导数单调.三次函数
一、函数的单调性与导数
1、在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,则函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)
注:f ' (x ) >0⇒f (x ) 单调递增⇒f ' (x ) ≥0,反之不成立。
2、求函数单调区间的基本步骤。
(1)确定定义域 (2)求f'(x),并解不等式f'(x)>0;
(3)取(1),(2)的交集得f(x)的单调递增区间,取(2)的补集与(1)的交集得f(x)的单调递减区间。
3、已知函数单调性求参数范围: (1)求函数的导数f ' (x ) ;
(2)由函数单调性得f ' (x ) ≤0或f ' (x ) ≥0在定义域上恒成立; (3)由不等式恒成立求出参数的范围;
(4)检验使f ' (x ) =0成立的参数值是否符合题意,得出答案。
二、函数极值 1、极大值: 一般地,设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0) ,就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值,记作y 极大值=f(x0) ,x 0极小值:一般地,设函数f(x)在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).
就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y 极小值=f(x0) ,x 02、函数极值的求法:(1)考虑函数的定义域并求f'(x); (2)解方程f'(x)=0,得方程的根x 0(可能不止一个)
(3)如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)
三. 三次函数图象与性质
2
32
2
函数f (x ) =ax +bx +cx +d (a ≠0) 单调性、极值点个数情况。f (x ) =3ax +2bx +c ,
记∆=,(其中x 1,x 2是方程=0的根,且x 1
'
练习:
1、若f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0) 在R 上是增函数,则( ) A.b 2-4ac ≥0 B.b 2-4ac ≤0
C .b 2-3ac ≥0 D.b 2-3ac ≤0
b
2、若y =a +∞)上都是减函数,对函数y =ax 3+bx 的单调性x 与y =-在(0,
x 描述正确的是
A.在(-∞,+∞)上是增函数 B.在(0,+∞)上是增函数
C.在(-∞,+∞)上是减函数 D.在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数 3、(2012年高考(陕西文))设函数f(x)=
A .x=
1
为f(x)的极大值点 2
2
+lnx 则 x
1
B . x=为f(x)的极小值点
2
( )
C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点 4、函数f (x ) 的导函数图象如下图所示,则函数f (x ) 在图示区间上( ) A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C .有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点
1
5、函数f (x ) =x 3-x 2+的图象大致是 ( )
2
D
A
6、若函数f (x )=-
B
2x
,则f (x )( ) 2
1+x
C
+∞) 单调增加 B .在(-∞,+∞) 单调减少 A.在(-∞,
1) 单调减少,在(-∞,-1) 与(1,+∞) 上单调增加 C.在(-1,
1) 单调增加,在(-∞,-1) 与(1,+∞) 上单调减少 D .在(-1,
7、若函数y =f (x ) 的导函数在区间[a , b ]上是增函数, ...则函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象可能是
( )
a b x
a
b x
a
b x
a
b x
A . B . C . D .
2
8、若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax +
15
x -9都相切,则a 等于 4
( )
A .-1或-
25217257 B .-1或 C .-或- D .-或7
4464464
9、已知f (x ) 为定义在(-∞, +∞) 上的可导函数,且
f (x ) +f ' (x )
A
C
..
f (2012) >e ⋅f (2013)
)
f (2013) >e ⋅
f (2012
)
)
2013
32
10、函数f (x ) =x +ax +x +b 在x =1时取得极值,则实数a =_______.
12
x +b ln x 在(0, +∞) 上是减函数,则b 的取值范围是____ 2
432
12、已知函数f (x ) =x +ax +(a +) x +6有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是
3
11、若f (x ) =-
2
13、函数f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值,则实数c =14、如果函数y =f (x ) 的导函数的图象如图所示,给出下列判断: 1⎫⎛
①函数y =f (x ) 在区间 -3, -⎪内单调递增;
2⎭⎝
⎛1⎫
②函数y =f (x ) 在区间 -, 3⎪内单调递减;
⎝2⎭
③函数y =f (x ) 在区间(4, 5) 内单调递增; ④当x =2时,函数y =f (x ) 有极小值;
1
⑤当x =-时,函数y =f (x ) 有极大值;
2 则上述判断中正确的是___________.
1
15、已知函数f (x ) =ln x -ax 2-2x (a ≠0)存在单调递减区间,求a 的取值范围.
2
16、(2010江西卷)设函数f (x ) =6x 3+3(a +2) x 2+2ax . (1)若f (x ) 的两个极值点为x 1, x 2,且x 1x 2=1,求实数a 的值;
(2)是否存在实数a ,使得f (x ) 是(-∞, +∞) 上的单调函数?若存在, 求出a 的值;若不存在,说明理由.
17. 设函数f (x ) =x -
3
92
x +6x -a . 2
(1)求函数f (x ) 的单调区间.
(2)若方程f (x ) =0有且仅有三个实根,求实数a 的取值范围.
18、已知函数f (x ) =
a 3a +12x -x +x +b ,其中a ,b ∈R . 32
⑴若曲线y =f (x ) 在点P (2,f (2))处的切线方程为y =5x -4,求函数f (x ) 的解析式; ⑵当a >0时,讨论函数f (x ) 的单调性.
19、已知f (x ) 是二次函数,不等式f (x )
(I )求f (x ) 的解析式;
(II )是否存在自然数m , 使得方程f (x ) +
37
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不等的实数x
根?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由。