数学分析 第十讲 函数项级数
第十讲 函数列与函数项级数
一、知识结构 1、函数列收敛性
(1)函数列收敛的概念和定义
定义1 设f 1, f 2, , f n , 是定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列,记作{f n }或f n ,n =1, 2, 3, .
定义
2 设x 0∈E , 以x 0代入函数列
f 1, f 2, , f n ,
的数列
f 1(x 0), f 2(x 0), , f n (x 0), . 如果数列{f n (x 0)}收敛, 我们称函数列{f n }在点x 0收敛,
点x 0为函数列{f n }的收敛点. 如果数列{f n (x 0)}发散, 称函数列{f n }在发散, 点x 0为函数列{f n }的发散点. 如果在数集D ⊆E 上的每一点函数列f 1, f 2, , f n , 都收敛, 则我们称函数列{f n }在D 上收敛. 记作lim f n (x ) =f (x ) , x ∈D , f (x ) 称为函数列
n →∞
{f n }在D 上极限函数, 或称为函数列{f n }在D 上收敛与f (x ) .
定义3(函数列{f n (x )}在D 上收敛于f (x ) ε-N 的定义) 对每一个固定的x 0∈D , 对∀ε>0, 存在正整数N , 当n >N 时, 有f n (x 0)-f (x 0)
n →∞
(n →∞), x ∈D .
说明 ①对每一个固定的x 0∈D ,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个x 0,所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的. ②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关, 又与D 上所选取的x 0大小有关.
(2)函数列收敛的判定方法
数列{f n (x 0)}收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法. 例如,函数列
329
{f n (x )}在D 上的柯西收敛准则.
定理1 (函数列{f n (x )}在D 上收敛的柯西准则) 函数列{f n (x )}在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的x 0∈D , 对∀ε>0, 存在正整数N , 当n , m >N 时, 有f n (x 0)-f m (x 0)
定理2 (函数列{f n (x )}在D 上收敛的归结原则) lim f n (x ) =f (x ) , x ∈D ⇔对每
n →∞
一个固定的x 0∈D , 当lim x m =x 0时, 有lim lim f n (x m ) =lim f n (x 0) =f (x 0) .
m →∞
n →∞m →∞
n →∞
2、函数列的一致收敛性
(1)函数列一致收敛性的概念和定义
如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关, 与D 上所选取的x 0大小无关, 则我们就得到函数列{f n (x )}在D 上一致收敛于f (x ) .
定义4(函数列{f n (x )}在D 上一致收敛于f (x ) ε-N 的定义) 对
∀x ∈D , ∀ε>0, ∃正整数N , 当n >N 时, 有f n (x )-f (x )
在D 上收敛与f (x ) , 记作f n (x )
−−→−−→
f (x ) ( n →∞ ) , x ∈D .
(2)函数列一致收敛性的判别法
定理3 (函数列{f n (x )}在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列{f n (x )}在D 上一致收敛的充要条件是:对∀x ∈D , 对∀ε>0, 存在正整数N , 当n , m >N 时, 有f n (x )-f m (x )
定理4 函数列{f n (x )}在D 上一致收敛的充要条件是:lim sup f n (x ) -f (x ) =0.
n →∞x ∈D
推论 设在数集D 上f n (x ) →f (x ) ( n →∞ ) . 若存在数列{x n }⊂D , 使
|f n (x n ) -f (x n ) | →/ 0( n →∞ ) , 则函数列{f n (x )}在数集D 上非一致收敛.
3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数
330
定义5 设{u n (x ) }是定义在数集E 上函数列,表达式∑u n (x ) ,x ∈E 称为定义在E
n =1
∞
上的函数项级数.
