集合 知识讲解
集合及集合的表示
【学习目标】
1. 了解集合的含义，会使用符号“∈”“∉”表示元素与集合之间的关系．
2. 能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上. 另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一、集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分. 如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A，记作a ∈A
(2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A，记作a ∉A 5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：∅. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集) ，记作N
*
正整数集，记作N 或N + 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法. 如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2322
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内. 如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y -x ，x +y}，„；3. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内. 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4. 图示法：图示法主要包括Venn 图、数轴上的区间等. 为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的
内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn ）图法. 如下图，就表示集合{1,2,3,4}.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1. 下列各组对象哪些能构成一个集合？
(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程x -9=0在实数范围内的解；（6. 2
答案：(4)、（5）
解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断. “著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.
点评：
(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.
举一反三：
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.
(1)你所在的班，体重超过75kg 的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.
答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。 解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
(1)你所在的班，体重超过75kg 的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集； (2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合. “难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.
(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集. (5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
例2．集合A
由形如m (m ∈Z , n ∈
Z ) 答案：是
解析：由分母有理化得
，
A 中的元素？
=2. 由题中集合A 可知m =2, n =1, 均有m ∈Z , n ∈Z ，
∴2
A A .
点评：（1）解答本题首先要理解∈与∉
A 中的元素.
（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征. 此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1
】设∈Z} (1)若a ∈Z ，则是否有a ∈S ？
(2)对S 中任意两个元素x 1，x 2，则x 1+x2，x 1·x 2，是否属于集合S ？ 答案：a ∈S 是
解析：(1)若a ∈Z ，则有a ∈S ，即n=0时，x ∈Z ，∴a ∈S ；
(2)∀x 1，x 2∈S
，则x 1=m11,x 2=m22(m1,n 1,m 2,n 2∈
Z)
∴x 1+x 2=(m 1+m 2) n 1+n 2) ∈S (m 1+m 2∈Z , n 1+n 2∈
Z ) x 1⋅x 2=(m11) ⋅(m22)=m1m 2+2n1n 21n 2+m2n 1) ∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴m 1m 2+2n1n 2∈Z ，m 1n 2+m2n 1∈Z ∴x 1·x 2∈S.
类型二：元素与集合的关系
例3. 用符号“∈”或“∉”填空．
(1)x |x 4}；
(2)3___{x |x =n 2+1 ，n ∈N +}， 5___{x |x =n 2+1，n ∈N +}；(3)(-11) ，___{y |y =x 2}， (-11) ，___{(x ，y ) |y =x 2}.
解析：给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a ∈A ，或者a ∉A ，二者必居其一. 解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论. 对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
(1) => ∴{x |x
=>=4，∴{x |x >4}；
(2)令3=n +
1，则n =N +， ∴3∉{x |x =n 2+1，n ∈N +}；
2
令5=n +1，则n =±2 ，其中2∈N +，∴5∈{x |x =n 2+1，n ∈N +}；(3) ∵(-1，1) 是一个有序实数对，且符合关系y=x， ∴(-11) ，∉{y |y =x 2}， (-11) ，∈{(x ，y ) |y =x 2}.
点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想. 另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握. 第(2)题关键是明确集合{x |x =n 2+1，n ∈N +}这个“口袋”中是装了些x 呢？还是装了些n 呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x 具有的性质. 第(3)题要分清两个集合的区别. 集合{y |y =x 2}这个“口袋”是由y 构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合{(x ，y ) |y =x 2}是由抛物线y =x 上的所有点构成的，是一个点集.
举一反三：
【变式1】 用符号“∈”或“∉”填空
2
2
2
1
A ；A . 2
12
（2）若B ={x |2x -x -1=0}, 则-B ；B .
2
（1）若A=Z, 则-
答案：
（1）∉，∈ （2）∈，∉
类型三：集合中元素性质的应用
例4. 定义集合运算：A B ={z |z =xy (x +y ), x ∈A , y ∈B }. 设集合A ={0,1}，B ={2,3}，则集合A B 的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 答案： D
解析：A B ={z |z =xy (x +y ), x ∈A , y ∈B }，∴当A ={0,1}, B ={2,3}时， A B ={0,6,12}，于是
A B 的所有元素之和为0+6+12=18.
