，更要从推导过程中去理解.
4、例题解析
例1、 已知tan α=1，tan β=-2，求下列三角比的值： 3
α+β) ；α-β) （1）tan(（2）cot(
α+β) =-1；解答：（1）tan(（2）cot(α-β) =1 7
[说明]教材中没有继续推导两角和与差的余切公式. 在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或通过商数关系转化为正余弦来计算.
例2、运用两角和的正切公式，求
解答：1+tan 75︒的值. 1-tan 75︒1+tan 75︒=-3 1-tan 75︒
45︒+30︒) . 方法二、将表达式中的1看作为tan 45︒，[说明]方法一、可先计算tan 75︒=tan(
逆用两角和的正切公式先化简后求值.
方法二突现了“1”在三角问题中的重要地位.
例3、化简tan α+tan(
解答：tan α+tan(π3-α) +3tan αtan(π3-α) π
3-α) +3tan αtan(π
3-α) =
[说明]两角和与差正切公式的常用变式
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β) ；
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β) .
α+β) 例4、已知tan α、tan β是方程2x +5x -3=0的两个根，求tan(
α-β) . 及tan(
α+β) =-1；tan(α-β) =7或-7. 解答：tan(
[说明]两角和与差的正切公式其结构特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联系. 2
三、巩固练习
例5、不查表计算tan 15︒ 解答：tan 15︒=2-
α-β) =-2，tan α=3，求tan β的值. 例6、已知tan(
解答：tan β=1 7
例7、证明下列三角恒等式：
1+tan θtan 2α-tan 2β（1）tan(θ+) = （2）tan( α+β) tan(α-β) =2241-tan θ1-tan αtan βπ
四、课堂小结
（1）应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.
（2）能够对所学的公式作正、逆双向使用，进行化简与求值. 熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.
五、课后作业
课本第59 练习5.4（3）1、2
习题5.4 A组：2/（5）、（6）