若x 0∈E , 数列{u n (x 0) }收敛, 即极限lim S n (x 0) =lim
n →∞
∞
n
n →∞
∑u
k =1∞
k
(x 0) 存在, 则称函数项
级数∑u n (x ) (x ∈E ) 在点x 0收敛, 点x 0称为函数项级数∑u n (x ) (x ∈E ) 的收敛点.
n =1
∞
n =1
若x 0∈E , 数列{u n (x 0) }发散, 则称函数项级数∑u n (x ) (x ∈E ) 在点x 0发散, 点
n =1
∞
∞
x 0称为函数项级数∑u n (x ) (x ∈E ) 的发散点. 函数项级数∑u n (x ) (x ∈E ) 收敛点
n =1
∞
n =1
的全体组成数集D 称为函数项级数
∞
∑u
n =1
n
(x ) (x ∈E ) 收敛域. 表达式
∞
S (x ) =lim S n (x ) =
n →∞
∑u
n =1
n
(x ) (x ∈D ) 中的S (x ) 称为函数项级数∑u n (x ) (x ∈D ) 的
n =1
∞
和函数, 或称函数项级数∑u n (x ) 在D 上收敛于S (x ) .
n =1
∞
定义6(函数项级数
n
∑u
n =1
n
(x ) 在D 上收敛于S (x ) 的ε-N 的定义) 令
S n (x ) =
∑u
k =1
k
(x ) , 对每一个固定的x 0∈D , 对∀ε>0, 存在正整数N , 当n >N 时, 有
∞
S n (x 0)-S (x 0)
∞
n →∞
∑u
n =1
n
(x ) 在D 上收敛于S (x ) ,记作
lim S n (x ) =
n
∑u
n =1
n
(x ) =S (x ) , x ∈D 或S n (x ) →S (x ) (n →∞), x ∈D 或
∑u
k =1
k
(x ) →S (x ) (n →∞), x ∈D .
说明 ①对每一个固定的x 0∈D ,都存在一个正整数N ,由于D 中一般有无限个x 0,
331
所以就对应于无限个正整数N ,这无限个正整数N 中可能找到最小的,也可能找不到最小的. ②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关, 又与D 上所选取的x 0大小有关.
∞
(2)函数项级数∑u n (x ) 的一致收敛性
n =1
如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关, 与D 上所选取的x 0大小无关, 则我
∞
们就得到函数项级数∑u n (x ) 在D 上一致收敛于S (x ) .
n =1
∞
定义7(函数项级数
n
∑u
n =1
n
(x ) 在D 上一致收敛于S (x ) 的ε-N 的定义) 令
S n (x ) =
∑u
k =1
k
(x ) , 对∀x ∈D , ∀ε>0, ∃正整数N , 当n >N 时, 有S n (x )-S (x )
∞
我们称函数项级数
n
∑u
n =1
n
(x ) 在D 上一致收敛于S (x ) , 记作
∑u
k =1
(x ) k
−−→−−→
S (x ) ( n →∞ ) , x ∈D 或S n (x )
∞
−−→−−→
S (x ) ( n →∞ ) , x ∈D .
(3) 函数项级数∑u n (x ) 的一致收敛性判别法
n =1
定理5(Cauchy准则) 级数∑u n (x ) 在区间D 上一致收敛⇔∀ε>0, ∃ N , ∀n >N ,
∀p ∈N , ∀x ∈D ⇒ S n +p (x ) -S n (x )
推论 级数∑u n (x ) 在区间D 上一致收敛⇒u n (x )
−−→−−→
0 ( n →∞ ) .
定理6 级数∑u n (x ) 在区间D 上一致收敛于S (x ) ⇔
n →∞
lim sup |R n (x ) |=lim sup |S (x ) -S n (x ) |=0.
x ∈D
n →∞
x ∈D
定理7( Weierstrass 判别法,M-判别法) 设级数∑u n (x ) 定义在区间D 上, ∑M 收敛的正项级数. 当n 充分大时, 对∀x ∈D 有|u n (x ) |≤M n , 则∑
n
是
在D 上一致收敛.
332
p p p p
n +i
证明 ∑u n +i (x ) ≤ ∑|u n +i (x ) | ≤ ∑M n +i = ∑M
i =1
i =1
i =1
i =1
, 然后用Cauchy 准则.
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑M
n
是级数
∑u
n
(x ) 的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑u n (x ) 在区间D 上存在优
n
级数, 则级数∑u n (x ) 在区间D 上一致收敛. 应用时, 常可试取M
=sup {|u n (x ) |}. 但
x ∈D
应注意, 级数∑u n (x ) 在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑u n (x ) 在区间D 上非一致收敛.