点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向. 常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：A *B ={z |z =xy , x ∈A , y ∈B }，设A ={1,2}，B ={0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
答案：D
解析： z =xy , x ∈A , y ∈B ，且A ={1,2}，B ={0,2}，
∴z 的取值有：0，2，4 故A *B ={0,2,4}，
∴集合A *B 的所有元素之和为：0+2+4=6.
2
例5. 设集合A ={x∈R |ax +2x +1=0}，当集合A 为单元素集时，求实数a 的值.
答案：0，1
2
解析：由集合A 中只含有一个元素可得，方程ax +2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a ≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a 的值，可求得为a=1.故a 的取值为0，1.
22
例6. 已知集合A =a +2,(a +1) , a +3a +3，若1∈A ，求实数a 的值及集合A .
{}
答案：a =0，A ={1,2,3}. 解析：（1）若a +2=1, 则a =-1.
所以A ={1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，则a =-1应舍去. （2）若(a +1) 2=1，则a =0或a =-2， 当a =0时，A ={2,1,3}满足题意；
当a =-2时，A ={0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，则a =-2应舍去.
（3）若a +3a +3=1，则a =-1或a =-2，由上分析知a =-1与a =-2均应舍去. 综上，a =0，集合A ={1,2,3}.
点评：本题中由于1和集合A 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论. 此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
2
【变式1】已知集合A =a +2, a +2，3∈A ，求实数a 的值
2
{}
答案： a =-1
解析：当a +2=1，即a =-1时，A ={3,3}，与集合的概念矛盾，故舍去 当a +2=3, 即a =±1时，a =1不满足题意舍去，故a =-1. 类型四：集合的表示方法
例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程x -3=0的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
答案：（1
）（2）{16,17,18,19,20,21,22,23,24}。 ；解析：(1)设方程x -3=0的实数根为x ，并且满足条件x -3=0 因此，用描述法表示为A ={x |x -3=0，x ∈R }； 2
2
2
2
2
方程x -3=
因此，用列举法表示为A =.
(2)设大于15小于25的整数为x ，它满足条件x ∈Z ，且15
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24， 因此，用列举法表示为B ={16,17,18,19,20,21,22,23,24}.
点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然. （3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质. 举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
23
(1)A={x∈R |(x-1)(x+2)(x-1)(x-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， x∈N ， y∈N } (3)C={y|x+y=3，x ∈N ， y∈N }
2
⎧⎧y =x ⎫⎪⎪
(4)D =⎨(x , y ) ⎨⎬
y =-x ⎪⎪⎩⎩⎭
⎧⎧y =x ⎫
(5)M =⎨x ⎨⎬
⎩⎩y =-x ⎭
(6)P={x|x(x-a)=0， a∈R }
解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么. (1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3) ，(3，0) ，(1，2) ，(2，1)} (3)C={0，1，2，3} (4)D={(0，0)} (5)M={0}
(6)当a ≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}. 点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母a ∈R ，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合： （1）比5大3的数；
（2）方程x 2+y 2-4x +6y +13=0的解集；
（3）二次函数y =x -10的图象上的所有点组成的集合。
2
答案：（1）{8}；（2）{(2,-3) }；（3）(x , y ) |y =x -10
2
{}
解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}。
（2）方程x 2+y 2-4x +6y +13=0可化为(x -2) 2+(y +3) 2=0，
⎧x =2, ∴⎨∴方程的解集为{(2,-3) }。 ⎩y =-3,
2
（3）用描述法表示为{(x , y ) |y =x -10}。
点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。
集合的基本关系及运算
【学习目标】
1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1. 集合与集合之间的“包含”关系
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；
子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A ⊆B(或B ⊇A) ，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A ⊆B(或
B ⊇A)
要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A
的任何一个元素都是
B 的元素，即由任意的x ∈A ，能推出x ∈B ． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A ) ”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A ⊆B ，存在元素x ∈B 且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2. 集合与集合之间的“相等”关系
A ⊆B 且B ⊆A ，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作A ⊆A ．
要点二、集合的运算 1. 并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x∈A ，或x ∈B}
Venn 图表示：
要点诠释：
