开区间上的连续函数
2003年11月
第9卷第4期安庆师范学院学报(自然科学版) Journal of Anqing Teachers College (Natural Science ) Nov . 2003Vol . 9NO . 4
开区间上的连续函数
覃运初
(河池学院数学系, 广西宜州 546300)
摘 要:本文讨论开区间上的连续函数的有界性、一致性、介值性与最值性
关键词:有界性; 一致连续性; 介值性; 最值性
中图分类号: O 174. 1 文献标识码:A 文章编号:1007-4260(2003) 04-0043-02
设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 则有
¹f (x ) 在闭区间[a , b ]上有界, 即v M >0, P x ∈[a , b ], 有ûf (x ) û≤M
ºf (x ) 在闭区间[a , b ]上取到最大值与最小值, 即v x 1, x 2∈[a , b ], 使f (x 1) =m , f (x 2) =M , 且P x ∈[a , b ], 有m ≤f (x ) ≤M
»P F ∈[m , M ], v c ∈[a , b ], 使f (c ) =F
¼f (x ) 在闭区间[a , b ]上一致连续。
现在我们研究讨论开区间(a , b ) 上的连续函数具备什么条件时, 也具有闭区间上连续函数的性质。1. f (a +0) 与f (b -0) 存在的情况
定理1:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, 且f (a +0) , f (b -0) 存在, 则¹f (x ) 在(a , b ) 上有界;
ºf (x ) 在(a , b ) 上一致连续。
证明:令f (a ) =f (a +0) , f (b ) =f (b -0) , 则f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 故f (x ) 在开区间(a , b ) 上有界, 且一致连续。
若f (x ) 在(a , b ) 上连续, f (a +0) 与f (b -0) 至少有一个不存在时, f (x ) 在开区间(a , b ) 上不一定有界, 不一定连续。例如:f (x ) =1在开区间(a , b ) 上连续, 但f (x ) 在(a , b ) 上无界, 且非一致连续。x
定理2:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, 且f (a +0) , f (b -0) 存在,
¹若f (a +0) 与f (b -0) 不是f (x ) 在开区间(a , b ) 上的上界, 则f (x ) 在(a , b ) 上取得最大值。º若f (a +0) 与f (b -0) 不是f (x ) 在开区间(a , b ) 上的下界, 则f (x ) 在(a , b ) 上取得最小值。
证明:¹令f (a ) =f (a +0) , f (b ) =f (b -0) , 则f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 所以f (x ) 在闭区间
[a , b ]上取到最大值与最小值, 若f (a ) 与f (b ) 不是f (x ) 在(a , b ) 上的上界, 则f (a ) 与f (b ) 都不是f (x ) 在[a , b ]上的最大值, 故f (x ) 在(a , b ) 上取得最大值。
º同理可证, f (x ) 在(a , b ) 上取得最小值。
定理3:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, f (x ) 在(a , b ) 取到最小值m 与最大值M , 则P F ∈[m , M ], v c ∈[a , b ], 使f (c ) =F 。
证明:f (x ) 在(a , b ) 内取到最小值与最大值, 则v x 1, x 2∈(a , b ) , 显然f (x ) 在闭区间(a , b ) 上连续,
∈[m , M ], v c ∈[x 1, x 2]
。F
定理4:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, f (a +0) , f (b -0) 存在, 且分别为f (x ) 在开区间(a , b ) 上的下界与上界时, 则
¹f (a +0) 与f (b -0) 分别为f (x ) 在开区间(a , b ) 上函数值的下确界与上确界。X XX ,
・44・安庆师范学院学报(自然科学版) 2003年ºP F ∈(f (a +0) , f (b -0) ) , v c ∈(a , b ) , 使得f (c ) =F 。
»f (x ) 在(a , b ) 上的值域为(f (a +0) , f (b -0) ) 。
证明:令¹f (a ) =f (a +0) , f (b ) =f (b -0) , 则f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, f (x ) 在[a , b ]上取到最大值与最小值, 因f (a +0) 与f (b -0) 分别为f (x ) 在开区间(a , b ) 上的下界与上界。所以f (a ) 与f (b ) 为f (x ) 在[a , b ]上的最小值与最大值。故f (a +0) 与f (b -0) 分别为f (x ) 在开区间(a , b ) 上函数值的下确界与上确界。
º由介值中值定理, P F ∈(f (a +0) , f (b -0) ) , v c ∈[a , b ], 有f (c ) =F 。
»由º知道, f (x ) 在(a , b ) 上的值域为(f (a +0) , f (b -0) ) 。
2. 当f (a +0) 与f (b -0) 不存在时
定理5:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, 不妨设D ={f (x ) ûx ∈(a , b ) , m =inf D , M =sup D , M 1=x →a +lim f (x ) , m 1=lim f (x ) , M 2=lim f (x ) , m 2=lim f (x ) , 则¹M 1, M 2, m 1, m 2有限时, f (x ) 在(a , b ) 有界。
x →a +x →b -x →b ---
ºM ax {M 1, M 2}
»若inf {m 1, m 2}>m 时, f (x ) 在(a , b ) 上取到最小值。
¼P F ∈(m , M ) , v c ∈(a , b ) , 使f (c ) =F , 即D 为开区间。
证明:¹若M 1, M 2有限时, 因为lim f (x ) =M 1, lim f (x ) =M 2, lim f (x ) =m 1, lim =m 2, 对于E 0=1,
x →a +x →b -x →a +x →b ---
v D >0, P x ∈(b -D , b ) , 有m 2-1
M -M 1M 1=+=M -(2222
M 1M -M 2M 2M -) , 所以M 不是f (x ) 在(a , a +D ) 上的上确界。P x ∈(b -D , b ) , 有f (x ) 0, P x ∈(a , a +D ) , 有f (x )
»用上面º的类似的证法可知, 若inf {m 1, m 2}>m 时, f (x ) 在(a , b ) 上取到最小值。
¼P F ∈(m , M ) , 因m =inf D , M =sup D , v c 1, c 2∈(a , b ) , 有m ≤f (c 1)
, M ′分别为f (x ) 在闭区间[c 1, c 2]上的最小值与最大值。有m ′c 2, 因f (x ) 在闭区间[c 1, c 2]上连续, 可令m ′
≤f (c 1)
定理6:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上连续, 但f (a +0) 与f (b -0) 不存在, 则f (x ) 在开区间(a , b ) 上非一致连续。
>0, v x 1, x 2∈(a , b ) 有, x 1-a 0, P D x →a +
有
ûf (x 1) -f (x 2) û>E 0, 故f (x ) 在闭区间[a , b ]上非一致连续。同理, 若l im f (x ) 不存在, f (x ) 在开区间x →b -
(a , b ) 上非一致连续。
定理7:若f (x ) 在开区间(a , b ) 上一致连续, 则f (a +0) , f (b -0) 存在。(由定理6可证)
[参考文献]
[1] 刘玉琏, 傅仁. 数学分析讲义[M ]. 北京:高等教育出版社, 1995.
Continuious Function on Open Interval
QIN Yun -chu
(Department M athenatics of Hechi College , Yizh ou 546300, Ch ina )
Abstract :T his paper discusses the boundedness unifor m continuity maximum and minimum and in-ter mediate v alue o f co ntinuous function on openinter val under so me conditio ns .
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