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8(Abel 判别法)设(ⅰ)级数∑u n (x ) 在区间I 上收敛; (ⅱ)对每个x ∈I , 数列{v n (x )}单调; (ⅲ) 函数列{v n (x )}在I 上一致有界, 即∃ M >0, 使对∀x ∈I 和
∀n , 有|v n (x ) | ≤ M . 则级数∑u n (x ) v n (x ) 在区间I 上一致收敛 .
定理9(Dirichlet 判别法) 设(ⅰ)级数
n
∑u
n
(x ) 的部分和函数列
U n (x ) =
∑u
k =1
k
(x ) 在区间I 上一致有界; (ⅱ) 对于每一个x ∈I , 数列{v n (x )}单调;
(ⅲ)在区间I 上函数列{v n (x )}一致收敛于零. 则级数∑u n (x ) v n (x ) 在区间I 上一致收敛.
(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质
−−→−−→
定理1(连续性)设在D 上f n 在D 上连续.
f (x ) , 且对∀n , 函数f n (x ) 在D 上连续⇒f (x )
证明 要证: 对∀x 0∈D , f (x ) 在点x 0连续. 即证:对∀ε>0, ∃δ>0, 当|x -x 0|
|f (x ) -f (x 0) | ≤ |f (x ) -f n (x ) |+|f n (x ) -f n (x 0) |+|f n (x 0) -f (x 0) |.
333
估计上式右端三项. 由一致收敛, 第一、三两项可以任意小; 而由函数f n (x ) 在点x 0连续, 第二项|f n (x ) -f n (x 0) |也可以任意小. 所以, 对∀ε>0, ∃δ>0, 当|x -x 0|
推论 设在D 上f n (x ) →f (x ) . 若f (x ) 在D 上间断,则函数列{f n (x ) }在D 上一致收敛和所有f n (x ) 在D 上连续不能同时成立.
注 定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{f n (x ) },有
x →x 0n →∞
lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) ,即极限次序可换 .
n →∞x →x 0
定理2(可积性) 若在区间[ a , b ]上函数列{f n (x ) }一致收敛, 且每个f n (x ) 在
[ a , b ]上连续. 则有 ⎰lim f n (x ) dx =lim
a
n →∞b
()
n →∞
⎰
b
a
f n (x ) dx .
证明 设在[ a , b ]上f n 积. 我们要证 lim ⎰f n -
a b
−−→−−→
f (x ) , 由Th1, 函数f (x ) 在区间[ a , b ]上连续, 因此可
n →∞
⎰
b
a
f n (x ) dx =
b
⎰
b
a
f (x ) dx . 注意到
⎰
b
a
f ≤ ⎰|f n -f |, 可见只要|f n (x ) -f (x ) |
a
ε
b -a
在[ a , b ]上成立.
注:定理的条件可减弱为:用条件“f n (x ) 在[ a , b ]上(R ) 可积”代替条件“f n (x ) 在
[ a , b ]上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.
定理3(可微性) 设函数列{f n (x ) }定义在区间[ a , b ]上, 在某个点x 0∈[ a , b ]收敛. 对∀n , f n (x ) 在[ a , b ]上连续可导, 且由导函数构成的函数列{f n '(x ) }在[ a , b ]上一致收敛, 则函数列{
f n (x ) }在区间[ a , b ]上收敛, 且有
(lim dx
d
n →∞
f n (x ) =lim
)
d dx
n →∞
f n (x ) .
−−→−−→
证明 设f n (x 0) →A ,( n →∞ ) . f n '(x ) 注意到函数g (x ) 连续和 f n (x ) =f n (x 0) +
g (x ) , ( n →∞ ) . 对∀x ∈[ a , b ],
⎰
x x 0
f n '(t ) dt , 就有
334
n →∞
lim f n (x ) = lim f n (x 0) +lim
n →∞
n →∞
⎰
x x 0
f n '(t ) dt (对第二项交换极限与积分次序)
令
=A +
⎰
x
x 0n →∞
(lim
f n '(t ) dt =A +
)
⎰
x x 0
g (t ) dt ==f (x )
估计f n (x 0) +
f n (x )
−−→−−→
⎰
x x 0
f n '(t ) dt -A -
⎰
x x 0
g (t ) dt ≤f n (x 0) -A +
⎰(f '(t ) -g (t ) )dt
x 0
n
x
, 可证得
f (x ) . f '(x ) =⎛ A +
⎝
x
⎰
d
x 0
d
g (t ) dt ⎫f n (x ) . ⎪=g (x ) =lim f n '(x ) =lim
n →∞n →∞dx ⎭f n (x ) . 亦即求导运算与极限运算次序可换.