B , 但x A ∉”A , 且x B ∈”（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“x ∈A , 但x ∉B ”；“x ∈；“x ∈．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2. 交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set) ，简称为集合A 的补集，记作：痧补集的Venn U A ；即U A={x|x∈U 且x ∉A}；图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集ðU A 是对给定的集合A 和U (A ⊆U ) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．
（3）ðU A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即ðR A ）．
4. 集合基本运算的一些结论：
A ⋂B ⊆A ，A ⋂B ⊆B ，A ⋂A=A，A ⋂∅=∅，A ⋂B=B⋂A
A ⊆A ⋃B ，B ⊆A ⋃B ，A ⋃A=A，A ⋃∅=A，A ⋃B=B⋃A (痧(U A) ⋂A=∅ U A) ⋃A=U，
若A ∩B=A，则A ⊆B ，反之也成立 若A ∪B=B，则A ⊆B ，反之也成立 若x ∈(A∩B) ，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A∪B) ，则x ∈A ，或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】
类型一：集合间的关系
例1. 请判断①
0{0} ；②R ∈{R }；③∅∈{∅}；④
∅⑧
∅
{∅}；⑤∅={0}；⑥0∈{∅}；⑦∅∈{0}；
{0}，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合{0}中的元素，应是0∈{0}；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{∅}为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．
【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
2
(1) {x||x|≤1} {x|x≤1}；
22
(2){y|y=2x} {y|y=3x-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x ≤2} {(x，y)|-1
【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系. 例2. 写出集合{a，b ，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，
3
{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b ，c}，即含有3个元素的集合共有2=8个不同的子集. 如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个
4n
子集，即含有4个元素的集合共有2=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出. 当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集. 如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可. 同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.
举一反三： 【变式1】已知{a , b }⊆A
【答案】7个
【变式2】同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a ∈M ，则6-a ∈M 的非空集合M 有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C
【解析】a =3时，6-a =3；a =1时，6-a =5；a =2时，6-a =4；a =4时，6-a =2；a =5时，
{a , b , c , d , e }，则这样的集合A 有 个.
6-a =1；∴非空集合M 可能是：{3}, {1,5}, {2,4}, {1,3,5}, {2,3,4}, {1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个. 故选C.
【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值. 【答案】 a=-1， a=±或a=0
2
【解析】∵， ∴a ∈A ， 则有：
2
（1）a =1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1； （2）a =3⇒a=±3
2
（3）a =a⇒a=0， a=1，舍去a=1，则a=0
2
2
综上：a=-1， a=±3或a=0.
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.
22
例3. 设M={x|x=a+1，a ∈N +}，N={x|x=b-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=∅ 【答案】B
222
【解析】当a ∈N +时，元素x=a+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b-4b+5=(b-2)+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.
例4．已知M ={x , xy , x -y },N ={0, x , y },若M =N ，则(x +y ) +(x +y ) + +(x
2
2
01
1
+y 0) A ．－200 B ．200 C ．－100 D ．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D
【解析】由M=N，知M ，N 所含元素相同. 由0∈{0，|x|，y}
可知0∈ 若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.
若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠0
0，则x=y，M ，N 可写为
2
M={x，x ，0}，N={0，|x|，x}
22
由M=N可知必有x =|x|，即|x|=|x| ∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1
当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
∴(x +y ) +(x 2+y 2) + +(x 100+y 100) =-2+2-2+2+„+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a ，b ∈R ，集合{1,a+b,a}={0,
b
,b}，则b-a=( ) a
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
b
1∈{0,,b},0∈{1,a+b,a}，又 a ≠0，∴a +b=0
a
b
∴当b=1时，a=-1，∴{0,b}={0,-1,1}
a
b
当=1时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍) a
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二：集合的运算
22
例5. （1）已知集合M={y|y=x-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．
A. ∅ B. R C. {-1，9} D. {y|-1≤y ≤9}
2
（2）设集合M={3，a}，N={x|x-2x
【答案】（1）D （2）D 【解析】（1）集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.