'
即
(lim
dx
d
n →∞
f n (x ) =lim
)
n →∞
dx
二、解证题方法
n
例1 对定义在( -∞ , +∞ ) 内的等比函数列{f n (x ) }, f n (x ) =x , 用“ε-N ”的定
义验证其收敛域为( -1 , 1 ], 且lim f n (x ) =lim x =f (x ) =⎨
n →∞n →∞
解 因为对∀ε>0, ∀x ∈(-1, 1), ∃N =⎢f n (x ) -f (x ) =x -0=x
n →∞
n
n
n
⎧ 0 , |x |
⎡ln ε
⎤
, 1⎥, 当n >N ⎣ln x ⎦
n
n →∞
n →∞
时, 有
n
当x =1时, 有lim f n (1) =lim 1=1=f (x ) , 当x =-1时, 即lim f n (1) 不存在.
n →∞
n →∞
例2 f n (x ) =
sin nx n
. 用“ε-N ”定义验证在( -∞ , +∞ ) 内lim f n (x ) =0.
n →∞
解对∀ε>0, ∀x ∈( -∞ , +∞ )
sin nx n
1n
, ∃N =⎢, 1⎥
⎣ε⎦
⎡1⎤
, 当n >N 时, 有
f n (x ) -f (x ) =
sin nx n
-0=≤
n →∞
例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数( n →∞ ) .
335
(1)f n (x ) =
n -n n +n
1
x x
-x -x
,x ∈R .
(2) f n (x ) =x 2n +1,x ∈R .
(3) 设r 1, r 2, , r n , 为区间[ 0 , 1 ]上的全体有理数所成数列. 令 ⎧1 , x =r 1, r 2, , r n ,
f n (x ) =⎨,x ∈[ 0 , 1 ].
⎩0 , x ∈[ 0 , 1 ]且 x ≠r 1, r 2, , r n
2-n
(4) f n (x ) =2n xe
2
x
2
,x ∈R .
1⎧n
4x , 0≤x
11⎪
(5) f n (x ) =⎨2n +1-4n x , n ≤x
22⎪
1⎪
0 , ≤x ≤1 . ⎪n -1
2⎩
解 (1)因为f n (x ) =
1
n -n n +n
x
x -x -x
,所以f n (x ) →sgn x , x ∈R .
(2)因为f n (x ) =x
2n +1
,所以f n (x ) →sgn x , x ∈R .
(3) 设r 1, r 2, , r n , 为区间[ 0 , 1 ]上的全体有理数所成数列. 令 ⎧1 , x =r 1, r 2, , r n ,
f n (x ) =⎨
⎩0 , x ∈[ 0 , 1 ]且 x ≠r 1, r 2, , r n .
f n (x ) →D (x ) , x ∈[ 0 , 1 ].
2-n
(4)因为f n (x ) =2n xe
2
x
2
,所以f n (x ) →0, x ∈R .
1⎧n
4x , 0≤x
11⎪
(5)因为f n (x ) =⎨2n +1-4n x , n ≤x
22⎪
1⎪
0 , ≤x ≤1 . ⎪n -1
2⎩
336
所以f n (x ) →0, x ∈[ 0 , 1 ], ( n →∞ ) . ( 注意⎰f n (x ) dx ≡1. )
1
问题 若在数集D 上f n (x ) →f (x ) , ( n →∞ ) . 试问:通项f n (x ) 的解析性质是否必遗传给极限函数f (x ) ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传, 而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
lim
n →∞
⎰
1
f n (x ) dx ≠
⎰(lim
1
n →∞
f n (x ) dx .
)
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, lim f n (x ) 就是其表达式. 于是, 由通项函数的解析性质研究极限
n →∞
函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.
例4 f n (x ) =
sin nx n
. 证明函数列{f n (x )}在R 内一致收敛.
sin nx n
证明1 显然f n (x ) =
收敛于f (x ) =0.
⎡1⎤
∃N =⎢, 1⎥>0
⎣ε⎦
对∀ε>0,
sin nx n
∀x ∈R ,
1n
, 当n >N 时, 有
f n (x ) -f (x ) =
-0≤
⎡2
⎤
证明2
对∀ε>0, ∀x ∈R , ∃N =⎢, 1⎥>0, 当n , m >N
⎣ε⎦
sin nx n
-sin mx m
≤1n +1m
时, 有
f n (x ) -f m (x ) =
敛.
例5 f n (x ) =2n xe
2
-n x
2
2
. 证明在R 内 f n (x ) →0, 但不一致收敛.
337
证明 显然有f n (x ) →0, |f n (x ) -f (x ) | = f n (x ) 在点x n =⎛f n ⎝
1⎫⎪=2n ⎭
-12
12n
处取得极大值
2ne
→/0, ( n →∞ ) . 由推论2 , {f n (x )}不一致收敛.
x
例6 S n (x ) =
1+n x
22
. 证明在( -∞ , +∞ ) 内S n (x )
−−→−−→
0 ( n →∞ ) .
证明 易见 lim S n (x ) =S (x ) =0. 而
n →∞
|S n (x ) -S (x ) |=
|x |1+n x
2
2
=
1
2n 1+(nx )
⋅
2n |x |
2
≤
12n
在( -∞ , +∞ ) 内成立.
例7 对定义在区间[ 0 , 1 ]上的函数列
1⎧2
2n x , 0≤x ≤, ⎪2n ⎪
11⎪
f n (x ) =⎨2n -2n 2x ,
2n n ⎪
1⎪
0 ,
n ⎩
证明lim f n (x ) =0, 但在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
n →∞
-1
证明 0x , 就有f n (x ) =0. 因此, 在( 0 , 1 ]上有
f (x ) =l i m f n (x ) =0. f n (0) =0⇒f (0) =lim
n →∞
n →∞
f n (0) =0. 于是, 在[ 0 , 1 ]上有
⎛1⎫f (x ) =lim f n (x ) =0. 但由于max |f n (x ) -f (x ) |=f n ⎪=n →/0, ( n →∞ ) ,
n →∞x ∈[0, 1]2n ⎝⎭
因此, 该函数列在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
例8 f n (x ) =sin
x 2n +1
2
. 考查函数列{f n (x )}在下列区间上的一致收敛性:
(1)[ -l , l ] , (l >0) ; (2)[ 0 , +∞) .
338
例9 定义在( -∞ , +∞ ) 内的函数项级数(称为几何级数)
∞
∑
n =0
x
n
=1+x +x + +x +
2n
的部分和函数列为S n (x ) =
∞
1-x
n
1-x
( x ≠1 ) , 收敛域为( -1 , 1 ) .
例10 几何级数∑x n 在区间[-a , a ](0
n =0
收敛.
证明 在区间[-a , a ]上, 有 sup |S n (x ) -S (x ) |=sup
[-a , a ]
[-a , a ]
-x
n
1-a
=
a
n
1-a
→0 ( n →∞ ) ⇒
∑
一致收敛;
而在区间(-1 , 1 ) 内, 取x n =
n n +1
∈(-1 , 1 ) , 有
⎛n ⎫
⎪n -1n
x ⎛n ⎫⎝n +1⎭
sup |S n (x ) -S (x ) |=sup ≥ =n →∞, ( n →∞ ) ⇒⎪
n 1+n (-1, 1) (-1, 1) 1-x ⎝⎭1-
1+n
n
∑
非一致收敛.
n
亦可由通项u n (x ) =x 在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛于零⇒
∑
非一致收敛.
∞
几何级数∑x n 虽然在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛, 但在包含于(-1 , 1 ) 内的任何闭区
n =0
∞
间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此, 我们说几何级数∑x n 在区
n =0
间(-1 , 1 ) 内闭一致收敛.