2
（2）由N={x|x-2x
【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x +px+q=0与6x +(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={
2
2
1
}，求A ∪B. 2
11
， ，-4}
32
1
【解析】∵A ∩B={}，
2
12
∴是方程2x +px+q=0的解，则有： 2
121121
2() +p +q =0(1)，同理有：6() +(2-p)·+5+q=0(2)
2222
⎧p =7,
联立方程(1)(2)得到：⎨
⎩q =-4.
【答案】{
∴方程(1)为2x +7x-4=0，
2
11
， x2=-4， ∴ A ={, -4}， 22
112
由方程(2) 6x-5x+1=0，解得：x 3=， x4=，
32
1111
∴B={， }，则A ∪B={， ，-4}.
3322
∴方程的解为：x 1=
【变式2】设集合A={2，a -2a ，6}，B={2，2a ，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.
【答案】 ｛2，3，6，18｝
2
【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a -2a ，6｝，则必22
有a -2a=3，解方程a -2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3} 2
2
∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝．
例6. 设全集U={x∈N +|x≤8}，若A ∩(Cu B)={1，8}，(Cu A) ∩B={2，6}，(Cu A) ∩(Cu B)={4，7}，求集合A ，B. 【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6} 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A ∩(Cu B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(Cu A) ∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(Cu A) ∩(Cu B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三：集合运算综合应用
例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；
（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a
(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a
(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题. 思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝. 若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C
【解析】P =｛x ︱-1≤x ≤1｝又 P M =P ， ∴M ⊆P ，∴ -1≤a ≤1 故选C ．
222
例8. 设集合A =x |x +4x =0, B =x |x +2(a +1) x +a -1=0, a ∈R .
{}{}
（1）若A B =B ，求a 的值； （2）若A B =B ，求a 的值.
【思路点拨】明确A B 、A B 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B ⊆A 和A ⊆B ，是解决本题的关键. 同时，在包含关系式B ⊆A 中，不要漏掉B =∅的情况.
【答案】（1）a =1或a ≤-1；（2）a =1．
【解析】 首先化简集合A ，得A ={-4,0}.
（1）由A B =B ，则有B ⊆A ，可知集合B 为∅，或为{0}、{-4}，或为{0, -4}. ①若B =∅时，∆=4(a +1) -4(a -1)
2
当a =1时，B =x |x +4x =0={0, -4}=A , 符合题意； 2
当a =-1时，B =x |x =0={0}⊆A , 也符合题意.
22
2
{}
{}
2
③若-4∈B ，代入得a -8a +7=0，解得a =7或a =1. 当a =1时，已讨论，符合题意；
2
当a =7时，B =x |x +16x +48=0={-12, -4}，不符合题意.
{}
由①②③，得a =1或a ≤-1.
（2） A B =B , ∴A ⊆B . 又A ={-4,0}，而B 至多只有两个根，因此应有A =B ，由（1）知a =1. 【总结升华】两个等价转化：A B =B ⇔A ⊆B , A B =B ⇔B ⊆A 非常重要，注意应用. 另外，在解决有条件A ⊆B 的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况
.
举一反三：
22【变式1】已知集合A ={-2}, B =x |x +ax +a -12=0，若A B =B , 求实数a 的取值范围. {}
【答案】a ≥4, 或a
【解析】 A B =B , ∴B ⊆A .
①当B =∅时，此时方程x +ax +a -12=0无解，由∆4, 或a
②当B ≠∅时，此时方程x +ax +a -12=0有且仅有一个实数解-2， 2222
∴∆=0，且(-2) 2-2a +a 2-12=0，解得a =4.
综上，实数a 的取值范围是a ≥4, 或a
11