∞
例11 判断函数项级数 ∑
n =i
sin nx n
2
∞
和 ∑
n =i
cos nx n
2
在R 内的一致收敛性.
339
例12 设u n (x ) ( n =1 , 2 , ) 是区间[ a , b ]上的单调函数. 试证明:若级数
∑u
n
(a ) 与∑u n (b ) 都绝对收敛, 则级数∑u n (x ) 在区间[ a , b ]上绝对并一致收敛 .
简证 ,留为作业. |u n (x ) | ≤ |u n (a ) |+|u n (b ) |. „„ 例13 判断函数项级数∑
(-1 ) n
n
(-1 ) (x +n )
n
n +1
n n
在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性.
n
解 记u n (x ) =
x ⎫⎛
, v n (x ) = 1+⎪. 则有ⅰ> 级数∑u n (x ) 收敛; ⅱ> 对
n ⎭⎝
n
x ⎫⎛
每个x ∈[ 0 , 1 ], v n (x ) ;ⅲ> |v n (x ) |= 1+⎪≤e 对∀x ∈[ 0 , 1 ]和∀n 成立.
n ⎭⎝
由Abel 判别法, ∑在区间[ 0 , 1 ]上一致收敛.
例14 设数列{a n }单调收敛于零. 试证明: 级数∑a n cos nx 在区间[ α , 2π-α ]
(0
证明 由前面例4,在[ α , 2π-α ]上有
sin(n +2sin
1x 2 ) x
-
n
|∑cos kx | =
k =1
12
≤
12|sin
x 2|
+
12
≤
12sin
α2
+
12
.
可见级数∑cos nx 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]上一致有界. 取u n (x ) =cos nx ,
v n (x ) =a n 就有级数∑u n (x ) 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]上一致有界, 而函
数列{v n (x )}对每一个x ∈[ α , 2π-α ]单调且一致收敛于零. 由Dirichlet 判别法, 级数∑a n cos nx 在区间[ α , 2π-α ]上一致收敛.
其实, 在数列{a n }单调收敛于零的条件下, 级数
2k π ( k =0 , ±1 , ±2 , ) 的任何区间上都一致收敛.
∑a
n
cos nx 在不包含
340
∞
例15 证明函数f (x ) =
∞
∑ne
n =1
-nx
在区间( 0 , +∞ ) 内连续.
证明 (先证
∑ne
n =1
-nx
在区间( 0 , +∞ ) 内闭一致收敛.) 对∀0
∞
0≤ne
-nx
≤ne
-na
,x ∈[ a , b ];又∑ne
-na
∑ne
n =1
-nx
在[ a , b ]一致收敛.
( 次证对∀x 0∈( 0 , +∞ ) , f (x ) 在点x 0连续 ) 对∀x 0∈( 0 , +∞ ) , 由上段讨论,
∞
∑
n =1
ne
-nx
在区间[
x 02
, 2x 0 ]上一致收敛; 又函数ne
-nx
连续⇒f (x ) 在区间[
x 02
, 2x 0 ]
上连续⇒ f (x ) 在点x 0连续. 由点x 0的任意性, f (x ) 在区间( 0 , +∞ ) 内连续.
∞
例16 S (x ) =
∑
n =1
x
n -1
n n
, x ∈[ -1 , 1 ]. 计算积分 ⎰S (t ) dt .
∞
x
解
∞
显
t
n -1
然
∞
∑
n =1x
x
n -1
一
∞
致
x
∞
收
x
2n
敛. 则
n n
=
⎰
x
S (t ) dt =
⎰∑n
0n =1
x
n
=
∑⎰
n =1
t
n -1
n n
∑n
n =1
t
n -1
2
n
=
∑n
n =1
n
.
练习
[1](北京理工大学2008年) 证明:f (x , y ) =cos xy 在R 2内不一致收敛.
'=n π+=n π,y '=2,x '证明:取x 'n n n
π
4
'=+∞,''=2,=+∞, lim x ',y n 因为lim x 'n n
n →∞
n →∞
所以
π⎫⎛
'''''l i m f (x ', y ) -f (x , y ) =l i c m o 2n s π-c o 2s n π+ ⎪=1n n n n
n →+∞n →+∞2⎭⎝
,进而
(x n s y n )在R 2内不一致收敛,再有归结原则知,f (x , y ) =cos xy 在R 2内f (x n , y n ) =c o
不一致收敛.
∞
[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数∑(-1) n +1
n =1
1n
x
的收敛域,并讨论其和
函数在定义域内的连续性与可微性.
341
解: (1)收敛域 令u n (x ) =
1n
x
,则当x >0时,{u n (x ) }单调递减,并且lim u n (x ) =0,所以由交
n →∞
∞
错级数收敛的莱布尼兹判别法,则交错级数∑(-1)
n =1
∞
n +1
1n
x
∞
收敛. 进而级数∑(-1) n +1
n =1
1n
x
的收敛域为(0, +∞),并设∑(-1) n +1
n =1
1n
x
=S (x ) .
(2)连续性 因为
lim (-1)
n →∞
n +2
u n +1(x ) +(-1)
1(n +1)
x
n +3
u n +2(x ) + +(-1)
n +3
n +p +1
u n +p (x )
1(n +p )
x
=lim (-1)
n →∞
n +2
+(-1)
1(n +2)
x
+ +(-1)
n +p +1
,
=0
其中p 为常数,x ∈(0, +∞),所以函数项级数∑(-1) n +1
n =1
n +1
∞
1n
x
在(0, +∞)内一致收敛.
又因为(-1)
∞
u n (x ) 在(0, +∞)内连续,所以和函数S (x ) 在(0, +∞)内连续,即函数项
级数∑(-1) n +1
n =1
1n
x
在(0, +∞)内连续.
(3)可微性
'
⎛n +11⎫
因为函数项级数∑ (-1) =x ⎪
n ⎭n =1⎝
+∞
+∞
∑
n =1
(-1)
n +1
-ln n n
x
+∞
=∑(-1)
n =1
n
ln n n
x
在(0, +∞)内一
致收敛,原因如下: lim
n →∞
((-1)
n +2
u n +1(x ) )+((-1) ln(n +1) (n +1)
x
'
n +3
u n +2(x ) )+ +(-1)
1(n +2)
x
'
(
n +p +1
u n +p (x ) 1
)
'
=lim (-1)
n →∞
n +1
+(-1)
n +3
+ +(-1)
n +p +1
(n +p )
x
=0,
342
∞
并且函数项级数∑(-1) n +1
n =1
1n
x
的每一项(-1) n +1
∞
1n
x
的导数(-1) n
ln n n
x
在(0, +∞)内连
续,所以和函数S (x ) ='
⎛n +11⎫
S '(x ) =∑ (-1) =x ⎪
n ⎭n =1⎝
+∞
∑
n =1
(-1)
n +1
1n
x
在
(0, +∞)
n
内可微,并且
+∞
∑
n =1
(-1)
n +1
-ln n n
x
+∞
=∑(-1)
n =1
ln n n
x
.
∞
[3] 设函数在[a , b ]上连续,且对∀x ∈[a , b ],函数项级数∑(f (x ) )收敛,试证明
n =1
∞
n
∑(
n =1
f (x ) )在[a , b ]上一致收敛.
∞
n
证明:因为函数项级数∑(f (x ) )在[a , b ]上收敛,所以
n =1
n
(f (x ) )
n
≤M n , 并且
l i m u n (x ) =
n →∞
n →∞
l i (f x ()=
n
x 0∈, [a b ], , 即对∀00, 当n >N
+∞
时, 有u n (x ) =
N
n
(f (x ) )
n
n
+∞
∑
n =N +1
ε
n
收敛, 当然级数
+∞
∑(f (x ) )
n =1
+
∑
n =N +1
ε
n
≤N M +
∞
∑
n
ε也收敛, 其中M =m ax {M n }. 所以魏尔斯特
n =N +1
1≤n ≤N
拉斯判别法知, 函数项级数∑(f (x ) )在[a , b ]上一致收敛.
n =1
n
[4](哈尔滨工大2008年) 设u n (x )在[a , b ]上满足条件:n (x )-u n (y )≤
+∞
+∞
12
n
x -y ,
n =1, 2, ,且在[a , b ]上∑u n (x )逐点收敛,则∑u n (x )在[a , b ]上一致收敛.
n =1
+∞
n =1
n
证明:∑u n (x )在[a , b ]上逐点收敛,所以S (x )=lim S n (x )=lim
n =1
n →∞
n →∞
∑u (x ),固定
k
k =1
x ∈[a , b ]. 由函数列{S n (x )}在[a , b ]上的柯西收敛准则:对∀ε>0,存在正整数N ,
当n , m >N 时,有S n (x ) -S m (x )
343
因为对∀x ∈[a , b ],有
S n (x )-S m (x )=S n (x )-S n (y )+S n (y )-S m (y )+S m (y )-S m (x )≤S n (x )-S n (y )+S n (y )-S m (y )+S m (y )-S m (x )
12
n
x -y +ε+
12
m
,
x -y
+∞
1⎛1⎫
其中y ∈[a , b ],且lim n x -y +ε+m x -y ⎪=0,所以∑u n (x )在[a , b ]上一致收
n →∞2⎝2⎭n =1m →∞
敛.
[5](重庆大学2010年) 证明:函数项级数∑(-1) n x n (1-x ) 在区间[0,1]上绝对收敛和
n =1
+∞
+∞
一致收敛,但是级数∑x n (1-x ) 在区间[0,1]上不一致收敛.
n =1
+∞
证明:(1)证明函数项级数∑(-1) n x n (1-x ) 在区间[0,1]上绝对收敛和一致收敛.
n =1
因为当x 0∈(0,1)时,有
n
⎧x 1-x ()⎫⎡n ⎤⎪⎪00k k
lim S n (x 0) =lim ⎢∑(-1) x 0(1-x 0) ⎥=lim ⎨(1-x 0)⋅⎬=x 0, n →∞n →∞n →∞1-x ⎣k =1⎦0⎪⎪⎩⎭
+∞
而x =0, x =1时,函数项级数
+∞
∑
n =1
(-1) x (1-x ) =0,所以函数项级数
n n
∑(-1)
n =1+∞
n
x (1-x )
n
在区间
[0],
1上绝对
1
收
)
敛, 进而
∑
n =1
(-
n
1x
n
⎧x ,
) -x =(S 1x =⎨)
⎩0
,
x ∈[0, () . x =1
又
⎡
⎢∑-n →∞
⎣k =1
n
因为
l
n →∞
S n x =
k
x
k
⎧⎡1-(-x )n ⎤⎫-x ⎤x (x -⎪⎣⎦⎪
-x ⎥=i ,⎨(-x )⋅⎬=
n →∞1+x 1+x ⎦⎪⎪
⎩⎭
+∞
n
n
其中x ∈[0,1],所以函数项级数∑(-1) x (1-x ) 在区间[0,1]上一致收敛.
n =1
344
(2) 后证明级数∑x n (1-x ) 在区间[0,1]上不一致收敛
n =1
+∞
因为当x 0∈(0,1)时,有
n
⎧x 0(1-x 0)⎫⎛n ⎫⎪⎪k
lim S n (x 0) =lim ∑x 0(1-x 0) ⎪=lim ⎨(1-x 0)⋅⎬=x 0, n →∞n →∞n →∞1-x 0⎝k =1⎭⎪⎪⎩⎭
而x 0=0时, 有lim S n (x 0) =0, 当x 0=1时, 有lim S n (x 0) =0, 所以函数项级数函
n →∞
n →∞
数项级数∑x (1-x ) 收敛于S (x ) =x ,即∑x n (1-x ) =S (x ) =x , x ∈[0,1].
n
n =1
n =1
+∞+∞
1
1⎫⎛
取x n = 1-⎪
n ⎭⎝
n +1
,则
x n (1-x n
1-x n
n
lim S n (x n ) -S (x n ) =lim (1-x n )⋅
n →∞
n →∞
)
-x n =lim x n
n →∞
n +1
=1,
所以函数列{S n (x ) }在[0,1]上不一致收敛,进而级数∑x n (1-x ) 在区间[0,1]上不一
n =1
+∞
致收敛.
345